Triangle héronien – wikipedia

En géométrie, vous en comprenez un Triangle héronien Un triangle dans lequel les longueurs latérales et la zone de la zone sont rationnelles. Il porte le nom de Heron d’Alexandrie.

Chaque triangle, dont les longueurs latérales forment un triple pythagorien, est Heronon, car les longueurs latérales d’un tel triangle sont plus complètes et comme sa zone est la moitié du produit des deux longueurs latérales plus courtes. (Depuis le renversement de la phrase de Pythagora, la vidange droite du triangle suit.)

Un triangle héronien ne doit pas nécessairement être des angles droits. Cela peut être vu en utilisant l’exemple du triangle égal avec les longueurs latérales

${Displaystyle 5.5}$

et

${DisplayStyle 6}$

. Ce triangle peut être fabriqué à partir de deux triangles congruents avec les longueurs latérales

${DisplayStyle 3,4,5}$

mettre ensemble. La zone est donc

${displayStyle {tfrac {1} {2}} cdot 6cdot 4 = 12}$

.
L’exemple est facile à généraliser: si vous prenez un triple pythagorien

${displaystyle (a, b, c)}$

avec

${DisplayStyle C}$

Comme le plus grand nombre et un autre triple pythagorien

${displayStyle (a, d, e)}$

avec

${displaystyle e}$

Comme le plus grand nombre, comme on peut le voir dans le dessin adjacent, les triangles correspondants le long des deux côtés avec la longueur

${displaystyle a}$

Mettez-vous dans un triangle héronien. Le nouveau triangle a les longueurs latérales

${DisplayStyle C, E}$

et

${displaystyle b + d}$

. Pour la zone que vous obtenez

${displayStyle a = {frac {1} {2}} (b + d) a}$

(une demi-fois la hauteur de base).

Il est maintenant intéressant de se demander si cette procédure, c’est-à-dire la fusion de deux triangles à droite, qui correspondent à une longueur catalogue, reçoivent chaque triangle héronien. La réponse est non. Par exemple, le triangle héronien avec les longueurs latérales

${DisplayStyle 0 {,} 5.0 {,} 5}$

et

${DisplayStyle 0 {,} 6}$

, c’est-à-dire la version de ce qui précède par un facteur 10
décrit les triangles, bien sûr, n’étant pas décomposé en triangles partiels avec des longueurs de nombre complètes. Il en va de même pour le triangle héronien avec les longueurs latérales

${DisplayStyle 5,29,30}$

et la zone

${DisplayStyle 72}$

, car aucune des trois hauteurs de ce triangle n’est un entier. Cependant, si vous autorisez des nombres rationnels (c’est-à-dire non nécessaires) pour Triple, la question posée peut être répondue par oui. (Notez que chaque triple de nombres rationnels peut être obtenu en divisant les valeurs d’un triple de nombres entiers par le même nombre entier.)

Dans un triangle héronien, la tangente est un nombre rationnel tous les deux angles (à l’intérieur), y compris le sinus ou le cosinus de chaque angle intérieur entier.

Réglé pour démanteler dans les triangles héroniens à droite [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Chaque triangle héronien peut être démonté en deux triangles angoissés, dont les longueurs latérales sont fabriquées à partir de nombres rationnels à travers le triple pythagorien.

Preuve de la phrase [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Vous regardez à nouveau le croquis ci-dessus, qui est supposé cette fois que

${DisplayStyle C, E, B + D}$

et la zone triangulaire

${displaystyle a}$

sont rationnels. Nous pouvons supposer que les noms ont été choisis afin que la longueur latérale

${displaystyle b + d}$

est le plus grand. Cela garantit que le lot fabriqué dans le coin opposé de ce côté se trouve dans le triangle. Pour montrer que le triple

${displaystyle (a, b, c)}$

et

${displayStyle (a, d, e)}$

pythagore
Sont triples, vous devez prouver que

${displaystyle a, b}$

et

${displayStyle d}$

sont rationnels.

Quant à la zone triangulaire

${displayStyle a = {frac {1} {2}} ;! a;! (b + d)}$

s’applique, vous pouvez après

${displaystyle a}$

Dissoudre et le trouver

${displayStyle a = {frac {2a} {b + d}}}$

.

Cette expression informatique est rationnelle car tous les nombres à droite sont rationnels. Il reste donc à montrer que aussi

${displaystyle b}$

et

${displayStyle d}$

sont rationnels. De la phrase du Pythagore, appliqué aux deux triangles à droite que vous obtenez

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

et

${displayStyle a ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2}}$

.

La soustraction de ces équations Résultats:

${displayStyle b ^ {2} -d ^ {2} = c ^ {2} -e ^ {2}}$

,

${displayStyle (b-d) (b + d) = c ^ {2} -e ^ {2}}$

,

${displayStyle b-d = {frac {c ^ {2} -e ^ {2}} {b + d}}}$

.

Le côté droit de la dernière équation doit être rationnel, car selon l’exigence

${DisplayStyle C, E}$

et

${displaystyle b + d}$

sont rationnels. Il est donc prouvé que

${displaystyle b-d}$

est rationnel. De cette déclaration suit en raison de la rationalité de

${displaystyle b + d}$

, cela aussi

${displaystyle b}$

et

${displayStyle d}$

sont rationnels.

Les triangles héroniques ne peuvent pas être équilatéraux, car la zone d’un tel triangle avec un nombre complet est toujours irrationnelle. Cependant, il existe un nombre infini de triangles héroniens de la forme «presque» équilatérale

${displaystyle (n-1,n,n+1)}$

. ^{[d’abord] [2]} La conséquence de l’ensemble des nombres qui conduisent à une telle solution est

${displayStyle n = 4,14,52, DOTSC}$

(Conséquence A003500 en OEIS) et est suspendu avec un épisode de Lucas

${displayStyle n_ {t} = 4n_ {t-1} -n_ {t-2}}$

et l’équation de Pellsche

${displayStyle x ^ {2} -3y ^ {2} = 1}$

ensemble.

1. ↑ R. Jump: Triangle rationnel, dont les côtés sont les nombres entiers suivants . Dans: Archive des mathématiques et de la physique . Groupe soixante-quatre , 1880, S. 441–443 .
2. ↑ H.W. Gould: Un triangle avec des côtés et une zone intégraux . Dans: Mensonge. Litre. Groupe 11 , 1973, S. 27–39 ( Math.ca [PDF]).