[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schwach-un\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schwach-un\/","headline":"Schwach un","name":"Schwach un","description":"before-content-x4 Un faible d\u00e9rivation est dans l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de math\u00e9matiques, une expansion du concept de d\u00e9rivation ordinaire (classique).","datePublished":"2023-09-25","dateModified":"2023-09-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d37237feeb62b74b83826b2b8053aac17f3893f","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d37237feeb62b74b83826b2b8053aac17f3893f","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schwach-un\/","wordCount":10405,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Un faible d\u00e9rivation est dans l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de math\u00e9matiques, une expansion du concept de d\u00e9rivation ordinaire (classique). Il lui permet d’attribuer des fonctions \u00e0 une d\u00e9rivation qui n’est pas (fortement ou au sens classique). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Les d\u00e9rivations faibles jouent un r\u00f4le majeur dans la th\u00e9orie des \u00e9quations diff\u00e9rentielles partielles. Les chambres sont des fonctions faiblement diff\u00e9renci\u00e9es sont les salles Sobolev. Un concept de d\u00e9rivation encore plus g\u00e9n\u00e9ral est la distribution. Table of ContentsD\u00e9rivation faible pour les fonctions r\u00e9elles [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9rivations faibles plus faibles [ Modifier | Modifier le texte source ]] Extensions [ Modifier | Modifier le texte source ]] Unicit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] Relation avec la d\u00e9rivation classique (forte) [ Modifier | Modifier le texte source ]] existence [ Modifier | Modifier le texte source ]] D\u00e9rivation faible pour les fonctions r\u00e9elles [ Modifier | Modifier le texte source ]] Si vous en regardez un sur un intervalle ouvert (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4je = ( un , b ) {displayStyle i = (a, b)} Fonction (classique) diff\u00e9renciable F {displaystyle f} la d\u00e9rivation F \u2032 {displaystyle f ^ {prime}} un L locd’abord {displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}} -Fonction (local dans (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4je {displayStyle i} est int\u00e9grable) et une fonction de test Phi \u2208 C c \u221e ( je ) {displayStyle varphi dans c_ {c} ^ {infty} (i)} (Cela signifie, Phi {displaystyle varphi} peut \u00eatre diff\u00e9renci\u00e9 le plus souvent possible et a un porte-foreux compact), alors ce qui suit s’applique \u222b IF \u2032( t ) Phi ( t ) d t = – \u222b IF ( t ) Phi \u2032( t ) d t {displayStyle int _ {i} f ^ {prime} (t) varphi (t), mathrm {d} t = -int _ {i} f (t) varphi ^ {prime} (t), mathrm {d} t} . L’int\u00e9gration partielle a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e ici, par laquelle le bord VEES est \u00e9limin\u00e9 en raison des propri\u00e9t\u00e9s des fonctions de test ( Phi ( un ) = 0 , Phi ( b ) = 0 ) {DisplayStyle Left (varphi (a) = 0, varphi (b) = 0Right)} . Si l’exigence d’int\u00e9glilit\u00e9 de la d\u00e9rivation est omise, l’int\u00e9grale du c\u00f4t\u00e9 gauche de l’\u00e9quation ci-dessus n’est g\u00e9n\u00e9ralement pas bien d\u00e9finie. Est F {displaystyle f} M\u00eame un L locd’abord {displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}} -Function, alors m\u00eame si F {displaystyle f} n’est pas diff\u00e9renci\u00e9, une fonction g \u2208 L locd’abord ( je ) {displayStyle gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (i)} existe que l’\u00e9quation \u222b Ig ( t ) Phi ( t ) d t = – \u222b IF ( t ) Phi \u2032( t ) d t {displayStyle int _ {i} g (t) varphi (t), mathrm {d} t = -int _ {i} f (t) varphi ^ {prime} (t), mathrm {d} t} Pour chaque fonction de test Phi {displaystyle varphi} Remplit. Une telle fonction g {displaystyle g} est appel\u00e9 faible d\u00e9rivation depuis F {displaystyle f} . Vous \u00e9crivez comme la d\u00e9rivation classique F \u2032 : = g {displayStyle f ^ {prime}: = g} . D\u00e9rivations faibles plus faibles [ Modifier | Modifier le texte source ]] En termes de cas d\u00e9crit ci-dessus, des d\u00e9rivations faibles peuvent \u00e9galement \u00eatre d\u00e9finies pour les fonctions sur des salles de dimension sup\u00e9rieure. En cons\u00e9quence, les d\u00e9rivations faibles plus faibles peuvent \u00eatre d\u00e9finies. \u00catre Oh \u2286 R n {displayStyle omega subseseq mathbb {r} ^ {n}} , F : Oh \u2192 R {displaystyle fcolon omega rightarrow mathbb {r}} Une fonction localement int\u00e9grable, c’est-\u00e0-dire F \u2208 L locd’abord ( Oh ) {displayStyle fin l_ {Mathrm {loc}} ^ {1} (Omega)} , et un = ( un d’abord , … , un n ) \u2208 N 0 n {displayStyle alpha = (alpha _ {1}, dotsc, alpha _ {n}) dans mathbb {n} _ {0} ^ {n}} Un index multi-index. Une fonction g \u2208 L locd’abord ( Oh ) {displayStyle gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (omega)} est appel\u00e9 un {displaystyle alpha} -e d\u00e9rivation faible depuis F {displaystyle f} , si pour toutes les fonctions de test Phi {displaystyle varphi} est applicable: \u222b \u03a9g ( X ) Phi ( X ) d X = ( – d’abord ) |\u03b1|\u222b \u03a9F ( X ) D \u03b1Phi ( X ) d X {displayStyle int _ {omega} g (x) varphi (x), mathrm {d} x = (- 1) ^ {| alpha |} int _ {omega} f (x) d ^ {alpha} varphi (x), mathrm {d} x} x} x} X} . Voici | un | = \u2211 i=1nun i{displaystyle textstyle | alpha | = sum _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i}} et D un = \u2202|\u03b1|\u2202\u03b11x1\u2026\u2202\u03b1nxn{affichestyle d ^ {alpha} = {frac {partial ^ {| alpha |}} {partiel ^ {alpha _ {1}} x_ {1} DOTSO partiel ^ {alpha _ {n}} x_ {n}}}}} . Souvent, vous \u00e9crivez g = D un F {displayStyle g = d ^ {alpha} f} . Vous pouvez \u00e0 la place F , g \u2208 L locd’abord ( Oh ) {displayStyle f, gin l_ {mathrm {loc}} ^ {1} (Omega)} Apparemment seulement F , g \u2208 L p ( Oh ) {displayStyle f, gin l ^ {p} (Omega)} pour d’abord \u2264 p \u2264 \u221e {displaystyle 1leq pleq infty} demande. La sous-traduit des fonctions L p {displaystyle l ^ {p}} , dans le n \u2265 d’abord {displaystyle ngeq 1} Il y a des d\u00e9rivations faibles, une soi-disant salle de Sobolev. Est une fonction F : Oh \u2192 R m {displaystyle fcolon omega rightarrow mathbb {r} ^ {m}} Avant, on appelle \u00e0 la faible diff\u00e9rentibilit\u00e9 dans chacun des m {displaystyle m} Le composant d’image. Extensions [ Modifier | Modifier le texte source ]] La d\u00e9finition de la faible d\u00e9rivation peut \u00eatre faite en quantit\u00e9s illimit\u00e9es ( {displayStyle \u00e0 gauche (\u00e0 droite.} Si compl\u00e8tement R {displayStyle Mathbb {r}} ou R n ){displayStyle Mathbb {r} ^ {n} Left.Right)} , \u00c9largissez les pi\u00e8ces des fonctions ou des pi\u00e8ces p\u00e9riodiques sur la balle ou des sph\u00e8res de dimension sup\u00e9rieure. Dans une autre g\u00e9n\u00e9ralisation, des d\u00e9rivations de l’ordre bris\u00e9 peuvent \u00e9galement \u00eatre obtenues. Unicit\u00e9 [ Modifier | Modifier le texte source ]] La faible d\u00e9rivation est claire quand elle existe: il y a deux d\u00e9rivations faibles g d’abord {displayStyle g_ {1}} et g 2 {displayStyle g_ {2}} , alors selon la d\u00e9finition \u222b I( g 1( t ) – g 2( t ) ) Phi ( t ) d t = 0 {displayStyle int _ {i} (g_ {1} (t) -g_ {2} (t)) varphi (t), mathrm {d} t = 0} Pour toutes les fonctions de test Phi {displaystyle varphi} postuler, mais quoi selon le lemme de Du Bois-Reymond g d’abord = g 2 {displayStyle g_ {1} = g_ {2}} signifie (im L locd’abord {displayStyle l_ {mathrm {loc}} ^ {1}} -Siene, d. H. presque partout), puisque les fonctions de test sont proches L p {displaystyle l ^ {p}} mentir (pour d’abord \u2264 p < \u221e {displaystyle 1leq p 0 {displaystyle n> kgeq 0} f\u2032(x)={\u22121:x0{displayStyle f ^ {prime} (x) = {begin {case} -1 &: x 0end {cas}}} "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/schwach-un\/#breadcrumbitem","name":"Schwach un"}}]}]