[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/spectre-roue-doperatoire-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/spectre-roue-doperatoire-wikipedia\/","headline":"Spectre (roue d’op\u00e9ratoire) – Wikipedia","name":"Spectre (roue d’op\u00e9ratoire) – Wikipedia","description":"before-content-x4 Le spectre Un op\u00e9rateur lin\u00e9aire est un terme de l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de math\u00e9matiques. [d’abord] Dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire","datePublished":"2020-12-03","dateModified":"2020-12-03","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2fr\/wiki1\/spectre-roue-doperatoire-wikipedia\/","wordCount":27620,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Le spectre Un op\u00e9rateur lin\u00e9aire est un terme de l’analyse fonctionnelle, une sous-zone de math\u00e9matiques. [d’abord] Dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire finalement dimensionnelle, les endomorphismes qui sont montr\u00e9s par les matrices et leurs propres valeurs sont consid\u00e9r\u00e9s. La g\u00e9n\u00e9ralisation dans l’infini dimensionnel est prise en compte dans l’analyse fonctionnelle. Le spectre d’un op\u00e9rateur peut \u00eatre imagin\u00e9 comme une quantit\u00e9 de valeurs propres g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es. Ce sera Valeurs spectrales appel\u00e9.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsConnexion de la th\u00e9orie spectrale avec la th\u00e9orie de l’auto-valeur [ Modifier | Modifier le texte source ]] R\u00e9solution [ Modifier | Modifier le texte source ]] Distribution du spectre [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre ponctuel (spectre d’auto-valeur, spectre discontinu) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre constant (spectre continu, spectre constant, spectre de route) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre r\u00e9siduel (spectre r\u00e9siduel) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Spectre discret et essentiel [ Modifier | Modifier le texte source ]] Approximatives ponctuelles [ Modifier | Modifier le texte source ]] Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Op\u00e9rateur de multiplication pour les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]] Op\u00e9rateur de multiplication pour les cons\u00e9quences [ Modifier | Modifier le texte source ]] Spectres d’op\u00e9rateurs compacts [ Modifier | Modifier le texte source ]] Spectres d’op\u00e9rateurs auto-cood\u00e9s [ Modifier | Modifier le texte source ]] Caract\u00e9ristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre de points [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre constant [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre absolu [ Modifier | Modifier le texte source ]] Relations des spectres [ Modifier | Modifier le texte source ]] Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Matrices [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]] Caract\u00e9ristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]] Connexion de la th\u00e9orie spectrale avec la th\u00e9orie de l’auto-valeur [ Modifier | Modifier le texte source ]] La th\u00e9orie spectrale des op\u00e9rateurs lin\u00e9aires de l’analyse fonctionnelle est une g\u00e9n\u00e9ralisation de la propre th\u00e9orie de la valeur \u00e0 partir de l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire. Dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, les endomorphismes sont vus sur des salles de vecteur dimensionnelles finalement. Le paiement l \u2208 C {DisplayStyle Lambda dans MathBB {C}} , pour l’\u00e9quation        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4UN X = l X {displayStyle ax = lambda x} solutions X \u2260 0 {displayStyle xneq 0} , donc in\u00e9galement le vecteur z\u00e9ro, est nomm\u00e9 en valeurs de profondeur, par laquelle UN {displaystyle a} Une matrice de repr\u00e9sentation de l’endomorphisme choisi est.D\u00e9sign\u00e9        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4je {displayStyle i} La matrice de l’unit\u00e9, donc elles sont inh\u00e9rentes \u00e0 l {displaystyle lambda} , pour le UN – l je {displaystyle a-lambda i} n’est pas injectif. Ceci est synonyme dans le finalement dimensionnel du fait que l’endomorphisme n’est pas une surjective ou non bijective, c’est-\u00e0-dire que la matrice est UN – l je {displaystyle a-lambda i} n’a pas d’inverse. Cependant, si l’on regarde les espaces infinis de dimension, il est n\u00e9cessaire de distinguer si l’op\u00e9rateur UN – l je {displaystyle a-lambda i} n’est pas invertible, pas injectif et \/ ou pas surjectif, car dans le cas de dimension infinie, l’injectivit\u00e9 d’un endomorphisme ne suit pas automatiquement la surjectivit\u00e9. Le terme spectre de l’analyse fonctionnelle est expliqu\u00e9 ci-dessous. Le spectre d’un op\u00e9rateur T {displayStyle t} est le montant de tous les \u00e9l\u00e9ments l {displaystyle lambda} du corps num\u00e9rique (principalement les nombres complexes) pour lesquels la diff\u00e9rence de l’op\u00e9rateur avec le l {displaystyle lambda} -Felles de l’illustration identique T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} Il n’est pas limit\u00e9, c’est-\u00e0-dire qu’il n’y a pas d’inverse ou qu’ils ne sont pas limit\u00e9s. Le spectre de l’op\u00e9rateur est avec un ( T ) {DisplayStyle Sigma (t)} D\u00e9crit et les \u00e9l\u00e9ments du spectre sont appel\u00e9s Valeurs spectrales . La d\u00e9finition ci-dessus peut \u00eatre utilis\u00e9e dans diff\u00e9rents contextes. Dans cette section, le spectre des op\u00e9rateurs lin\u00e9aires d’une salle vectorielle est consid\u00e9r\u00e9. Cependant, la th\u00e9orie spectrale des op\u00e9rateurs lin\u00e9aires ne peut \u00eatre \u00e9tendue que dans une certaine mesure que si la quantit\u00e9 d’op\u00e9rateurs \u00e0 consid\u00e9rer est sp\u00e9cifi\u00e9e. Par exemple, on pourrait vous limiter \u00e0 des op\u00e9rateurs limit\u00e9s, compacts ou auto-jungle. Ci-dessous est T {displayStyle t} Un op\u00e9rateur lin\u00e9aire dans une salle de banach complexe X {displaystyle x} . R\u00e9solution [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le montant des r\u00e9solvants \u03f1 ( T ) {displaystyle varrho (t)} se compose de tous les nombres complexes l {displaystyle lambda} , donc il y en a un X {displaystyle x} Op\u00e9rateur limit\u00e9 d\u00e9fini R l {displayStyle r_ {lambda}} donner avec R \u03bb( T – l je d ) = ( T – l je d ) R \u03bb= je d {DisplayStyle r_ {lambda} (t-lambda, mathrm {id} = (t-lambda, mathrm {id}) r_ {lambda} = mathrm {id}} . L’op\u00e9rateur R l = ( T – l je d ) – d’abord {displayStyle r_ {lambda} = (t-Lambda, mathrm {id}) ^ {- 1}} signifie r\u00e9solvant de l’op\u00e9rateur T {displayStyle t} . Le compl\u00e9ment au montant des r\u00e9solvants est le montant des nombres complexes pour lesquels les r\u00e9solvants n’existent pas ou sont illimit\u00e9s, c’est-\u00e0-dire le spectre de l’op\u00e9rateur T {displayStyle t} , c’est-\u00e0-dire qu’il s’applique un ( T ) = C \u2216 \u03f1 ( T ) {displayStyle Sigma (t) = mathbb {c} setminus {varrho (t)}} . La d\u00e9finition peut \u00e9galement \u00eatre trouv\u00e9e dans la litt\u00e9rature R l = ( l je d – T ) – d’abord {displayStyle r_ {lambda} = (lambda, mathrm {id} -t) ^ {- 1}} ce qui conduit \u00e0 un signe diff\u00e9rent du r\u00e9solvant. [2] [3] La quantit\u00e9 de r\u00e9solvants est ind\u00e9pendante de cette convention de signe, car un op\u00e9rateur peut \u00eatre invers\u00e9 exactement si l’op\u00e9rateur multipli\u00e9 par \u22121 peut \u00eatre invers\u00e9. Distribution du spectre [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre peut \u00eatre subdivis\u00e9 en diff\u00e9rentes actions. Une fois une subdivision dans le spectre de points, le spectre constant et le spectre r\u00e9siduel sont fabriqu\u00e9s. Ces composantes du spectre diff\u00e8rent, pour ainsi dire, par la raison de la non-existence d’un r\u00e9solvant limit\u00e9. Une d\u00e9sint\u00e9gration diff\u00e9rente du spectre est celle dans le spectre discret et essentiel. Pour le spectre d’un op\u00e9rateur autoproclam\u00e9, il y a toujours la troisi\u00e8me fa\u00e7on de la diviser en un point et un spectre constant, ceci est d\u00e9crit dans la section aux op\u00e9rateurs auto-\u00e9mis. Le spectre constant d’un op\u00e9rateur d’auto-jamed n’est pas \u00e9quivalent au spectre constant, qui est d\u00e9fini dans la sous-section suivante. Le spectre ponctuel (spectre d’auto-valeur, spectre discontinu) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Si l’op\u00e9rateur T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} n’est pas injectif, c’est-\u00e0-dire, parce que \u2061 ( T – l je d ) \u2260 { 0 } {DisplayStyle ker (t-lambda, mathrm {id}) neq {0}} , alors l {displaystyle lambda} Un \u00e9l\u00e9ment du spectre ponctuel un p ( T ) {displayStyle Sigma _ {p} (t)} depuis T {displayStyle t} . Les \u00e9l\u00e9ments du spectre ponctuel sont mentionn\u00e9s. Le spectre constant (spectre continu, spectre constant, spectre de route) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Si l’op\u00e9rateur T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} injectif, mais pas une surjective, mais a une image dense, c’est-\u00e0-dire qu’il y a un inverse qui n’existe que sur une partie dense de la salle de Banach X {displaystyle x} est d\u00e9fini, alors est l {displaystyle lambda} Un \u00e9l\u00e9ment du spectre constant un c ( T ) {displayStyle Sigma _ {c} (t)} depuis T {displayStyle t} . Le spectre r\u00e9siduel (spectre r\u00e9siduel) [ Modifier | Modifier le texte source ]] Si l’op\u00e9rateur T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} est injectif, cependant Non Dans la salle de Banach X {displaystyle x} a une image dense, alors l {displaystyle lambda} Un \u00e9l\u00e9ment du spectre r\u00e9siduel un r ( T ) {displayStyle Sigma _ {r} (t)} depuis T {displayStyle t} . Dans ce cas, c’est T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} Surtout pas de surf. Celui aussi T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} L’op\u00e9rateur inverse existe, mais se trouve uniquement sur un sous-espace non dense de X {displaystyle x} Sont d\u00e9finis. Spectre discret et essentiel [ Modifier | Modifier le texte source ]] La quantit\u00e9 de toutes les valeurs spectrales isol\u00e9es avec diversit\u00e9 finie est appel\u00e9e spectre discret et avec un dis ( T ) {displayStyle Sigma _ {op\u00e9ratorname {dis}} (t)} \u00e9crit. Le compl\u00e9ment un es ( T ) : = un ( T ) \u2216 un dis ( T ) {displayStyle Sigma _ {op\u00e9ratorname {ess}} (t): = Sigma (t) setminus Sigma _ {operatorname {dis}} (t)} signifie le spectre essentiel de T {displayStyle t} . [4] Cependant, il existe \u00e9galement d’autres d\u00e9finitions du spectre essentiel et discret pour cette d\u00e9finition. [5] Approximatives ponctuelles [ Modifier | Modifier le texte source ]] Si \u00e0 un l \u2208 C {DisplayStyle Lambda dans MathBB {C}} un \u00e9pisode ( xn) n \u2208 N{displayStyle gauche (x_ {n} droit) _ {nin mathbb {n}}} dans X {displaystyle x} exist\u00e9 avec \u2016 xn\u2016 = d’abord ( n\u2208N) et \u2016 Txn\u2212\u03bbxn\u2016 \u2192 0 pour n \u2192 \u221e , {displayStyle gauche | x_ {n} droite | = 1quad gauche (nin mathbb {n} droit) quad {text {und}} quad gauche | t, x_ {n} -lambda, x_ {n} droite | droite inftare Alors appelle l’homme l {displaystyle lambda} une approximation de T {displayStyle t} . La quantit\u00e9 de toutes les approximations de valeurs particuli\u00e8res est en tant que spectre de points d’approximation ou approximation du spectre d’auto-valeur un appliquer ( T ) {displayStyle Sigma _ {op\u00e9ratorname {app}} Left (tright)} d\u00e9sign\u00e9 [6] . \u00c7a s’applique: un p( T ) \u222a un c( T ) \u2282 un app( T ) \u2282 un ( T ) . {displayStyle Sigma _ {p} Left (tright) Cup Sigma _ {C} Left (tright) sous-ensemble Sigma _ {op\u00e9ratorname {app}} Left (tright) Sousset Sigma Left (tright);. Chutes T {displayStyle t} Un op\u00e9rateur limit\u00e9 est \u00e9galement valable \u2202 un ( T ) \u2282 un app( T ) . {displayStyle partiel Sigma Left (tright) sous-ensemble Sigma _ {Operatorname {app}} Left (tright);. Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Op\u00e9rateur de multiplication pour les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]] Un exemple int\u00e9ressant est l’op\u00e9rateur de multiplication dans une salle fonctionnelle F [ 0 , d’abord ]] {displayStyle f [0,1]} la fonction t \u21a6 F ( t ) {displaystyle tmapsto f (t)} sur la fonction t \u21a6 t F ( t ) {displayStyle tmapsto tf (t)} repr\u00e9sent\u00e9, donc M : F [ 0 , d’abord ]] \u2192 F [ 0 , d’abord ]] {DisplayStyle McOlon F [0,1] \u00e0 f [0,1]} avec ( M F ) ( t ) = t F ( t ) {displayStyle (mf) (t) = tf (t)} . Si vous regardez M {displaystyle m} Dans la salle des fonctions limit\u00e9es B [ 0 , d’abord ]] {displayStyle b [0,1]} Avec la norme supernormale, son spectre est l’intervalle [ 0 , d’abord ]] {DisplayStyle [0.1]} Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre ponctuel. Si vous le regardez sur le r\u00eave Hilber des fonctions quadranginables L 2[ 0 , d’abord ]] {displayStyle l ^ {2} [0,1]} , donc le spectre est l’intervalle \u00e0 son tour [ 0 , d’abord ]] {DisplayStyle [0.1]} Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre continu. Tu le regardes enfin dans la pi\u00e8ce C [ 0 , d’abord ]] {displayStyle c [0,1]} les fonctions constantes, donc son spectre est \u00e0 nouveau l’intervalle [ 0 , d’abord ]] {DisplayStyle [0.1]} Et toutes les valeurs spectrales font partie du spectre r\u00e9siduel. Op\u00e9rateur de multiplication pour les cons\u00e9quences [ Modifier | Modifier le texte source ]] Est ( un n ) n \u2208 N{DisplayStyle (a_ {n}) _ {nin mathbb {n}}} Un \u00e9pisode limit\u00e9 dans C {displaystyle mathbb {C} } , aussi T : \u2113 2\u2192 \u2113 2, ( X n) n\u2208N\u21a6 ( un nX n) n\u2208N{Displaystyle t: ell ^ {2} droitetarrow ell ^ {2}, quad (xi _ {n}) _ {nin mathbb {n}} mapping (a_ {n} mpi _ {n}) _ {nin mathbb {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Un op\u00e9rateur stable et lin\u00e9aire sur le r\u00eave de Hilbert \u2113 2 {Displaystyle ell ^ {2}} les cons\u00e9quences carr\u00e9es et fl\u00e9es et c’est un ( T ) = {an;n\u2208N}\u00af{displayStyle Sigma (t) = {overline {{a_ {n};, nin mathbb {n}}}}} la fin du montant des \u00e9pisodes. En particulier, chaque sous-ensemble compact vient de C {displaystyle mathbb {C} } \u00e9galement comme spectre d’un op\u00e9rateur. Est K {displaystyle k} Une telle quantit\u00e9, choisissez une quantit\u00e9 partielle dense et d\u00e9nombrable { un n ; n \u2208 N } \u2282 K {displayStyle {a_ {n};, nin n} sous-ensemble k} Et consid\u00e9rez l’op\u00e9rateur ci-dessus. Spectres d’op\u00e9rateurs compacts [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les op\u00e9rateurs compacts repr\u00e9sentent des quantit\u00e9s limit\u00e9es de la salle de Banach aux compacts relatifs de la m\u00eame salle de Banach. Cette classe d’op\u00e9rateurs constitue une Banachalgebra en soi, qui forme \u00e9galement un id\u00e9al id\u00e9al dans l’alg\u00e8bre de tous les op\u00e9rateurs limit\u00e9s. Le spectre des op\u00e9rateurs compacts est \u00e9tonnamment simple dans le sens rapide ne se compose que de leurs propres valeurs. Ce r\u00e9sultat remonte \u00e0 Frigyes Riesz et est pr\u00e9cis\u00e9ment: Pour un op\u00e9rateur compact T {displayStyle t} Sur une salle de banach infinie-dimension X {displaystyle x} Applique que 0 {DisplayStyle 0} une valeur spectrale et chacun l \u2208 un ( T ) \u2216 { 0 } {DisplayStyle Lambda dans Sigma (t) setminus {0}} un valeurs propres avec multiplicit\u00e9 finie est, c’est-\u00e0-dire le c\u0153ur de T – l je d {displayStyle t-Lambda, mathrm {id}} Est enfin dimensionnel, et un ( T ) {DisplayStyle Sigma (t)} n’a aucun de 0 {DisplayStyle 0} Point de serrage diff\u00e9rent. Spectres d’op\u00e9rateurs auto-cood\u00e9s [ Modifier | Modifier le texte source ]] En m\u00e9canique quantique, les op\u00e9rateurs auto-jaqu\u00e9s apparaissent dans les salles d’aide comme formalisation math\u00e9matique des tailles observables, donc appel\u00e9s observables. Les \u00e9l\u00e9ments du spectre sont des valeurs mesur\u00e9es possibles. Par cons\u00e9quent, les d\u00e9clarations suivantes sont d’une importance fondamentale [7] : Caract\u00e9ristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]] Le spectre d’un op\u00e9rateur auto-cood\u00e9 est en R {displayStyle Mathbb {r}} contenir. Est T {displayStyle t} Selbstadi\u00e9 et limit\u00e9, son spectre est dans l’intervalle [ – \u2016T\u2016, \u2016T\u2016]] {affichestyle gauche [-left | tright |, gauche | tright | droite]} et contient l’un des points de bord. Est l \u2208 C \u2216 R {displaystyle lambda dans mathbb {c} setminus mathbb {r}} Alors s’applique \u2016 (T\u2212\u03bbid)\u22121\u2016 \u2264 1|Im\u03bb|{displaystyle gauche | gauche (t-lambda, mathrm {id} droit) ^ {- 1} droit | leq {frac {1} {gauche | mathrm {im}, lambda droite |}}} . Les propres espaces sur diff\u00e9rents propri\u00e9taires sont orthogonaux ensemble. Les op\u00e9rateurs Selbstadi\u00e9s sur un Hilbertraum s\u00e9parable ont donc au plus d\u00e9nombrable. Le spectre r\u00e9siduel d’un op\u00e9rateur auto-cood\u00e9 est vide. [8] Est T {displayStyle t} Un op\u00e9rateur auto-cood\u00e9, qui peut \u00e9galement \u00eatre un op\u00e9rateur illimit\u00e9, dans un r\u00eave de Hilbert H {displaystyle h} , donc cet op\u00e9rateur est un groupe spectral { ET l | l \u2208 R } {displayStyle {e_ {lambda}, |, lambda dans mathbb {mathbb {r}}}} Des projections orthogonales ET l : H \u2192 H {displaystyle e_ {lambda} colon hrightarrow h} attribu\u00e9. Pour chaque X \u2208 H {Displaystyle s’il vous pla\u00eet Est la fonction l \u21a6 \u27e8 ET l X | X \u27e9 {displaystyle lambda mapsto languel e_ {lambda} x | xrangle} La fonction de distribution d’une mesure m X {displayStyle mu _ {x}} sur R {displayStyle Mathbb {r}} . Les propri\u00e9t\u00e9s de ces dimensions donnent naissance \u00e0 la d\u00e9finition des pi\u00e8ces partielles auxquelles l’op\u00e9rateur peut \u00eatre restreint. Les spectres de ces restrictions font alors partie du spectre de T {displayStyle t} . Cela vous donne de nouvelles descriptions des parties du spectre d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9es ci-dessus et d’autres subdivisions. [9] Le spectre de points [ Modifier | Modifier le texte source ]] H p( T ) : = { X \u2208 H \u2223 Il y a un montant d\u00e9nombrable UN \u2282 R avec m x( R \u2216 UN ) = 0 } {DisplayStyle h_ {p} (t): = {xin hmid {text {il y a un montant comptable}} asubset mathbb {r} {text {with}} mu _ {x} (mathbb {r} setminus a) = 0}} signifie un espace partiel instable de H {displaystyle h} concernant. T {displayStyle t} . \u00c7a s’applique un ( T |Hp(T)) = \u03c3p(T)\u00af{displayStyle Sigma (t | _ {h_ {p} (t)}) = {overline {sigma _ {p} (t)}}} c’est-\u00e0-dire que le spectre de la restriction est la conclusion du spectre ponctuel de T {displayStyle t} . Est applicable H = H p ( T ) {displayStyle h = h_ {p} (t)} , aussi un ( T ) = \u03c3p(T)\u00af {displayStyle Sigma (t) = {overline {Sigma _ {p} (t)}}} Et tu dis T {displayStyle t} Avoir un Reine Point . Le spectre constant [ Modifier | Modifier le texte source ]] H c( T ) : = { X \u2208 H \u2223 m x( { l } ) = 0 pour tous l \u2208 R } {DisplayStyle h_ {c} (t): = {xin hmid mu _ {x} ({lambda}) = 0 {text {pour tout}} lambda en mathbb {r}} signifie une zone partielle constante de H {displaystyle h} concernant. T {displayStyle t} . un c( T ) = un ( T |Hc(T)) {displayStyle Sigma _ {c} (t) = Sigma (t | _ {h_ {c} (t)})} Est le spectre constant de T {displayStyle t} . Est applicable H = H c ( T ) {displayStyle h = h_ {c} (t)} , aussi un ( T ) = un c ( T ) {displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {c} (t)} Et tu dis T {displayStyle t} Avoir un spectre purement stable . Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]] H s( T ) : = { X \u2208 H \u2223 Il y a une vie nul de la vie N \u2282 R avec m x( R \u2216 N ) = 0 } {DisplayStyle h_ {s} (t): = {xin hmid {text {il y a un lebesgue-nullmenge} nsubset mathbb} {text {with}} mu _ {x} (mathbb} setminus n) = 0}} signifie partie singuli\u00e8re de H {displaystyle h} concernant. T {displayStyle t} . La mesure m X {displayStyle mu _ {x}} \u00e0 un X \u2208 H s ( T ) {displayStyle xin h_ {s} (t)} est alors singulier par rapport au gars de la vie. un s( T ) = un ( T |Hs(T)) {displayStyle Sigma _ {s} (t) = Sigma (t | _ {h_ {s} (t)})} Est le spectre singulier de T {displayStyle t} . Est applicable H = H s ( T ) {displayStyle h = h_ {s} (t)} , aussi un ( T ) = un s ( T ) {displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {s} (t)} Et tu dis T {displayStyle t} Avoir un spectre purement singulier . Le spectre singulier [ Modifier | Modifier le texte source ]] H sc( T ) : = H s\u2229 H c{displayStyle h_ {sc} (t): = h_ {s} cap h_ {c}} signifie une zone partielle singuli\u00e8re de H {displaystyle h} concernant. T {displayStyle t} . un sc( T ) = un ( T |Hsc(T)) {displayStyle Sigma _ {sc} (t) = Sigma (t | _ {h_ {sc} (t)})} Est le spectre singulier de T {displayStyle t} . Est applicable H = H s c ( T ) {displayStyle h = h_ {sc} (t)} , aussi un ( T ) = un s c ( T ) {displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {sc} (t)} Et tu dis T {displayStyle t} Avoir un spectre r\u00e9gulier purement singulier . Le spectre absolu [ Modifier | Modifier le texte source ]] H ac( T ) : = { X \u2208 H \u2223 m x( N ) = 0 Pour chaque quantit\u00e9 de vie nul N \u2282 R } {DisplayStyle h_ {ac} (t): = {xin hmid mu _ {x} (n) = 0 {texte {pour chaque tasse de leesgue null} nsubset mathbb {r}}} signifie une zone partielle absolue de H {displaystyle h} concernant. T {displayStyle t} . La mesure m X {displayStyle mu _ {x}} \u00e0 un X \u2208 H un c ( T ) {displayStyle xin h_ {ac} (t)} est alors absolument debout par rapport au gars de la vie. un ac( T ) = un ( T |Hac(T)) {displayStyle Sigma _ {ac} (t) = Sigma (t | _ {h_ {AC} (t)})} est le spectre absolu de T {displayStyle t} . Est applicable H = H un c ( T ) {displayStyle h = h_ {ac} (t)} , aussi un ( T ) = un un c ( T ) {displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {ac} (t)} Et tu dis T {displayStyle t} Avoir un Spectre des Absolutteties propres . Relations des spectres [ Modifier | Modifier le texte source ]] \u00c7a s’applique H c = H p \u22a5 {displayStyle h_ {c} = h_ {p} ^ {perp}} , H un c = H s \u22a5 {displayStyle h_ {ac} = h_ {s} ^ {perp}} , H s = H p \u2295 H s c {displayStyle h_ {s} = h_ {p} oplus h_ {sc}} . Il en r\u00e9sulte un ( T ) = \u03c3p(T)\u00af\u222a un sc( T ) \u222a un ac( T ) {displayStyle Sigma (t) = {overline {sigma _ {p} (t)}} Cup Sigma _ {sc} (t) Cup Sigma _ {AC} (t)} un ( T ) = \u03c3p(T)\u00af\u222a un c( T ) {displayStyle Sigma (t) = {overline {sigma _ {p} (t)}} Cup Sigma _ {C} (t)} un ( T ) = un s( T ) \u222a un ac( T ) {displayStyle Sigma (t) = Sigma _ {s} (t) Cup Sigma _ {AC} (t)} Les parties un c ( T ) {displayStyle Sigma _ {c} (t)} , un s ( T ) {displayStyle Sigma _ {s} (t)} , un s c ( T ) {displayStyle Sigma _ {sc} (t)} et un un c ( T ) {displayStyle Sigma _ {ac} (t)} sont complets car ce sont des spectres. Cela ne s’applique g\u00e9n\u00e9ralement pas au spectre de points. Si l’on caresse l’exigence suppl\u00e9mentaire de la limitation de l’inverse, la d\u00e9finition ci-dessus peut \u00e9galement \u00eatre appliqu\u00e9e aux \u00e9l\u00e9ments d’une alg\u00e8bre op\u00e9rationnelle. Une infusion op\u00e9ratoire est g\u00e9n\u00e9ralement comprise comme une Banachable Brae avec un seul et l’inversion des \u00e9l\u00e9ments n’a de sens que dans ce contexte que si l’inverse est un \u00e9l\u00e9ment de l’alg\u00e8bre. \u00c9tant donn\u00e9 que ces op\u00e9rateurs ne sont d\u00e9finis par leur effet sur aucune salle vectorielle (c’est-\u00e0-dire en fait ne fonctionnent pas du tout), il n’y a pas non plus de concept A-priori de limitation de ces op\u00e9rateurs. Cependant, cela peut toujours \u00eatre utilis\u00e9 comme op\u00e9rateurs lin\u00e9aires sur une salle vectorielle repr\u00e9senter , par exemple comme L’op\u00e9rateur de multiplication Sur le Banachalgebra lui-m\u00eame. Ensuite, ces op\u00e9rateurs deviennent des op\u00e9rateurs limit\u00e9s dans une salle de Banach. En particulier, le montant des op\u00e9rateurs limit\u00e9s constitue l’exemple standard d’une alg\u00e8bre op\u00e9rationnelle. Les op\u00e9rateurs compacts mentionn\u00e9s pr\u00e9c\u00e9demment forment \u00e9galement une alg\u00e8bre d’op\u00e9rateur. Par cons\u00e9quent, la th\u00e9orie spectrale des obligations banalables comprend ces deux classes d’op\u00e9rateurs lin\u00e9aires. Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]] Matrices [ Modifier | Modifier le texte source ]] Dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, les matrices N \u00d7 N avec des entr\u00e9es complexes forment une alg\u00e8bre en ce qui concerne l’addition et le scalmultation (composant) et la multiplication matricielle. Le ( n \u00d7 n ) {displaystyle (ntimes n)} -Matzen peut donc \u00e0 la fois \u00e0 la fois comme exemple de Op\u00e9rateurs r\u00e9els en leur capacit\u00e9 d’images lin\u00e9aires du C n \u2192 C n {displayStyle Mathbb {c} ^ {n} \u00e0 mathbb {c} ^ {n}} peut \u00eatre visualis\u00e9, ainsi qu’un exemple d’alg\u00e8bre op\u00e9rationnelle, bien que dans ce contexte, il n’est pas pertinent de quelle forme d’op\u00e9rateur est choisie pour les matrices. Depuis toutes les images lin\u00e9aires d’un espace finalement dimensionnel limit\u00e9 sont que ce terme peut \u00eatre n\u00e9glig\u00e9 dans la d\u00e9finition. Une matrice UN {displaystyle a} est invertable s’il y a une matrice B {displaystyle b} donne pour que UN \u22c5 B = B \u22c5 UN = je {displayStyle acdot b = bcdot a = i} (Une matrice unitaire). C’est exactement le cas si le d\u00e9terminant ne dispara\u00eet pas: le UN \u2260 0 {DisplayStyle it aneq 0} . D’o\u00f9 un nombre Avec \u2208 C {Displaystyle zin mathbb {c}} Puis un Valeur spectrale , si le ( UN – Avec je ) = 0 {displayStyle det (a-zi) = 0} est applicable. Mais comme c’est pr\u00e9cis\u00e9ment le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de la matrice UN {displaystyle a} dans Avec {displayStyle avec} est est Avec {displayStyle avec} exactement alors une valeur spectrale si Avec {displayStyle avec} est une particularit\u00e9 de la matrice. Dans l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire, le spectre d’une matrice fait donc r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 la quantit\u00e9 de la valeur propre. Les fonctions [ Modifier | Modifier le texte source ]] Les fonctions constantes sur l’intervalle [ 0 , d’abord ]] {DisplayStyle [0.1]} Avec des valeurs dans les nombres complexes C {displaystyle mathbb {C} } Formez un BanachableGebra (par exemple avec la norme des Supremums comme norme, qui n’est pas de difficult\u00e9 ici), avec la somme de deux fonctions et le produit de deux fonctions points de point est d\u00e9fini: ( F + g ) ( X ) = F ( X ) + g ( X ) ( F \u22c5 g ) ( X ) = F ( X ) \u22c5 g ( X ) . {displayStyle (f + g) (x) = f (x) + g (x) quad (fcdot g) (x) = f (x) cdot g (x).} Une fonction F {displaystyle f} Ensuite, inversez cette alg\u00e8bre lorsqu’il existe une fonction diff\u00e9rente g {displaystyle g} donne pour que F \u22c5 g ( = g \u22c5 F ) = d’abord {displayStyle fcdot g, (= gcdot f) = 1} (Une fonction) est, c’est-\u00e0-dire si c’est une fonction g {displaystyle g} cadeau dont les valeurs sont les valeurs r\u00e9ciproques de F {displaystyle f} sont. Vous pouvez rapidement voir qu’une fonction est invertible quand elle pas La valeur de la fonction 0 {DisplayStyle 0} et dans ce cas, il a les valeurs fonctionnelles inverses (valeurs r\u00e9ciproques) de la fonction d’origine: F \u22121( X ) = ( F ( X ) ) \u22121= d’abord \/ \/ F ( X ) {displayStyle f ^ {- 1} (x) = (f (x)) ^ {- 1} = 1 \/ f (x)} , si F ( X ) \u2260 0 {displayStyle f (x) neq 0} global. Un num\u00e9ro Avec \u2208 C {Displaystyle zin mathbb {c}} Ainsi est un Valeur spectrale Si la fonction F – Avec {displaystyle f-z} n’est pas invertable, c’est-\u00e0-dire la valeur fonctionnelle 0 {DisplayStyle 0} poss\u00e8de. Bien s\u00fbr, c’est exactement le cas si Avec {displayStyle avec} Une valeur de fonction de F {displaystyle f} est. Le spectre d’une fonction est donc exactement votre image. Caract\u00e9ristiques [ Modifier | Modifier le texte source ]] La th\u00e9orie spectrale des \u00e9l\u00e9ments de la fronti\u00e8re banachable avec un est une abstraction de la th\u00e9orie des op\u00e9rateurs lin\u00e9aires limit\u00e9s dans une salle de Banach. Les exemples d’introduction sont des cas particuliers de cette th\u00e9orie, avec le premier exemple de sp\u00e9cification de la norme des fonctions consid\u00e9r\u00e9es. Vous choisissez z. B. La pi\u00e8ce cubique des fonctions constantes dans un espace compact avec la norme des supramims, cet exemple fournit le cas le plus important de Abel Banachalgebra avec un. Le deuxi\u00e8me exemple trouve sa place dans cette th\u00e9orie comme un exemple typiquement dimensionnel de Banachalgebra non en Aabel, selon lequel une norme appropri\u00e9e pour les matrices doit \u00eatre s\u00e9lectionn\u00e9e. Dans le premier cas, le spectre d’un op\u00e9rateur \u00e9tait la plage de valeur et, puisque les fonctions consid\u00e9r\u00e9es sont r\u00e9guli\u00e8rement sur un compact, un sous-ensemble compact dans C {displaystyle mathbb {C} } . Dans le deuxi\u00e8me cas, le spectre est une quantit\u00e9 finie de points dans C {displaystyle mathbb {C} } Et donc \u00e9galement compact. Ce fait peut \u00e9galement \u00eatre prouv\u00e9 dans le cas abstrait: Le spectre un ( UN ) {DisplayStyle Sigma (a)} un \u00e9l\u00e9ment UN {displaystyle a} Une alg\u00e8bre de Banach avec une est toujours non vide (voir la phrase de Gelfand-Mazur) et compacte. De cette phrase suit imm\u00e9diatement qu’il y a un montant de la plus grande valeur spectrale, car le supremum r ( UN ) = souper { |z|:z\u2208\u03c3(A)} {displayStyle r (a) = sup gauche {| z |: zin Sigma (a) droite}} est accept\u00e9 sur le spectre compact. Cette valeur est appel\u00e9e le rayon spectral de UN {displaystyle a} . Dans l’exemple de l’alg\u00e8bre des fonctions constantes, vous pouvez voir imm\u00e9diatement que le rayon spectral correspond \u00e0 la norme des \u00e9l\u00e9ments. Cependant, il est connu sur l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire que cela ne s’applique pas aux matrices en g\u00e9n\u00e9ral. B. la matrice UN = (0100){displayStyle a = {begin {Pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0end {Pmatrix}}} Seul le Valon Eigen 0 {DisplayStyle 0} a, et donc est r ( UN ) = 0 {displayStyle r (a) = 0} , mais la norme de la matrice (peu importe laquelle) pas  0 {DisplayStyle 0} . Le rayon spectral est g\u00e9n\u00e9ralement plus petit que la norme, mais il s’applique Phrase: dans une alg\u00e8bre de Banach avec une pour chaque \u00e9l\u00e9ment UN {displaystyle a} La valeur limite lim \u2016 UN n\u2016 1\/n{Displaystyle lim | a ^ {n} | ^ {1 \/ n}}} et est le m\u00eame Rayon spectral depuis UN {displaystyle a} . En m\u00e9canique quantique, le spectre de l’op\u00e9rateur de Hamilton est particuli\u00e8rement trait\u00e9. Ce sont les possibles Valeurs \u00e9nerg\u00e9tiques qui peut \u00eatre mesur\u00e9 sur le syst\u00e8me consid\u00e9r\u00e9. L’op\u00e9rateur de Hamilton est (et parce qu’il d\u00e9termine la dynamique du syst\u00e8me, voir la structure math\u00e9matique de la m\u00e9canique quantique) un cas sp\u00e9cial particuli\u00e8rement important pour la principalement illimit\u00e9 [dix] Op\u00e9rateurs d’auto-jungle sur le r\u00eave de Hilbert. Les \u00e9l\u00e9ments de cette pi\u00e8ce repr\u00e9sentent les \u00e9tats m\u00e9caniques quantiques, tandis que les op\u00e9rateurs auto-jaqu\u00e9s, en revanche, les observables (variables mesurables). Les garanties d’auto-cub de l’op\u00e9rateur, comme d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 ci-dessus, que les valeurs mesur\u00e9es possibles (valeurs spectrales) sont des nombres exceptionnellement r\u00e9els. Peut \u00eatre ajout\u00e9 \u00e0 ceci ou 2.), qui est li\u00e9 au type spectral: Premi\u00e8rement, le spectre se d\u00e9sint\u00e8gre en une proportion d\u00e9crite par les physiciens comme discrets (Genauer math\u00e9matique: en cela Indiquer -1.) -, qui peut \u00e9galement \u00eatre non discret, analogue aux nombres rationnels), ce qui correspond \u00e0 la mesure ponctuelle (“diff\u00e9rences finies”, contrairement au “diff\u00e9rentiel”) d’une fonction monotone instable, une fonction dite de saut; et deuxi\u00e8mement dans le spectre continu SO Spectre absolument continu , -2.) -, analogue au diff\u00e9rentiel d’une fonction lisse strictement monotone strictement monotone.) La transition de 1.) apr\u00e8s 2.) correspond \u00e0 la transition de la sommation \u00e0 l’int\u00e9grale, \u2211 iF i\u2192 \u222b d l F ( l ) , {displayStyle sum _ {i} f_ {i} \u00e0 int dlambda f (lambda) ,,} Qui peut \u00eatre fait par les sommes de Riemann. Dans de rares cas, par exemple avec des segments accidentels organis\u00e9s hi\u00e9rarchiquement d’\u00e9nergie potentielle ou avec certains champs magn\u00e9tiques, il existe \u00e9galement une troisi\u00e8me partie spectrale, le spectre soi-disant singulier-continu, analogue \u00e0 une fonction du cantor monotone, une fonction qui se d\u00e9veloppe, mais nulle part, peut \u00eatre diff\u00e9renci\u00e9e (par exemple la soi-disant escaliers diable). Dans la th\u00e9orie quantique alg\u00e9brique, un r\u00e9sum\u00e9 observable est introduit comme des \u00e9l\u00e9ments que l’on appelle C * albala (fronti\u00e8re banalable sp\u00e9ciale). Sans sp\u00e9cifier une repr\u00e9sentation concr\u00e8te de cette alg\u00e8bre comme de nombreux op\u00e9rateurs lin\u00e9aires sur un r\u00eave de Hilber, le calcaire spectral de ces albums permet ensuite les valeurs mesur\u00e9es possibles des observables. Les conditions du syst\u00e8me physique ne sont alors pas introduites comme vecteurs dans le Hilbertraum, mais comme fonctionnel lin\u00e9aire sur l’alg\u00e8bre. Les th\u00e9ories classiques, telles que les m\u00e9canismes classiques (statistiques), peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9es dans cette image comme des cas sp\u00e9ciaux dans lesquels l’alg\u00e8bre C * est. David Borthwick: Th\u00e9orie spectrale: concepts et applications de base (= Textes dipl\u00f4m\u00e9s en math\u00e9matiques . Groupe  284 ). Springer, Cham, Suisse 2020, ISBN 978-3-03038001-4, doi: 10 1007 \/ 978-3-030-38002-1 (Anglais).  Gilbert Helmberg: Introduction \u00e0 la th\u00e9orie spectrale dans l’espace Hilbert . Hrsg.: H. A. Lauwerier, W. T. Koiter (= Math\u00e9matiques et m\u00e9caniques appliqu\u00e9es . Groupe  6 ). North-Holland Publishing Company, Londres 1969 (Englisch, Elsevier.com ).  Valter Moretti: Th\u00e9orie spectrale et m\u00e9canique quantique (= Unitext . Groupe  110 ). Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-70705-1, doi: 10 1007 \/ 978-3-319-70706-8 .  Barry Simon: Un cours complet en analyse. Partie 4: Th\u00e9orie de l’op\u00e9rateur . AMS, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2015, ISBN 978-1-4704-1103-9 (Englisch).  Gerald Teschl: M\u00e9thodes math\u00e9matiques en m\u00e9canique quantique: avec des applications aux op\u00e9rateurs de Schr\u00f6dinger (= \u00c9tudes sup\u00e9rieures en math\u00e9matiques . Volume 157). 2e \u00e9dition. American Mathematical Society, Providence 2014, ISBN 978-1-4704-1704-8 (anglais, Univie.ac.at ).  \u2191  David Borthwick: Th\u00e9orie spectrale: concepts et applications de base (= Textes dipl\u00f4m\u00e9s en math\u00e9matiques . Groupe  284 ). Springer, Cham 2020, ISBN 978-3-03038002-1.   \u2191  Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Introduction \u00e0 l’analyse fonctionnelle , Vieweg, Braunschweig 1992, ISBN 3-528-07262-8, \u00a717  \u2191  W\u0142odzimierz mlak: Espaces Hilbert et th\u00e9orie de l’op\u00e9rateur , Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, chapitre 3.4  \u2191  Hellmut Baumg\u00e4rtel, Manfred Wollenberg: Th\u00e9orie de la diffusion math\u00e9matique . Birkh\u00e4user, B\u00e2le 1983, ISBN 3-7643-1519-9, S.  54 .   \u2191  Harro Heuser: Analyse fonctionnelle: th\u00e9orie et application . 3e \u00e9d., B.G. Teubner, Stuttgart 1992. ISBN 3-519-22206-X, pp. 520\u2013521.  \u2191  Helmut Fischer, Helmut Kaul: Math\u00e9matiques pour les physiciens, volume 2: \u00e9quations diff\u00e9rentielles ordinaires et partielles, fondations math\u00e9matiques de la m\u00e9canique quantique . 2e \u00e9dition. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, \u00a721 Section 5.5 et \u00a723 Section 5.2, S.  572\u2013573, 665\u2013666 .   \u2191  H. Tricebel: Analyse plus \u00e9lev\u00e9e , Verlag Harri allemand, ISBN 3-87144-583-5, \u00a718: Le spectre des op\u00e9rateurs auto-cood\u00e9s  \u2191  Wlodzimierz mlak: Espaces Hilbert et th\u00e9orie de l’op\u00e9rateur , Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Th\u00e9or\u00e8me 4.1.5  \u2191  J. Wearmann: Op\u00e9rateurs lin\u00e9aires dans Hilber Dreams , Teubner-Verlag (1976), ISBN 3-519-02204-4, chapitre 7.4: Spectres d’op\u00e9rateurs auto-cood\u00e9s  \u2191  C’est d\u00e9j\u00e0 une simplification significative si l’op\u00e9rateur n’est qu’un c\u00f4t\u00e9, comme vers le haut, illimit\u00e9, mais est limit\u00e9 apr\u00e8s l’autre. Sinon, vous serez conduit \u00e0 des constructions auxiliaires telles que le soi-disant Diracsee afin de donner certaines tailles de sens physique.       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