Première forme fondamentale – Wikipedia

Le Première forme fondamentale ou formulaire métrique de base est une fonction de la théorie des zones dans la zone euclidienne à trois dimensions, une sous-zone de géométrie différentielle classique en mathématiques. La première forme fondamentale permet le traitement des tâches suivantes:

• Calcul de la longueur d’une courbe sur la zone donnée
• Calcul de l’angle sous lequel deux courbes coupées sur la zone donnée
• Calcul de la zone d’une zone de zone de la zone donnée

De plus, les coefficients de la première forme fondamentale et leurs dérivations partielles peuvent être déterminés par la courbure de Gaussche (formule de Brioschi) et les symboles de Christoffels du deuxième type.

Les propriétés d’une zone qui peut être examinée à l’aide du premier formulaire Foundal est sous la désignation géométrie intérieure ensemble.

Une zone passe par un sous-ensemble ouvert

${displaystyle usubset mathbb {r} ^ {2}}$

Illustration définie

${Displaystyle xcolon uto mathbb {r} ^ {3}, quad (u, v) Mapsto x (u, v)}$

donné, ainsi à travers

${displaystyle u}$

et

${DisplayStyle V}$

paramétré. Pour les valeurs des paramètres

${displaystyle u}$

et

${DisplayStyle V}$

Le certain point de la zone est le Coefficients de la première forme fondamentale défini comme suit:

${DisplayStyle e (u, v) = x_ {u} (u, v) cdot x_ {u} (u, v) = | x_ {u} (u, v) | ^ {2}}}$

${displayStyle f (u, v) = x_ {u} (u, v) cdot x_ {v} (u, v)}$

${displayStyle g (u, v) = x_ {v} (u, v) cdot x_ {v} (u, v) = | x_ {v} (u, v) | ^ {2}}$

Les vecteurs sont

${displayStyle x_ {u} (u, v) = {frac {partial x} {partial u}} (u, v) quad {text {und}} quad x_ {v} (u, v) = {frac {partiel x} {partiel v}} (u, v)}$

Les premières dérivations partielles selon les paramètres

${displaystyle u}$

ou.

${DisplayStyle V}$

.
Les points de peinture indiquent le produit scalaire des vecteurs.

Pour le simplifier, les arguments sont souvent omis et n’écrit que

${displaystyle e}$

,

${displaystyle f}$

et

${displaystyle g}$

pour les coefficients.
La première forme fondamentale est alors la forme carrée

${displayStyle icolon mathbb {r} ^ {2} à mathbb {r}, (w_ {1}, w_ {2}) mapsto e, w_ {1} ^ {2} + 2f, w_ {1} w_ {2} + g, w_ {2} ^ {2}}$

,

Parfois, l’orthographe avec des écarts est également utilisée:

${displayStyle ds ^ {2} = e, du ^ {2} + 2f, du, dv + g, dv ^ {2}}$

Une autre orthographe (plus moderne) est:

${displayStyle g_ {11} = e; quad g_ {12} = g_ {21} = f; quad g_ {22} = g}$

Vous définissez

${DisplayStyle x_ {1} = x_ {u}}$

et

${displayStyle x_ {2} = x_ {v}}$

Alors s’applique

${displayStyle g_ {ij} = x_ {i} cdot x_ {j}}$

pour

${displaystyle i, j = 1,2}$

.

Le paiement

${displayStyle g_ {ij}}$

sont les coefficients des co -variants
tenseurs métriques.
Donc cela a la présentation de la matrice

${displayStyle (g_ {ij}) = {begin {pmatrix} e & f \ f & gend {pmatrix}}}$

.

Souvent, ce tenseur, c’est-à-dire la forme bilinéaire montrée par cette matrice, est également appelée première forme formelle

${displaystyle g}$

Ce qui suit s’applique aux coefficients de la première forme fondamentale:

${displayStyle egeq 0; quad ggeq 0; quad eg-f ^ {2} geq 0}$

.

Y a-t-il

${displaystyle par exemple ^ {2}}$

le Discriminant (c’est-à-dire le déterminant de la matrice de représentation) de la première forme fondée.
S’applique également

${displayStyle par exemple ^ {2}> 0}$

${displaystyle e> 0}$

${displaystyle g> 0}$

${displayStyle x_ {u}}$

et

${displayStyle x_ {v}}$

Linéaire sont indépendants.
Une zone avec une première forme fondale définie positive signifie différentiel géométriquement régulier ou Différentiel géométriquement régulier paramétré .

Une courbe sur la zone donnée peut être exprimée par deux fonctions réelles

${displayStyle Varphi _ {1}}$

et

${displayStyle Varphi _ {2}}$

: Chaque valeur possible du paramètre

${displayStyle t}$

Le point situé à la surface

${displayStyle x (varphi _ _ {1} (t), varphi _ _ {2} (t))}$

attribué. Est-ce que tout le monde est impliqué
Fonctions constamment différenciées, donc la longueur du

${DisplayStyle croit [a, b]}$

courbe définie:

${displayStyle l = int limites _ {a} ^ {b} {sqrt {i ({dot {varphi}} _ {1} (t), {dot {varphi}} _ {2} (t))}}, dt = int _ {a} ^ {} i}} _ {1} (t)) ^ {2} + 2fcdot {Dot {varphi}} _ {1} (t) {Dot {Varphi}} _ {2} (t) + gcdot ({dot {Varphi}} _ {2} (t)) ^ {2}}, dt _ {2} (t)) ^ {2}}$

À l’aide de l’élément de chemin

${displayStyle ds = {sqrt {ds ^ {2}}}}$

exprimé:

${displayStyle l = int _ {varphi} ds}$

Le contenu d’une plage de paramètres

${displaystyle b}$

L’espace étant donné peut être calculé par

${displayStyle a = int limites _ {b} {sqrt {eg-f ^ {2}}}, d (u, v)}$

.

La surface d’une balle avec rayon

${displaystyle r}$

peut être paramétré dans les coordonnées sphériques

${Displaysty x (u, v) = {bebet {rsin uend usin v \ rcos uend {pmmrix}}}$

.

Pour les coefficients de la première forme fondamentale, il y a:

${displaystyle E=X_{u}(u,v)cdot X_{u}(u,v)={begin{pmatrix}rcos ucos v\rcos usin v\-rsin uend{pmatrix}}cdot {begin{pmatrix}rcos ucos v\rcos usin v\-rsin uend{pmatrix}}=r^{2}}$

${DisplayStyle f = x_ {u {u} cdot x_ {} {betnix} {pmlíngin} {pmlín} ucsin usin v \ r \ 0nos v \ 0end {pmmrix}} = 0}$

${DisplayStyle g = x_ {v} (u, v) cdot x_ {v} {pmyrix} ucsin usin v \ r \ 0n {pmatix}} {r} {2} sin ^ {2} it}$

La première forme fondamentale est donc

${displayStyle ds ^ {2} = r ^ {2}, du ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} (u), dv ^ {2}}$

.

La zone est-elle à l’étude du graphique d’une fonction

${displaystyle f}$

au-dessus de la zone des paramètres

${displaystyle u}$

, aussi

${DisplayStyle x (u, v) = (u, v, f (u, v))}$

pour tous

${DisplayStyle (u, v) dans u}$

Alors s’applique: ^[d’abord]

${DisplayStyle x_ {u} (u, v) = (1.0, f_ {u}), quad x_ {v} (u, v) = (0,1, f_ {v})}$

Et ainsi

${displayStyle e = 1 + f_ {u} ^ {2}, quad f = f_ {u} f_ {v}, quad g = 1 + f_ {v} ^ {2}}$

et

$gens$

.

Décrire ici

${displayStyle f_ {u}}$

et

${displayStyle f_ {v}}$

Les dérivations partielles de

${displaystyle f}$

après

${displaystyle u}$

ou.

${DisplayStyle V}$

.

1. ↑ A. Hartmann: Zones, courbure de Gauss, première et deuxième forme fondamentale, théorème égqueur. (PDF) 12. avril 2011, Consulté le 29 septembre 2016 . Page 6, preuve de phrase 3.4.

• Manfredo Perdigão do carmo: Géométrie différentielle des courbes et des surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.