Triangle harmonieux – wikipedia

Le Triangle harmonieux ou Triangle harmonieux de Leibnizsche De Gottfried Wilhelm Leibniz, analogue au triangle Pascal:

• Le n -Te ligne commence et se ferme sur le bord
  ${displayStyle {frac {1} {n}}}$

  

• Chaque nombre est la somme des deux sous Vos numéros debout

${displaystyle {begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\&&&&&&&&{frac {1}{2}}&&{frac {1}{2}}&&&&&&&\&&&&&&&{frac {1}{3}}&&{frac {1}{6}}&&{frac {1}{3}}&&&&&&\&&&&&&{frac {1}{4}}&&{frac {1}{12}}&&{frac {1}{12}}&&{frac {1}{4}}&&&&&\&&&&&{frac {1}{5}}&&{frac {1}{20}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{20}}&&{frac {1}{5}}&&&&\&&&&{frac {1}{6}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{60}}&&{frac {1}{60}}&&{frac {1}{30}}&&{frac {1}{6}}&&&\&&&{frac {1}{7}}&&{frac {1}{42}}&&{frac {1}{105}}&&{frac {1}{140}}&&{frac {1}{105}}&&{frac {1}{42}}&&{frac {1}{7}}&&\&&{frac {1}{8}}&&{frac {1}{56}}&&{frac {1}{168}}&&{frac {1}{280}}&&{frac {1}{280}}&&{frac {1}{168}}&&{frac {1}{56}}&&{frac {1}{8}}&\&&&&&vdots &&&&vdots &&&&vdots &&&&\end{array}}}$

Les entrées sont avec le symbole

${displayStyle gauche [{n au sommet de K} à droite]}$

Décrit, par lequel la numérotation des lignes et des colonnes commence à 1 (ce n’est pas géré uniformément dans la littérature (à partir de 0 ou à 1)).

La récursivité s’applique

${affichestyle gauche [{n au sommet 1} droit] = gauche [{n au sommet n} droit] = {frac {1} {n}}, qquad gauche [{n at-top k} droite] = gauche [{n + 1 au sommet de K} droite] + gauche$

Une connexion avec les coefficients binomiaux du triangle Pascal est donnée par

$m Discutez de ce yleple streh Musexex SupExtanext móe m mubeh m hóe m kupe hmmmonary mmmmont mupe mupe quad 12-4 1-4$

, d. H. Les entrées sont des fractures régulières.

À cause de

$M SOVET SLEXLE & ALYY HALEY M KAL HY HYM HYOM HORDE vous-même.$

se présente ainsi pour la somme du dénominateur dans le n -Un ligne

${displaystyle ncdot 2 ^ {n-1}}$

. Exemple:

${displaystyle 5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 5cdot 2 ^ {4} = 80}$

.

Car la somme d’une diagonale se produit à cause de

$gens$

les télescoperums

${displayStyle sum _ {k = 1} ^ {nu} gauche [{n + k atop k} droite] = gauche [{n au sommet de 1} droit] -left [{n + nu atop nu +1} droit] = {frac {1} {n}} – gauche [{n + nu at nu +1}$

En raison des fractures principales, la série de Leibniz suit le passage à la frontière:

${displayStyle sum _ {k = 1} ^ {infty} gauche [{n + k atop k} droit] = {frac {1} {n}}}$

pour

${displaystyle ngeq 1}$

ou.

$mm esclavet ou salk un peu Emm ã0yo hy hymagate m home m histe m horm hym horm hym horm hym hup fait m boiteux.$

pour

${displaystyle ngeq 2}$

Christiaan Huygens avait donné à son jeune ami Leibniz le résumé des nombres triangulaires réciproques comme tâche:

${displayStyle 1+ {frac {1} {3}} + {frac {1} {6}} + {frac {1} {10}} + DOTS + {frac {2} {n (n + 1)}}} + DOTS}$

Il spécifie 2. Pendant son séjour à Paris, il a traité en détail les écrits de Blaise Pascal. Dans une version ultérieure de son Histoire et origine Il compare son triangle harmonieux au triangle Pascal. La série résulte ensuite de la série générale pour n = 2 .

• Joseph Ehrenfried Hofmann, Heinrich Wieleitner, Dietrich Mahnke. La facture de différence dans Leibniz . Réunion des rapports de la Prussian Academy of Sciences, Physikalal-Matematical Class, 1931, pp. 562–590. En particulier Pp. 566–572.

• Eric W. Pointerstein: Triangle harmonique de Leibniz . Dans: Mathworld (Anglais).
• Conséquence A003506 à Oeis