[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/region-de-bezier-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/region-de-bezier-wikipedia\/","headline":"R\u00e9gion de Bezier – Wikipedia","name":"R\u00e9gion de Bezier – Wikipedia","description":"before-content-x4 Zone d\u00e9corative du produit du tenseur et votre r\u00e9seau de contr\u00f4le (bleu) En g\u00e9om\u00e9trie Zones de Bezier Surface dans","datePublished":"2020-04-21","dateModified":"2020-04-21","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/02\/Bezierflaeche-331.svg\/300px-Bezierflaeche-331.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/02\/Bezierflaeche-331.svg\/300px-Bezierflaeche-331.svg.png","height":"263","width":"300"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/region-de-bezier-wikipedia\/","wordCount":15631,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4 Zone d\u00e9corative du produit du tenseur et votre r\u00e9seau de contr\u00f4le (bleu) En g\u00e9om\u00e9trie Zones de Bezier Surface dans R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4qui sont d\u00e9finis comme des g\u00e9n\u00e9ralisations spatiales des courbes de Bezier. Il existe essentiellement deux fa\u00e7ons de g\u00e9n\u00e9ralisation. Cela m\u00e8ne \u00e0: Les zones jouent un r\u00f4le important dans la mod\u00e9lisation des zones en forme libre dans les domaines de l’infographie et de la conception de la charge informatique [d’abord] [2] . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsD\u00e9finition [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le casteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]] Degr\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Deering d’une r\u00e9gion de Bezier [ Modifier | Modifier le texte source ]] Motivation et d\u00e9finition [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9casteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9finition [ Modifier | Modifier le texte source ]] C’est bm ( dans ) = \u2211 je = 0 m bje B je m ( dans ) {displayStyle {bf {b}} ^ {m} (u) = sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {i} b_ {i} ^ {m} (u)} Une courbe de Bezierdans le R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} , dont les points de contr\u00f4le d’un autre param\u00e8tre (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4dans {DisplayStyle V} D\u00e9pensez, et vous devriez \u00eatre sur les courbes de Bezier: bje ( dans ) = \u2211 J = 0 n bje J B J n ( dans ) {displayStyle {bf {b}} _ {i} (v) = sum _ {j = 0} ^ {n} {bf {b}} _ {ij} b_ {j} ^ {n} (v)} . Avec il d\u00e9crit bm,n(u,v)=\u2211i=0m\u2211j=0nbijBim(u)Bjn(v),u,v\u2208[0,1]{DisplayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {i = 0} ^ {m} sum _ {j = 0} ^ {n} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^} (u) b} {n} {n} 1] une zone qui est \u00e0 la Le point de contr\u00f4le ou R\u00e9seau de contr\u00f4le bje J {displayStyle {bf {b}} _ {ij}} au revoir (M, N) -Stans de produit de l’entreprise [3] .La zone contient les points b00 , bm 0 , b0 n , bm n {displayStyle {bf {b}} _ {00}, {bf {b}} _ {m0}, {bf {b}} _ {0n}, {bf {b}} _ {mn}} Et les courbes de param\u00e8tre ( dans {displaystyle u} ou dans {DisplayStyle V} sont constants), en particulier les courbes marginales, sont des courbes de Bezier. Notez que ( d’abord , d’abord ) {DisplayStyle (1,1)} -La zone d\u00e9corative du produit tendu contient des lignes droites, mais I.A. n’est pas exactement. Par exemple, vous obtenez pour b00= ( 0 , 0 , 0 ) T, b10= ( d’abord , 0 , 0 ) T, b01= ( 0 , d’abord , 0 ) T, b11= ( d’abord , d’abord , d’abord ) T{displayStyle {bf {b}} _ {00} = (0,0,0) ^ {t}, {bf {b}} _ {10} = (1,0,0) ^ {t}, {bf {b}} {{bf {bf {bf} } = (1,1,1) ^ {t}} La zone avec la pr\u00e9sentation des param\u00e8tres x= b1,1( dans , dans ) = b00( d’abord – dans ) ( d’abord – dans ) + b10dans ( d’abord – dans ) + b01( d’abord – dans ) dans + b11dans dans {displayStyle {bf {x}} = {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = {bf {b}} _ {00} (1-u) (1-V) + {bf {b}} _ {10} u (1-v) + {bf {b} + {bf {b}} _ {11} uv} =\u22ef=(u,v,uv)T{displayStyle = cdots = Left (u, v, uvright) ^ {t}} Cela fait partie du parabolo\u00efde hyperbolique avec l’\u00e9quation Avec = X et {Displaystyle z = xy} . Le casteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]] L’id\u00e9e de base de l’algorithme Casteljau pour les courbes est la lin\u00e9aireInterpolation des points. Si vous transf\u00e9rez cette id\u00e9e \u00e0Surfaces d\u00e9coratives du produit du tenseur, vous devez donc avec un D\u00e9finissez l’interpolation lin\u00e9aire pour quatre points. C’est, comme avec les courbes,Le cas le plus simple peut \u00eatre lu: une zone de d\u00e9coration de produit (1.1) pittoresqueSur les quatre points b00 , bdix , b01 , b11 {displayStyle {bf {b}} _ {00}, {bf {b}} _ {10}, {bf {b}} _ {01}, {bf {b}} _ {11}} a la pr\u00e9sentation suivante: b1,1( dans , dans ) = ( d’abord – dans ) ( d’abord – dans ) b00+ dans ( d’abord – dans ) b10+ ( d’abord – dans ) dans b01+ dans dans b11{displayStyle {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = (1-u) (1-v) {bf {b}} _ {00} + u (1-v) {bf {b}} _ {10} + (1-u) } _ {11}} Ou sous forme matricielle: b1,1( dans , dans ) = ( d’abord – dans , dans ) ( b00b01b10b11) (1\u2212vv){displayStyle {bf {b}} ^ {1,1} (u, v) = (1-u, u) Left ({begin {array} {ll} {bf {b}} _ {00} & {bf {b}} _ {01} \\ {bf {b}}} {10} & {bf {bf {b}}} {10} & {bf {Bf {b}}} {10} & {bf {Bf {b}} _ } _ {11} end {array}} droit) {1-v Choisissez V}} Vous allez d’abord d’un ( n \u00d7 n ) {displaystyle (ntimes n)} -Controlt r\u00e9seau et d\u00e9termine (comme avec les courbes) pour r = d’abord , 2 , . . , n {displayStyle r = 1,2, .., n} et une paire de param\u00e8tres ( dans , dans ) {displayStyle (u, v)} Interpecteurs qui d\u00e9coulent de l’interpolation bilin\u00e9aire: bi,jr= ( d’abord – dans , dans ) ( bi,jr\u22121bi,j+1r\u22121bi+1,jr\u22121bi+1,j+1r\u22121) (1\u2212vv), {displayStyle {bf {b}} _ {i, j} ^ {r} = (1-u, u) Left ({begin {array} {ll} {bf {b}} _ {i, j} ^ {r-1} & {bf {b}} _ {i, j + 1} }} _ {i + 1, j} ^ {r-1} & {bf {b}} _ {i + 1, j + 1} ^ {r-1} end {array}} reight) {1-V choisissez v},} par lequel bje , J 0 : = bje , J {displayStyle {bf {b}} _ {i, j} ^ {0}: = {bf {b}} _ {i, j}} est. Ensuite \u00e0 b0 , 0 n {displayStyle {bf {b}} _ {0,0} ^ {n}} Le point que le couple de param\u00e8tres ( dans , dans ) {displayStyle (u, v)} est assign\u00e9. Chutes n”>est \u00e9teint r = n {displayStyle r = n} La deuxi\u00e8me constante d’index J = 0 {displaystyle j=0} Et il vaInterpol\u00e9e uniquement lin\u00e9aire (comme avec les courbes de Bezier). Le point b0,0m{displayStyle {bf {b}} _ {0,0} ^ {m}} est alors la zone. De la m\u00eame mani\u00e8re, vous continuez si m < n {displaystyle m est. Degr\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] C’est souvent avantageux quand un ( m , n ) {displayStyle (m, n)} -Com\u00e8tre d\u00e9coratif de produit tendu m = n {displayStyle m = n} est. Si ce n’est pas le cas, cela peut \u00eatre r\u00e9alis\u00e9 \u00e0 l’aide d’augmentation appropri\u00e9e des dipl\u00f4m\u00e9s. Le degr\u00e9 de remise des dipl\u00f4mes de ( m , n ) {displayStyle (m, n)} sur ( m + d’abord , n ) {displayStyle (m + 1, n)} La zone d\u00e9corative du produit du tenseur bm,n( dans , dans ) = \u2211 j=0n[ \u2211i=0mbijBim(u)]] B in( dans ) {displayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} gauche [sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^ {m} (u) conduit au n + d’abord {displaystyle n + 1} Grader augmente pour les courbes de Bezier sur le carr\u00e9Support: \u2211 i=0mbijB im( dans ) = \u2211 i=0m+1bij(1,0)B im+1( dans ) , J = 0 , . . . n {displayStyle sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^ {m} (u) = sum _ {i = 0} ^ {m + 1} {bf {b}} _ {ij} ^ {(1,0) , quad j = 0, … n} avec bij(1,0): = ( d’abord – im+1) bi,j+ im+1bi\u22121,j, je = 0 , . . . , m + d’abord. {displayStyle {bf {b}} _ {ij} ^ {(1,0)}: = (1- {frac {i} {m + 1}} {bf {b}} _ {i, j} + {frac {i} {m + 1}} {bf {b}} 0, …, m + 1.} Deering d’une r\u00e9gion de Bezier [ Modifier | Modifier le texte source ]] La d\u00e9rivation partielle de la zone d\u00e9corative du produit tenseur bm,n( dans , dans ) = \u2211 j=0n\u2211 i=0mbijB im( dans ) B in( dans ) {DisplayStyle {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ {i = 0} ^ {m} {bf {b}} _ {ij} b_ {i} ^} (u) b_ {i} ^ ^ apr\u00e8s dans {displaystyle u} est \u2202\u2202ubm,n( dans , dans ) = \u2211 j=0n[ \u2202\u2202u\u2211i=0mbijBim(u)]] B in( dans ) . {displayStyle {frac {partial} {partial u}} {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = sum _ {j = 0} ^ {n} Left [{frac {partial} {partial u}} sum _ {i = 0} ^ {m} {bf} _ {i} ^ {m} (u) Right] b_ {i} ^ {n} (v).} Avec le r\u00e9sultat de la d\u00e9rivation d’une courbe de Bezier, il suit: \u2202\u2202ubm,n(u,v)=m\u2211j=0n[\u2211i=0m\u22121\u03941,0bijBim\u22121(u)]Bin(v),{displayStyle {frac {partial} {partial u}} {bf {b}} ^ {m, n} (u, v) = msum _ {j = 0} ^ {n} Left [sum _ {i = 0} ^ {m-1} delta ^ {1,0} {bf {b}} {ij} {m-1} (u) droit] b_ {i} ^ {n} (v),} par lequel D d’abord , 0 bje , J : = bje + d’abord , J – bje , J {displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {i, j}: = {bf {b}} _ {i + 1, j} – {bf {b}} _ {i, j}} .De mani\u00e8re analogique, la d\u00e9rivation partielle est obtenue dans {DisplayStyle V} Et tout plus hautD\u00e9rivations. Depuis les vecteurs D d’abord , 0 b0 , 0 , D 0 , d’abord b0 , 0 {displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {0,0}, delta ^ {0,1} {bf {b}} _ {0,0}} Vecteurs tangents du b0 , 0 {displayStyle {bf {b}} _ {0,0}} Courbes marginales de d\u00e9partest, est \u03941,0b0,0\u00d7\u03940,1b0,0{displayStyle delta ^ {1,0} {bf {b}} _ {0,0} fois delta ^ {0,1} {bf {b}} _ {0,0}} un Vecteur normal la zone sur ce point si les deux lin\u00e9airessont ind\u00e9pendants. C’est-\u00e0-dire le niveau tangentiel dans les pierres angulaires d’uneLa zone d\u00e9corative du produit du tenseur est g\u00e9n\u00e9ralement chacun du point d’angle et c’estPoints voisins connect\u00e9s dans le r\u00e9seau de contr\u00f4le. Motivation et d\u00e9finition [ Modifier | Modifier le texte source ]] Une g\u00e9n\u00e9ralisation formelle des polynomes ambre sur les fonctions avec deux variables d’abord = ( dans + dans + ( d’abord – dans – dans ) ) n = \u22ef {displayStyle 1 = (u + v + (1-u-v)) ^ {n} = cdots} sortir. De sorte que le terme se produit toussont positifs, doivent ( dans , dans ) {displayStyle (u, v)} Dans le triangle ( 0 , 0 ) , ( d’abord , 0 ) , ( 0 , d’abord ) {DisplayStyle (0,0), (1.0), (0,1)} poser.Deux des trois c\u00f4t\u00e9s triangulaires jouent un r\u00f4le sp\u00e9cial en tant qu’intervalles sur les axes de coordonn\u00e9es. Pour \u00e9viter cette pr\u00e9f\u00e9rence, vous dirigez homog\u00e8ne Coordonn\u00e9es dans , dans , Dans {displaystyle u, v, w} sous condition dans + dans + Dans = d’abord , dans , dans , Dans \u2265 0 {Displaystyle u + v + w = \u200b\u200b1, u, v, wgeq 0} un. dans , dans , Dans {displaystyle u, v, w} est appel\u00e9 Coordonn\u00e9es baryzentricales . Le Polynomes d’ambre g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9s r\u00e9sulte du d\u00e9veloppement de ( dans + dans + Dans ) n {DisplayStyle (u + v + w) ^ {n}} pour: Bijkn(u,v,w):=n!i!j!k!uivjwk{DisplayStyle b_ {ijk} ^ {n} (u, v, w): = {frac {n!} {I! J! K!}} U ^ {i} v ^ {j} w ^ {k}}}}} avec je + J + k = n , je , J , k \u2265 0 {Displaystyle i + j + k = n, i, j, kgeq 0} et dans + dans + Dans = d’abord , dans , dans , Dans \u2265 0 {Displaystyle u + v + w = \u200b\u200b1, u, v, wgeq 0} . Points de contr\u00f4le d’une zone d\u00e9corative triangulaire Avec les abr\u00e9viations je : = ( je , J , k ) , dans : = ( dans , dans , Dans ) {displayStyle {bf {i}}: = (i, j, k), {bf {u}}: = (u, v, w)} et | je | : = je + J + k , | dans | : = dans + dans + Dans {displayStyle | {bf {i}} |: = i + j + k, | {bf {u}} |: = u + v + w} est B In( u) : = n!i!j!k!dans idans jDans k, | u| = d’abord et \u2211 |I|=nB In= d’abord. {displayStyle b_ {bf {i}} ^ {n} ({bf {u}}): = {frac {n!} {i! J! K!}} u ^ {i} v ^ {j} w ^ {k}, quad | {bf {u}} | = 1quad {bf}} {I}} | = n} b_ {bf {i}} ^ {n} = 1.} Est maintenant b00n, b10,n\u22121, . . . bn00, b01,n\u22121, b11,n\u22122, . . . , bn\u22121,10, . . . , b0n0{displaystyle {bf {b}}_{00n},{bf {b}}_{10,n-1},…{bf {b}}_{n00},{bf {b}}_{01,n-1},{bf {b}}_{11,n-2},…,{bf {b}}_{n-1,10},…,{bf {b}}_{0n0}} Un r\u00e9seau triangulaire de points du R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} , le Le point de contr\u00f4le , aussi [4] bn(u):=\u2211|I|=nbIBIn(u){displayStyle {bf {b}} ^ {n} ({bf {u}}): = sum _ {| {bf {i}} | = n} {bf {b}} _ {bf {i}} {bf {u}) L’associ\u00e9 Zone de triangle . L’illustration montre la disposition des points de l’\u00e9v\u00e9nement n = 4 {displayStyle n = 4} . D\u00e9casteljau-algorithme [ Modifier | Modifier le texte source ]] Afin de pouvoir formuler clairement l’algorithme Casteljau pour les zones d\u00e9coratives triangulaires, les abr\u00e9viations suivantes sont toujours introduites [5] : e1: = ( d’abord , 0 , 0 ) , e2: = ( 0 , d’abord , 0 ) , e3: = ( 0 , 0 , d’abord ) {displayStyle {bf {e}} {1}: = (1,0,0),; {bf {e}} {2}: = (0,1,0),; et o: = ( 0 , 0 , 0 ) {displayStyle; {bf {o}}: = (0,0,0)} . C’est maintenant { bI| | je | = n } {displayStyle {{bf {b}} _ {bf {i}} || {bf {i}} | = n}} Un r\u00e9seau triangulaire dePointe dans R 3 {displaystyle mathbb {r} ^ {3}} et dans {displayStyle {bf {u}}} Un vecteur de param\u00e8tre dans le centre BaryCoordonn\u00e9es. Alors soyez pour r = d’abord , . . . , n {displayStyle r = 1, …, n} et je = n – r {displayStyle {bf {i}} = n-r} bIr: = dans bI+e1r\u22121( u) + dans bI+e2r\u22121( u) + Dans bI+e3r\u22121( u) {displaystyle {bf {b}}_{bf {I}}^{r}:=u{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{1}}^{r-1}({bf {u}})+v{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{2}}^{r-1}({bf {u}})+w{bf {b}}_{{bf {I}}+{bf {e}}_{3}}^{r-1}({bf {u}})} avec bI0 ( dans ) : = bI. {displayStyle {bf {b}} _ {bf {i}} ^ {0} ({bf {u}}): = {bf {b}} _ {bf {i}}.} Alors bon( u) {displayStyle {bf {b}} _ {bf {o}} ^ {n} ({bf {u}})} Un point de la zone d\u00e9corative du triangle [6] . La preuve que l’algorithme Casteljau offre vraiment un point de la zone d\u00e9corative triangulaire, utilise (analogue au coin) les formules de r\u00e9cursivit\u00e9 pour les polynomies ambre: B In( u) = dans B I\u2212e1n\u22121( u) + dans B I\u2212e2n\u22121( u) + Dans B I\u2212e3n\u22121( u) , | I| = n . {displayStyle b_ {bf {i}} ^ {n} ({bf {u}}) = ub _ {{bf {i}} – {bf {e}} _ {1}} ^ {n-1} ({bf} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} -} – _ }} _ {2}} ^ {n-1} ({bf {u}}) + wb _ {{bf {i}} – {bf {e}} _ {3}} ^ {n-1} ({bf {u}}), quad | {bf {i}}) Pour plus de d\u00e9tails, une r\u00e9f\u00e9rence est faite \u00e0 la litt\u00e9rature. \u2191 Blanc: Courbes et surfaces pour CAGD \u2191 Hoschek et plus tard: Bases du traitement des donn\u00e9es g\u00e9om\u00e9triques \u2191 Blanc s. 254 \u2191 Blanc s. 310 \u2191 Blanc s. 307 \u2191 Blanc s. 306 Gerald White: Courbes et surfaces pour CAGD. Un guide pratique. 5e \u00e9d. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4 J. Hosterk, D. Lower: Bases du traitement des donn\u00e9es g\u00e9om\u00e9triques , Vieweg + Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5 David Salomon: Courbes et surfaces pour les graphiques informatiques . Springer Science + Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5 Boaswan Dzung Wong: Courbes B\u00e9zier: dessin et calcul\u00e9 . Orell F\u00fcssli Verlag, Zurich 2003, ISBN 3-280-04021-3 Wolfgang Boehm, Gerald Farin, J\u00fcrgen Kahmann: Une \u00e9tude des m\u00e9thodes de courbe et de surface dans le CAGD , Comput. Geom aid\u00e9. DES. 1, S. 1\u201360, 1984 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/region-de-bezier-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"R\u00e9gion de Bezier – Wikipedia"}}]}]