Schur-Zerleng “Wikipedia Wikipedia

Quand Tonte ou Forme normale (après Issai Schur) est mentionné dans l’algèbre linéaire, une sous-zone de mathématiques, une décomposition matricielle importante, plus précisément un processus de trigonalisation.

${displaystyle a}$

être une matrice carrée avec des entrées

${displaystyle mathbb {k}}$

(aussi

${displaystyle ain mathbb {k} ^ {ntimes n}}$

, par lequel

${displaystyle mathbb {k}}$

Soit pour

${displayStyle Mathbb {r}}$

ou pour

${displaystyle mathbb {C} }$

des stands).
Le polynôme caractéristique se désintégre à partir de

${displaystyle a}$

au-dessus de

${displaystyle mathbb {k}}$

Dans les facteurs linéaires, il y a une matrice unitarienne

${displaystyle uin mathbb {k} ^ {ntimes n}}$

, de sorte que

${displayStyle r = u ^ {*} Auquad}$

(

${displaystyle u ^ {*}}$

Est-ce aussi

${displaystyle u}$

Adjung Matrix)

est une matrice triangulaire supérieure. Là

${displaystyle u}$

est unitarien, suit

${displaystyle a = uru ^ {*}}$

; Une telle représentation signifie le cisaillement de

${displaystyle a}$

.

• Et
  ${displaystyle r}$

  est une matrice triangulaire supérieure, elle peut être la somme d’une matrice diagonale

  ${displayStyle d}$

  et une matrice triangulaire supérieure stricte

  ${displaystyle n}$

  être représenté (

  ${DisplayStyle d, nin mathbb {k} ^ {ntimes n}}}$

  ):

${displayStyle r = d + n}$

Il s’applique alors:

• 
  ${displayStyle d}$

  est clairement à l’exception de l’ordre des éléments diagonaux et est comme le Contenu diagonal du cisaillement désigné.

• 
  ${displaystyle n}$

  est nilpotent, généralement clair qu’en ce qui concerne leur standard Frobenius et le Proportion nilpotente de cisaillement appelé.

• La norme Frobenius de
  ${displaystyle n}$

  Est exactement 0 quand

  ${displaystyle a}$

  Est normal.

Peut être

${displaystyle ain mathbb {k} ^ {ntimes n}}$

. Tout d’abord, un Valon Eigen

${displaystyle lambda _ {1}}$

et un propre vecteur correspondant

${displayStyle v_ {1}}$

pour

${displaystyle a}$

être trouvé. Maintenant devenir

${displaystyle n-1}$

Vecteurs

${displayStyle w_ {2}, ldots, w_ {n}}$

choisi pour que

${displayStyle v_ {1}, w_ {2}, ldots, w_ {n}}$

Une base orthonormale en

${displaystyle mathbb {k} ^ {n}}$

former. Ces vecteurs forment les colonnes d’une matrice

${displayStyle v_ {1}}$

avec

${displayStyle v_ {1} ^ {*} av_ {1} = {begin {bmatrix} lambda _ {1} & * \ 0 & a_ {1} end {bMatrix}}}$

,

par lequel

${displayStyle a_ {1}}$

un

${DisplayStyle (n-1) fois (n-1)}$

La matrice est. Maintenant ce processus pour

${displayStyle a_ {1}}$

répété. Une matrice unitaire est créée

${displayStyle v_ {2}}$

avec

${displayStyle v_ {2} ^ {*} a_ {1} v_ {2} = {begin {bmatrix} lambda _ {2} & * \ 0 & a_ {2} end {bMatrix}}}$

,

par lequel

${displayStyle a_ {2}}$

un

${DisplayStyle (n-2) fois (n-2)}$

La matrice est. Puis appliquer

${displayStyle q_ {2} ^ {*} aq_ {2} = {begin {bmatrix} lambda _ {1} & * & * \ 0 & lambda _ {2} & * \ 0 & 0 & a_ {2} end {bMatrix}}}}$

,

par lequel

${displayStyle q_ {2} = v_ {1} {hat {v}} _ {2}}$

avec

${displayStyle {hat {v}} _ {2} = {begin {bmatrix} 1 & 0 \ 0 & v_ {2} end {bMatrix}}}$

est applicable. Toute la procédure

${displayStyle (n-1)}$

-Il répéter jusqu’à ce que les matrices

${displayStyle v_ {1}, ldots, {hat {v}} _ {n-1}}$

cadeau. Alors

${displayStyle q: = v_ {1} {hat {v}} _ {2} {hat {v}} _ {3} cdots {hat {v}} _ {n-1}}$

une matrice unitarienne et

${displayStyle r: = q ^ {*} aq}$

une matrice triangulaire supérieure. Cela signifie que la décomposition de Schur de la matrice est

${displaystyle a}$

certainement.

Par exemple, considérez la matrice

${displayStyle a = {begin {bmatrix} -2 & 1 & 3 \ 2 & 1 & -1 \ -7 & 2 & 7end {bmatrix}}}$

Avec l’estime de soi

${displayStyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda _ {3} = 2}$

(La matrice ne peut pas être diagonalisée car la dimension du propre espace 1 associé à ce Velaval est).

Comme base du début, nous choisissons la base standard

${displaystyle langue e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} Hangle}$

, par lequel

${displayStyle e_ {j}}$

le

${displaystyle j}$

-Pe vecteur unitaire.

Pour

${displayStyle a_ {1} = a}$

Nous déterminons un propre vecteur 2, par exemple

${displayStyle {begin {bmatrix} 1 \ 1 \ 1end {bMatrix}}}$

avec présentation

${displayStyle v_ {1}: = 1e_ {1} + 1e_ {2} + 1e_ {3} = {begin {bmatrix} 1 \ 1 \ 1end {bmatrix}}}$

Et le compléter à une base indépendante linéaire, par ex. B.

${displayStyle Langle v_ {1}, e_ {1}, e_ {3} Hangle}$

. À partir de cette nouvelle base, nous créons les informations de base

${displayStyle v_ {1} = (v_ {1} | e_ {1} | e_ {3})}$

et calculer

${DISPLAYSTYLE V_ {1} {- 1} Av_ {{BIAMIX} 2 &-0 &-0 &-0 & -9 & BLATIX}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

De là, on peut voir que

${displayStyle a_ {2} = {begin {bMatrix} -4 & 4 \ -9 & 8end {bMatrix}}}$

.

Pour

${displayStyle a_ {2}}$

Nous déterminons un propre vecteur 2, par ex. B.

${displayStyle {begin {bmatrix} 2 \ 3end {bMatrix}}}$

avec présentation

${displayStyle v_ {2}: = 0v_ {1} + 2e_ {1} + 3e_ {3} = {begin {bmatrix} 2 \ 0 \ 3end {bmatrix}}}$

Et le compléter à une base indépendante linéaire, par ex. B.

${displaystyle languel v_ {1}, v_ {2}, e_ {3} Hangle}$

. À partir de cette nouvelle base, nous créons les informations de base

${displayStyle v_ {2} = (v_ {1} | v_ {2} | e_ {3})}$

et calculer

${DisplayStyle v_ {2} {- 1} av_ {2} = blamrix} 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 6$

.

Comme indiqué ci-dessus, la base peut être sélectionnée comme vous le souhaitez, mais la question devient très simple et intéressante si le choix de la base standard est extrait (si possible). Cela modifie les étapes précédentes comme suit:

Pour

${displayStyle a_ {1} = a}$

Nous déterminons un propre vecteur 2, par ex. B.

${displayStyle {begin {bmatrix} 1 \ 1 \ 1end {bMatrix}}}$

avec présentation

${displayStyle v_ {1}: = {begin {bMatrix} 1 \ 1 \ 1end {bmatrix}}}$

Et le compléter à une base indépendante linéaire, par ex. B.

${displayStyle languel v_ {1}, e_ {2}, e_ {3} Hangle}$

. À partir de cette nouvelle base, nous créons les informations de base

${displayStyle v_ {1} = (v_ {1} | e_ {2} | e_ {3})}$

et calculer

${displayStyle v_ {1} ^ {- 1} av_ {1} = {begin {BMatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & 0 & -4 \ 0 & 1 & 4end {bMatrix}}}$

De là, on peut voir que

${displayStyle a_ {2} = {begin {bMatrix} 0 & -4 \ 1 & 4end {bMatrix}}}$

.

Pour

${displayStyle a_ {2}}$

Nous déterminons un propre vecteur 2, par ex. B.

${displayStyle {begin {bmatrix} 2 \ -1end {bMatrix}}}$

avec présentation

${displayStyle v_ {2}: = {begin {bmatrix} 0 \ 2 \ -1end {bmatrix}}}$

Et le compléter à une base indépendante linéaire, par ex. B.

${displaystyle languel v_ {1}, v_ {2}, e_ {3} Hangle}$

. À partir de cette nouvelle base, nous créons les informations de base

${displayStyle v_ {2} = (v_ {1} | v_ {2} | e_ {3})}$

et calculer

${DISPLYSTYLE V_ {2} ^ – 1} Av_ {2} = BLIBIX} 2 &-0 &-0 &-0 & 0 & 2 & 2 & BLATIX}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

.

Ici, le calcul de la représentation des vecteurs dans la bonne base est intuitif et donc moins sujet aux erreurs, et les informations de base finales sont ici

${displayStyle v_ {2}}$

également une matrice triangulaire.

Avec le processus d’orthogonalisation Gram-Schmidtsch, la matrice de base acquise peut être fabriquée une matrice d’unité, au besoin.