[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schur-zerleng-wikipedia-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schur-zerleng-wikipedia-wikipedia\/","headline":"Schur-Zerleng “Wikipedia Wikipedia","name":"Schur-Zerleng “Wikipedia Wikipedia","description":"before-content-x4 Quand Tonte ou Forme normale (apr\u00e8s Issai Schur) est mentionn\u00e9 dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, une sous-zone de math\u00e9matiques, une d\u00e9composition","datePublished":"2020-11-10","dateModified":"2020-11-10","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schur-zerleng-wikipedia-wikipedia\/","wordCount":10552,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Quand Tonte ou Forme normale (apr\u00e8s Issai Schur) est mentionn\u00e9 dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, une sous-zone de math\u00e9matiques, une d\u00e9composition matricielle importante, plus pr\u00e9cis\u00e9ment un processus de trigonalisation.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4UN {displaystyle a} \u00eatre une matrice carr\u00e9e avec des entr\u00e9es K {displaystyle mathbb {k}} (aussi        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4UN \u2208 K n \u00d7 n {displaystyle ain mathbb {k} ^ {ntimes n}} , par lequel K {displaystyle mathbb {k}} Soit pour R {displayStyle Mathbb {r}} ou pour C {displaystyle mathbb {C} } des stands).Le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique se d\u00e9sint\u00e9gre \u00e0 partir de        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4UN {displaystyle a} au-dessus de K {displaystyle mathbb {k}} Dans les facteurs lin\u00e9aires, il y a une matrice unitarienne DANS \u2208 K n \u00d7 n {displaystyle uin mathbb {k} ^ {ntimes n}} , de sorte que R = DANS \u2217UN DANS {displayStyle r = u ^ {*} Auquad} ( DANS \u2217{displaystyle u ^ {*}} Est-ce aussi DANS {displaystyle u} Adjung Matrix) est une matrice triangulaire sup\u00e9rieure. L\u00e0 DANS {displaystyle u} est unitarien, suit UN = DANS R DANS \u2217 {displaystyle a = uru ^ {*}} ; Une telle repr\u00e9sentation signifie le cisaillement de UN {displaystyle a} . Et R {displaystyle r} est une matrice triangulaire sup\u00e9rieure, elle peut \u00eatre la somme d’une matrice diagonale D {displayStyle d} et une matrice triangulaire sup\u00e9rieure stricte N {displaystyle n} \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 ( D , N \u2208 Kn\u00d7n{DisplayStyle d, nin mathbb {k} ^ {ntimes n}}} ): R = D + N {displayStyle r = d + n} Il s’applique alors: D{displayStyle d} est clairement \u00e0 l’exception de l’ordre des \u00e9l\u00e9ments diagonaux et est comme le Contenu diagonal du cisaillement d\u00e9sign\u00e9. N{displaystyle n} est nilpotent, g\u00e9n\u00e9ralement clair qu’en ce qui concerne leur standard Frobenius et le Proportion nilpotente de cisaillement appel\u00e9. La norme Frobenius de N{displaystyle n} Est exactement 0 quand A{displaystyle a} Est normal. Peut \u00eatre UN \u2208 K n \u00d7 n {displaystyle ain mathbb {k} ^ {ntimes n}} . Tout d’abord, un Valon Eigen l d’abord {displaystyle lambda _ {1}} et un propre vecteur correspondant dans d’abord {displayStyle v_ {1}} pour UN {displaystyle a} \u00eatre trouv\u00e9. Maintenant devenir n – d’abord {displaystyle n-1} Vecteurs Dans 2 , … , Dans n {displayStyle w_ {2}, ldots, w_ {n}} choisi pour que dans d’abord , Dans 2 , … , Dans n {displayStyle v_ {1}, w_ {2}, ldots, w_ {n}} Une base orthonormale en K n {displaystyle mathbb {k} ^ {n}} former. Ces vecteurs forment les colonnes d’une matrice DANS d’abord {displayStyle v_ {1}} avec DANS 1\u2217UN DANS 1= [\u03bb1\u22170A1]{displayStyle v_ {1} ^ {*} av_ {1} = {begin {bmatrix} lambda _ {1} & * \\ 0 & a_ {1} end {bMatrix}}} , par lequel UN d’abord {displayStyle a_ {1}} un ( n – d’abord ) \u00d7 ( n – d’abord ) {DisplayStyle (n-1) fois (n-1)} La matrice est. Maintenant ce processus pour UN d’abord {displayStyle a_ {1}} r\u00e9p\u00e9t\u00e9. Une matrice unitaire est cr\u00e9\u00e9e DANS 2 {displayStyle v_ {2}} avec DANS 2\u2217UN 1DANS 2= [\u03bb2\u22170A2]{displayStyle v_ {2} ^ {*} a_ {1} v_ {2} = {begin {bmatrix} lambda _ {2} & * \\ 0 & a_ {2} end {bMatrix}}} , par lequel UN 2 {displayStyle a_ {2}} un ( n – 2 ) \u00d7 ( n – 2 ) {DisplayStyle (n-2) fois (n-2)} La matrice est. Puis appliquer Q 2 \u2217 UN Q 2 = [ \u03bb1\u2217\u22170\u03bb2\u221700A2]] {displayStyle q_ {2} ^ {*} aq_ {2} = {begin {bmatrix} lambda _ {1} & * & * \\ 0 & lambda _ {2} & * \\ 0 & 0 & a_ {2} end {bMatrix}}}} , par lequel Q 2 = DANS d’abord V^2 {displayStyle q_ {2} = v_ {1} {hat {v}} _ {2}} avec V^2 = [ 100V2]] {displayStyle {hat {v}} _ {2} = {begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & v_ {2} end {bMatrix}}} est applicable. Toute la proc\u00e9dure ( n – d’abord ) {displayStyle (n-1)} -Il r\u00e9p\u00e9ter jusqu’\u00e0 ce que les matrices DANS d’abord , … , V^n – d’abord {displayStyle v_ {1}, ldots, {hat {v}} _ {n-1}} cadeau. Alors Q : = DANS d’abord V^2 V^3 \u22ef V^n – d’abord {displayStyle q: = v_ {1} {hat {v}} _ {2} {hat {v}} _ {3} cdots {hat {v}} _ {n-1}} une matrice unitarienne et R : = Q \u2217 UN Q {displayStyle r: = q ^ {*} aq} une matrice triangulaire sup\u00e9rieure. Cela signifie que la d\u00e9composition de Schur de la matrice est UN {displaystyle a} certainement. Par exemple, consid\u00e9rez la matrice UN = [ \u221221321\u22121\u2212727]] {displayStyle a = {begin {bmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -7 & 2 & 7end {bmatrix}}} Avec l’estime de soi l d’abord = l 2 = l 3 = 2 {displayStyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda _ {3} = 2} (La matrice ne peut pas \u00eatre diagonalis\u00e9e car la dimension du propre espace 1 associ\u00e9 \u00e0 ce Velaval est). Comme base du d\u00e9but, nous choisissons la base standard \u27e8 C’est d’abord , C’est 2 , C’est 3 \u27e9 {displaystyle langue e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} Hangle} , par lequel C’est J {displayStyle e_ {j}} le J {displaystyle j} -Pe vecteur unitaire. Pour UN d’abord = UN {displayStyle a_ {1} = a} Nous d\u00e9terminons un propre vecteur 2, par exemple [ 111]] {displayStyle {begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1end {bMatrix}}} avec pr\u00e9sentation dans d’abord : = d’abord C’est d’abord + d’abord C’est 2 + d’abord C’est 3 = [ 111]] {displayStyle v_ {1}: = 1e_ {1} + 1e_ {2} + 1e_ {3} = {begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1end {bmatrix}}} Et le compl\u00e9ter \u00e0 une base ind\u00e9pendante lin\u00e9aire, par ex. B. \u27e8 dans d’abord , C’est d’abord , C’est 3 \u27e9 {displayStyle Langle v_ {1}, e_ {1}, e_ {3} Hangle} . \u00c0 partir de cette nouvelle base, nous cr\u00e9ons les informations de base DANS d’abord = ( dans d’abord | C’est d’abord | C’est 3 ) {displayStyle v_ {1} = (v_ {1} | e_ {1} | e_ {3})} et calculer DANS d’abord – d’abord UN DANS d’abord = [ 22\u221210\u2212440\u221298]] {DISPLAYSTYLE V_ {1} {- 1} Av_ {{BIAMIX} 2 &-0 &-0 &-0 & -9 & BLATIX}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} De l\u00e0, on peut voir que UN 2 = [ \u221244\u221298]] {displayStyle a_ {2} = {begin {bMatrix} -4 & 4 \\ -9 & 8end {bMatrix}}} . Pour UN 2 {displayStyle a_ {2}} Nous d\u00e9terminons un propre vecteur 2, par ex. B. [ 23]] {displayStyle {begin {bmatrix} 2 \\ 3end {bMatrix}}} avec pr\u00e9sentation dans 2 : = 0 dans d’abord + 2 C’est d’abord + 3 C’est 3 = [ 203]] {displayStyle v_ {2}: = 0v_ {1} + 2e_ {1} + 3e_ {3} = {begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3end {bmatrix}}} Et le compl\u00e9ter \u00e0 une base ind\u00e9pendante lin\u00e9aire, par ex. B. \u27e8 dans d’abord , dans 2 , C’est 3 \u27e9 {displaystyle languel v_ {1}, v_ {2}, e_ {3} Hangle} . \u00c0 partir de cette nouvelle base, nous cr\u00e9ons les informations de base DANS 2 = ( dans d’abord | dans 2 | C’est 3 ) {displayStyle v_ {2} = (v_ {1} | v_ {2} | e_ {3})} et calculer DANS 2 – d’abord UN DANS 2 = [ 21\u22121022002]] {DisplayStyle v_ {2} {- 1} av_ {2} = blamrix} 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 6 . Comme indiqu\u00e9 ci-dessus, la base peut \u00eatre s\u00e9lectionn\u00e9e comme vous le souhaitez, mais la question devient tr\u00e8s simple et int\u00e9ressante si le choix de la base standard est extrait (si possible). Cela modifie les \u00e9tapes pr\u00e9c\u00e9dentes comme suit: Pour UN d’abord = UN {displayStyle a_ {1} = a} Nous d\u00e9terminons un propre vecteur 2, par ex. B. [ 111]] {displayStyle {begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1end {bMatrix}}} avec pr\u00e9sentation dans d’abord : = [ 111]] {displayStyle v_ {1}: = {begin {bMatrix} 1 \\ 1 \\ 1end {bmatrix}}} Et le compl\u00e9ter \u00e0 une base ind\u00e9pendante lin\u00e9aire, par ex. B. \u27e8 dans d’abord , C’est 2 , C’est 3 \u27e9 {displayStyle languel v_ {1}, e_ {2}, e_ {3} Hangle} . \u00c0 partir de cette nouvelle base, nous cr\u00e9ons les informations de base DANS d’abord = ( dans d’abord | C’est 2 | C’est 3 ) {displayStyle v_ {1} = (v_ {1} | e_ {2} | e_ {3})} et calculer DANS d’abord – d’abord UN DANS d’abord = [ 21300\u22124014]] {displayStyle v_ {1} ^ {- 1} av_ {1} = {begin {BMatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 4end {bMatrix}}} De l\u00e0, on peut voir que UN 2 = [ 0\u2212414]] {displayStyle a_ {2} = {begin {bMatrix} 0 & -4 \\ 1 & 4end {bMatrix}}} . Pour UN 2 {displayStyle a_ {2}} Nous d\u00e9terminons un propre vecteur 2, par ex. B. [ 2\u22121]] {displayStyle {begin {bmatrix} 2 \\ -1end {bMatrix}}} avec pr\u00e9sentation dans 2 : = [ 02\u22121]] {displayStyle v_ {2}: = {begin {bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1end {bmatrix}}} Et le compl\u00e9ter \u00e0 une base ind\u00e9pendante lin\u00e9aire, par ex. B. \u27e8 dans d’abord , dans 2 , C’est 3 \u27e9 {displaystyle languel v_ {1}, v_ {2}, e_ {3} Hangle} . \u00c0 partir de cette nouvelle base, nous cr\u00e9ons les informations de base DANS 2 = ( dans d’abord | dans 2 | C’est 3 ) {displayStyle v_ {2} = (v_ {1} | v_ {2} | e_ {3})} et calculer DANS 2 – d’abord UN DANS 2 = [ 2\u22121302\u22122002]] {DISPLYSTYLE V_ {2} ^ – 1} Av_ {2} = BLIBIX} 2 &-0 &-0 &-0 & 0 & 2 & 2 & BLATIX}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} . Ici, le calcul de la repr\u00e9sentation des vecteurs dans la bonne base est intuitif et donc moins sujet aux erreurs, et les informations de base finales sont ici DANS 2 {displayStyle v_ {2}} \u00e9galement une matrice triangulaire. Avec le processus d’orthogonalisation Gram-Schmidtsch, la matrice de base acquise peut \u00eatre fabriqu\u00e9e une matrice d’unit\u00e9, au besoin.      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