Schwach un

Un faible dérivation est dans l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de mathématiques, une expansion du concept de dérivation ordinaire (classique). Il lui permet d’attribuer des fonctions à une dérivation qui n’est pas (fortement ou au sens classique).

Les dérivations faibles jouent un rôle majeur dans la théorie des équations différentielles partielles. Les chambres sont des fonctions faiblement différenciées sont les salles Sobolev. Un concept de dérivation encore plus général est la distribution.

Dérivation faible pour les fonctions réelles [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si vous en regardez un sur un intervalle ouvert

${displayStyle i = (a, b)}$

Fonction (classique) différenciable

${displaystyle f}$

la dérivation

${displaystyle f ^ {prime}}$

un

${displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}}$

-Fonction (local dans

${displayStyle i}$

est intégrable) et une fonction de test

${displayStyle varphi dans c_ {c} ^ {infty} (i)}$

(Cela signifie,

${displaystyle varphi}$

peut être différencié le plus souvent possible et a un porte-foreux compact), alors ce qui suit s’applique

${displayStyle int _ {i} f ^ {prime} (t) varphi (t), mathrm {d} t = -int _ {i} f (t) varphi ^ {prime} (t), mathrm {d} t}$

.

L’intégration partielle a été utilisée ici, par laquelle le bord VEES est éliminé en raison des propriétés des fonctions de test

${DisplayStyle Left (varphi (a) = 0, varphi (b) = 0Right)}$

. Si l’exigence d’intéglilité de la dérivation est omise, l’intégrale du côté gauche de l’équation ci-dessus n’est généralement pas bien définie.

Est

${displaystyle f}$

Même un

${displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}}$

-Function, alors même si

${displaystyle f}$

n’est pas différencié, une fonction

${displayStyle gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (i)}$

existe que l’équation

${displayStyle int _ {i} g (t) varphi (t), mathrm {d} t = -int _ {i} f (t) varphi ^ {prime} (t), mathrm {d} t}$

Pour chaque fonction de test

${displaystyle varphi}$

Remplit. Une telle fonction

${displaystyle g}$

est appelé faible dérivation depuis

${displaystyle f}$

. Vous écrivez comme la dérivation classique

${displayStyle f ^ {prime}: = g}$

.

Dérivations faibles plus faibles [ Modifier | Modifier le texte source ]]

En termes de cas décrit ci-dessus, des dérivations faibles peuvent également être définies pour les fonctions sur des salles de dimension supérieure. En conséquence, les dérivations faibles plus faibles peuvent être définies.

Être

${displayStyle omega subseseq mathbb {r} ^ {n}}$

,

${displaystyle fcolon omega rightarrow mathbb {r}}$

Une fonction localement intégrable, c’est-à-dire

${displayStyle fin l_ {Mathrm {loc}} ^ {1} (Omega)}$

, et

${displayStyle alpha = (alpha _ {1}, dotsc, alpha _ {n}) dans mathbb {n} _ {0} ^ {n}}$

Un index multi-index.

Une fonction

${displayStyle gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (omega)}$

est appelé

${displaystyle alpha}$

-e dérivation faible depuis

${displaystyle f}$

, si pour toutes les fonctions de test

${displaystyle varphi}$

est applicable:

${displayStyle int _ {omega} g (x) varphi (x), mathrm {d} x = (- 1) ^ {| alpha |} int _ {omega} f (x) d ^ {alpha} varphi (x), mathrm {d} x} x} x} X}$

.

Voici

${displaystyle textstyle | alpha | = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i}}$

et

${affichestyle d ^ {alpha} = {frac {partial ^ {| alpha |}} {partiel ^ {alpha _ {1}} x_ {1} DOTSO partiel ^ {alpha _ {n}} x_ {n}}}}}$

. Souvent, vous écrivez

${displayStyle g = d ^ {alpha} f}$

.

Vous pouvez à la place

${displayStyle f, gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (Omega)}$

Apparemment seulement

${displayStyle f, gin l ^ {p} (Omega)}$

pour

${displaystyle 1leq pleq infty}$

demande. La sous-traduit des fonctions

${displaystyle l ^ {p}}$

, dans le

${displaystyle ngeq 1}$

Il y a des dérivations faibles, une soi-disant salle de Sobolev.

Est une fonction

${displaystyle fcolon omega rightarrow mathbb {r} ^ {m}}$

Avant, on appelle à la faible différentibilité dans chacun des

${displaystyle m}$

Le composant d’image.

Extensions [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La définition de la faible dérivation peut être faite en quantités illimitées

${displayStyle à gauche (à droite.}$

Si complètement

${displayStyle Mathbb {r}}$

ou

${displayStyle Mathbb {r} ^ {n} Left.Right)}$

, Élargissez les pièces des fonctions ou des pièces périodiques sur la balle ou des sphères de dimension supérieure.

Dans une autre généralisation, des dérivations de l’ordre brisé peuvent également être obtenues.

Unicité [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La faible dérivation est claire quand elle existe: il y a deux dérivations faibles

${displayStyle g_ {1}}$

et

${displayStyle g_ {2}}$

, alors selon la définition

${displayStyle int _ {i} (g_ {1} (t) -g_ {2} (t)) varphi (t), mathrm {d} t = 0}$

Pour toutes les fonctions de test

${displaystyle varphi}$

postuler, mais quoi selon le lemme de Du Bois-Reymond

${displayStyle g_ {1} = g_ {2}}$

signifie (im

${displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}}$

-Siene, d. H. presque partout), puisque les fonctions de test sont proches

${displaystyle l ^ {p}}$

mentir (pour

${displaystyle 1leq p$

).

Relation avec la dérivation classique (forte) [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Avec chaque fonction classiquement différenciée

${displaystyle f}$

la dérivation

${displaystyle f ^ {prime}}$

un

${displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}}$

-La fonction est que la faible dérivation existe et correspond à la dérivation classique, afin que l’on puisse parler d’une généralisation du concept de dérivation. Contrairement à la dérivation classique, la faible dérivation n’est pas définie en termes de point, mais uniquement pour toute la fonction. Une faible dérivation n’a même pas besoin d’exister. L’égalité est donc dans

${displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}}$

-Siene à comprendre, c’est-à-dire H. presque partout.

Il peut être démontré que la différenciation faible suffisamment souvent existante est à nouveau différenciée au sens classique. C’est précisément l’énoncé de l’intégration de Sobolew: dans certaines conditions, il y a un amarrage d’une zone de Sobolew avec

${displaystyle n}$

Dérivations faibles dans les pièces

${displaystyle k}$

-Fach Fonctions de différenciation

${displaystyle c ^ {k}}$

avec

${displaystyle n> kgeq 0}$

existence [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${displayStyle f ^ {prime} (x) = {begin {case} -1 &: x <0 \ 0 &: x = 0 \ + 1 &: x> 0end {cas}}}$

${displaystyle Varphi colon] a, b [à mathbb {r}}$

droit

${displayStyle {begin {aligned} int _ {a} ^ {b} varphi ‘(x) cdot f (x), mathrm {d} x = & int _ {a} ^ {0} -varphi’ (x) x, mathrm {d} x + int _ {0} ^ {{b} varphi ‘(x) = & – Left (int _ {a} ^ {0} varphi (x) cdot (-1), mathrm {d} x + int _ {0} ^ {b} varphi (x) cdot 1, mathrm {d} xright) \ = & – int _ {a} ^ {b} varphi (x) cdot f ^ {x) x.end {aligné}}}$

Ainsi

${displaystyle f ^ {prime}}$

Une faible dérivation de

${displaystyle f}$

.

Et

${DisplayStyle {0}}$

est un montant nul et est donc insignifiant lors de l’intégration, vous pouvez définir la valeur au point 0. La dérivation sélectionnée ci-dessus est la fonction de signe. La fonction de signe elle-même n’est plus faiblement différenciée, mais vous pouvez la dériver dans le sens des distributions.

${displayStyle f (x) = {begin {case} x ^ {2} sin Left ({frac {1} {x ^ {2}}} droit) &: xneq 0 \ 0 &: x = 0end {cas}}}$

est classiquement différenciable sur l’intervalle

${displayStyle i = (- 1,1)}$

, mais pas faiblement différencié. Le problème est que la dérivation

${affichestyle f ^ {prime} (x) = {begin {case} 2xsin Left ({frac {1} {x ^ {2}}} droit) – {frac {2} {x}} cos Left ({frac {1} {x ^ {2}}} droite) &: xneq 0 \ 0 &: 0end}}}}$

sur

${DisplayStyle 0}$

sous-ensemble compact contenu de

${displayStyle i}$

ne peut pas être intégré de la vie. C’est particulièrement l’intégrale

${displayStyle int _ {i} f ^ {prime} (t) varphi (t), mathrm {d} t}$

Pas pour toutes les fonctions de test

${displayStyle varphi dans c_ {c} ^ {infty} (i)}$

Bien-défini.