Zone de règles – Wikipedia

En géométrie, une zone est appelée Zone de contrôle Si l’on passe directement à travers chaque point de la zone contenue dans la zone.

Cela s’applique, par exemple, aux niveaux, aux cylindres, aux cônes, aux hyperboloïdes uniques et aux paraboloïdes hyperboliques. Dans les deux derniers, même passez par chaque point deux Droit (il y a des surfaces à double courbure). Une zone de contrôle où chaque point plus que deux Allez directement, ne peut être qu’un seul niveau. ^[d’abord]

Dans le cas de surfaces régulières avec une expansion finie (par exemple les cylindres) et sans auto-pénétration (par exemple pour le bowling et les surfaces de vis de contrôle), les générateurs sont limités aux itinéraires.

Concepté la zone de contrôle Règle – comme dans Kippregel – la signification originale du latin règle (Coup de couteau, linéaire), ^[2] Le calmes en anglais aujourd’hui règle Ou français règle est inclus.

Les zones régulières sont utilisées dans l’architecture comme des zones facilement modéliques, car malgré la courbure, elles peuvent être composées de composants droits ou – dans le cas du béton – ils peuvent être allumés avec des planches droites. Les grandes tours de refroidissement, par exemple, ont souvent la forme d’un hyperboloïde unique. Lorsque la construction de canaux de ventilation et dans le cas des travaux de plomberie, la manipulation de la tôle est utilisée, c’est-à-dire la manipulation des surfaces de commande telles que les segments de cylindre et de cône, car ceux-ci peuvent être façonnés en se couchant simplement sans étirer ni comprimer le matériau (comme avec le processus plus complexe de la formation solide).
Voir aussi Traitement (effectuer la géométrie)

Dans le cas de la modélisation géométrique, les zones de règles z. B. utilisé pour produire des zones de coons.

Définition

Présentation des paramètres Une zone de contrôle peut être utilisée par un affichage de paramètres du formulaire

• (CR)
  ${displayStyle quad mathbf {x} (u, v) = {couleur {rouge} mathbf {c} (u)} + v; {couleur {bleu} mathbf {r} (u)}}$

  

décrire. Chaque courbe de zone

${displayStyle; mathbf {x} (u_ {0}, v);}$

avec un paramètre fixe

${DisplayStyle u = u_ {0}}$

est une génération (droite) et la courbe

${displayStyle; mathbf {c} (u);}$

est le Courbe principale . Les vecteurs

${displayStyle; mathbf {r} (u);}$

Décrire que Direction de la production.

La zone de contrôle décrite par la représentation des paramètres * peut également être utilisée à l’aide de la courbe

${displayStyle; mathbf {d} (u) = mathbf {c} (u) + mathbf {r} (u);}$

Décrivez comme une deuxième courbe de plomb:

• (CD)
  ${displayStyle quad mathbf {x} (u, v) = (1-v); {couleur {red} mathbf {c} (u)} + v; {couleur {verte} mathbf {d} (u)}.}$

  

Inversement, vous pouvez assumer deux coins qui ne coupent pas les coins et donc recevoir la représentation d’une zone de contrôle avec le champ directionnel

${displayStyle; mathbf {r} (u) = mathbf {d} (u) -mathbf {c} (u).}$

Lors de la génération d’une zone de contrôle à l’aide de deux courbes principales (ou d’une courbe de plomb et d’une direction), non seulement la forme géométrique de ces courbes est importante, mais la représentation des paramètres de béton a une influence significative sur la forme de la surface de contrôle. Voir les exemples d)

Pour les études théoriques (voir ci-dessous), la présentation est (CR) avantageux parce que le paramètre

${DisplayStyle V}$

ne se produit qu’en un terme.

Cylindre circulaire vertical [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$

:

${DisplayStyle mathbf {x} (u, v) = (durs u, asin u, v) ^ {t}}}$

${displaystyle ={color {red}(acos u,asin u,0)^{T}};+;v;{color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${displaystyle =(1-v);{color {red}(acos u,asin u,0)^{T}};+;v;{color {green}(acos u,asin u,1)^{T}} .}$

Voici

${displayStyle quad mathbf {c} (u) = (acos u, asin u, 0) ^ {t}, quad mathbf {r} (u) = (0,0,1) ^ {t}, quad mathbf {d} (u) = (acos u, asin u, 1) ^ {t}.}$

Cône de district vertical [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$

:

${displayStyle mathbf {x} (u, v) = (cos u, sin u, 1) ^ {t}; +; v; (cos u, sin u, 1) ^ {t}}$

${displaystyle =(1-v);(cos u,sin u,1)^{T};+;v;(2cos u,2sin u,2)^{T}.}$

Voici

${displayStyle quad mathbf {c} (u) = (cos u, sin u, 1) ^ {t}; =; mathbf {r} (u), quad mathbf {d} (u) = (2cos u, 2Sin u, 2) ^ {t}.}$

On aurait également comme courbe principale

${displayStyle Mathbf {c} (u) = (0,0,0) ^ {t}}$

, la pointe du cône, et comme champ de direction

${displayStyle Mathbf {r} (u) = (cos u, sin u, 1) ^ {t}}$

peut choisir. Avec tout le bowling, vous pouvez choisir la pointe comme courbe principale.

Espace en spirale [ Modifier | Modifier le texte source ]]

${DisplayStyle mathbf {x} (u, v) =; (vcos u, vsin u, ku) ^ {t};};$

${displaystyle =;(0,0,ku)^{T};+;v;(cos u,sin u,0)^{T} }$

${displaystyle =;(1-v);(0,0,ku)^{T};+;v;(cos u,sin u,ku)^{T} .}$

La courbe de plomb

${displayStyle mathbf {c} (u) = (0,0, ku) ^ {t};}$

est l’axe z, la direction de la direction

${displayStyle; mathbf {r} (u) = (cos u, sin u, 0) ^ {t};}$

Et la deuxième courbe de plomb

${displayStyle Mathbf {d} (u) = (cos u, sin le, ku) ^ {t}$

est une ligne de vis.

Cylindre, cône et hyperboloïde [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La représentation des paramètres

${displayStyle Mathbf {x} (u, v) = (1-v); (cos (u-varphi);,; sin (u-varphi);$

A deux cercles unitaires horizontaux comme courbes principales. Le paramètre supplémentaire

${displaystyle varphi}$

permet aux représentations paramétriques des cercles de varier. Pour

${displayStyle Varphi = 0}$

Vous obtenez le cylindre

${displayStyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

, pour

${displayStyle varphi = pi / 2}$

Vous obtenez le cône

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$

et pour

${DisplayStyle 0$

Si vous obtenez un hyperboloïde unique avec l’équation

${displayStyle {tfrac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} – {tfrac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1}$

Et les demi-essieux

${affichestyle a = cos varphi;,; c = cot varphi}$

.

Hyperbolie paraboloïde [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Si les directives dans (CD) Le droit

${affichestyle mathbf {c} (u) = (1-u) mathbf {a} _ {1} + umathbf {a} _ {2}, quad mathbf {d} (u) = (1-u) mathbf {b}} {1} + umathbf {b} _ {2}}$

êtes-vous, vous obtenez

${affichestyle mathbf {x} (u, v) = (1-v) {big (} (1-u) mathbf {a} _ {1} + umathbf {a} _ {2} {big)} + v {big (} (1-u) mathbf {b} _ {1} + umathb {b} {2} {2 {1} + umathB }}$

.

C’est le paraboloïde hyperbolique que les 4 points

${displayStyle Mathbf {a} _ {1},; mathbf {a} _ {2},; mathbf {b} _ {1},; mathbf {b} _ {2}}$

Interpolit bilinéaire. ^[3] Car l’exemple du dessin est

${displayStyle Mathbf {a} _ {1} = (0,0,0) ^ {t},; mathbf {a} _ {2} = (1,0,0) ^ {t},; mathbf {b} _ {1} = (0,1,0) ^ {t} ,; mathbf {b} _ {T}}$

.

Et le paraboloïde hyperbolique a l’équation

${Displaystyle z = xy}$

.

Möbiusband [ Modifier | Modifier le texte source ]]

La zone de contrôle

${displayStyle Mathbf {x} (u, v) = mathbf {c} (u) + v; mathbf {r} (u)}$

avec

${displayStyle mathbf {c} (u) = (cos 2u, sin 2u, 0) ^ {t}}$

(La courbe de plomb est un cercle),

${displayStyle mathbf {r} (u) = (cos ucos 2u, cos usin 2u, sin u) ^ {t}, quad 0leq u$

Contient une bande de Möbius.

Le dessin montre le Möbiusband pour

${displayStyle -0.3Leq Vleq 0.3}$

.

Il est facilement calculé que

${DisplayStyle det (mathbf {dot {c}} (0);,; mathbf {dot {r}} (0);,; mathbf {r} (0)); neq; 0}$

est (voir la section suivante). D. h. Cette réalisation d’un groupe Möbius est antibordable . Cependant, il existe également des bandes de meubles handicapées. ^[4]

Exemples supplémentaires [ Modifier | Modifier le texte source ]]

1. L’enveloppe d’un niveau sauvé
2. Oloïde
3. Zone catalane
4. Konoïde
5. Surfaces de contrôle

Pour les dérivations requises ici, il est toujours supposé qu’ils existent également.

Afin de calculer le vecteur normal en un point, vous avez besoin des dérivations partielles de la présentation

${displayStyle quad mathbf {x} (u, v) = mathbf {c} (u) + v; mathbf {r} (u)}$

:

${DisplayStyle mathbf {x} _ {u} = mathbf {dot {c}} (u) + v; mathbf {dot {r}} (u)$

,

${displayStyle quad mathbf {x} _ {v} =; mathbf {r} (u)}$

• 
  ${DisplayStyle Mathbf {n} = mathbf {x} _ {u} fois mathbf {x} _ {u} = mathbf {dot {c} + v {r} + v (dot {r}} fois mathbf {r}}$

  .

Parce que le produit scalaire

${displayStyle Mathbf {n} cdot mathbf {r} = 0}$

est (un produit spatal avec deux mêmes vecteurs est toujours 0!),

${displayStyle mathbf {r} (u_ {0})}$

Un vecteur tangent à chaque point

${displayStyle Mathbf {x} (u_ {0}, v)}$

. Les niveaux tangentiels le long de ceux-ci sont identiques

${displayStyle Mathbf {dot {r}} fois mathbf {r}}$

à plusieurs reprises à partir de

${displayStyle Mathbf {dot {c}} fois mathbf {r}}$

est. Cela n’est possible que si les trois vecteurs

${displayStyle Mathbf {dot {c}};,; mathbf {dot {r}};,; mathbf {r}}$

se trouvent en un seul niveau, c’est-à-dire H. sont linéaires dépendants. La dépendance linéaire de trois vecteurs peut être déterminée en utilisant le déterminant de ces vecteurs:

• Les niveaux tangentiels le long de la ligne droite
  ${displayStyle mathbf {x} (u_ {0}, v) = mathbf {c} (u_ {0}) + v; mathbf {r} (u_ {0})}$

  sont les mêmes si

${DisplayStyle det (mathbf {dot {c}} (u_ {0});,; mathbf {dot {r}} (u_ {0});,; mathbf {r} (u_ {0}); =; 0};$

.

Un produit qui s’applique à ce que cela signifie torsal .

• Une zone de contrôle
  ${displayStyle quad mathbf {x} (u, v) = mathbf {c} (u) + v; mathbf {r} (u)}$

  Peut être manipulé dans un niveau si la courbure de Gauss disparaît pour tous les points. C’est exactement le cas si

${displaystyle det(mathbf {dot {c}} ;,;mathbf {dot {r}} ;,;mathbf {r} );=;0quad }$

À chaque point ^[5] d. C’est à ce moment que chaque producteur est torsal. Une zone de guidon signifie donc également Torse .

Propriétés d’une zone de guidon: ^[6]

• La génération représente une foule de lignes d’asymptotot. Ils sont également une foule de lignes de courbure.
• Une zone verrouillable est soit un cylindre (général), soit un cône (général), soit une zone tangente (zone composée des tangentes d’une courbe de pièce).

La condition déterminante pour les zones de manipulation vous donne un moyen de déterminer numériquement un stent de connexion entre deux courbes de plomb données. L’image montre un exemple d’une application: un stent de connexion entre deux ellipses (un horizontal, l’autre vertical) et sa manipulation. ^[7]

Il y a un aperçu de l’utilisation de zones handicapables dans la zone CAO Conception interactive des surfaces développables ^[8]

UN historique L’aperçu des zones de manutention donne Surfaces de développement: leur histoire et leur application ^[9]

Définition [ Modifier | Modifier le texte source ]]

À cylindrique La surface standard génère toutes parallèles, c’est-à-dire H. Tous les vecteurs de direction

${displayStyle mathbf {r} (u)}$

sont parallèles et avec lui

${displayStyle {dot {mathbf {r}}} (u) = mathbf {0}.}$

Avec deux parallèles, tous les points ont la même distance par rapport à l’autre.

À pas La surface de contrôle cylindrique est la production voisine produisant des glissements et il y a un point d’une main droite qui a une distance minimale de l’autre. Dans ce cas, c’est

${DisplayStyle {dot {dot {r}} (u) neq mathbf {0}.}$

Un tel point est appelé Point central . L’intégralité des points centraux forment une courbe qui Doubler ou Gorge ou Taille . ^[dix] Ce dernier nom décrit la ligne stricte d’un hyperboloïde de rotation unique (voir ci-dessous) très clairement.

• Dans le point central d’une personne productrice, la quantité de Gausskelkümmung assume un maximum ^[11] .

Une zone cylindrique n’a pas de points centraux et donc pas de ligne stricte, ou vif: pas de taille. Dans le cas d’une surface de cône (générale), la ligne stricte / la taille dégénère à un point, la pointe du cône.

Présentation des paramètres [ Modifier | Modifier le texte source ]]

Dans les considérations suivantes, il est supposé que la zone de contrôle

${displayStyle Mathbf {x} (u, v) = mathbf {c} (u) + v; mathbf {r} (u)}$

n’est pas cylindrique et suffisamment différencié, plus précisément:

${displayStyle {dot {mathbf {r}}} (u) neq mathbf {0} quad}$

Et pour des raisons de simplicité

${displayStyle quad | mathbf {r} (u) | = 1}$

est.

La dernière capacité a l’avantage que

${displayStyle quad mathbf {r} cdot {dot {mathbf {r}}} = 0quad}$

est ce qui rend les factures très simplifiées. Dans le cas d’exemples en béton, cette propriété n’est généralement pas remplie au début. Mais ce qui peut être corrigé par standardisation.

Deux producteurs voisins

${displayStyle Mathbf {x} (v_ {1}) = mathbf {c} (u) + v_ {1}; mathbf {r} (u)}$

${DisplayStyle mathbf {x} (v_ {2}) = mathbf {c} (u + delta u) + v_ {2}; mathbf {r} (u + delta u)$

À la fin des considérations, alors va

${DisplayStyle Delta Uto 0}$

. C’est pourquoi les approximations linéaires suivantes (vous remplacez la courbe à proximité par sa tangente) sont utiles:

${DisplayStyle mathbf {c} (u + delta u) approx mathbf {c} (u) + delta u; {dot {mathbf {c}}} (u)}$

${DisplayStyle mathbf {r} (u + delta u) approx mathbf {r} (u) + delta u; {dot {mathbf {r}}} (u)}$

.

Entretoise

Le carré de la distance entre deux points du droit

${displayStyle Mathbf {l} _ {1} (v_ {1}) = mathbf {c} + v_ {1}; mathbf {r}}$

${DisplayStyle Mathbf {l} _ {v_ {2} (v_ {2}) = mathbf {c} + delta u; {dot {dot {dot {dot {MTHBF {c}} + v_ {2};$

est

$m tume feles – lpp. Discuter qube quebe em peut m kmmm mmmm mötobb) mötize mmb) mmmb) mmm 22-2$

Paramètre du point central

La distance devient minime lorsque la fonction

${displayStyle d (v_ {1}, v_ {2})}$

devient minimal. Et c’est le cas si les dérivations partielles de la première fois sont nulles:

${DisplayStyle d_ {v_ {v_ {1}} = – 2 {big (} v_ {2} -v_ {1}); mathbf {r} + delta u ({dot {dot {dot {dot {dot {c {c {c}; {dot {dot {dot {r}} {{{r} {} {{r) {R}$

${DisplayStyle = -2 {couleur {magenta} (v_ {2} -v_ {1} + delta u; {dot {dot {dot {dot {cdf {c}}} cdot mathbf {r} = 0,}$

${DisplayStyle d_ {v_ {v_ {2}} = 2 {big (} v_ {2} -v_ {1}); mathbf {r} + delta u ({dot {dot {dot {dot {dot {dot {dot {dot {c {c {c}; {dot {Mat {r {c {c}; {dot {Mat {r {r}); {dot {Mat {r {c {c}; {dot {Mat {Rf {r}) {dot {Mat {r {c {c}; {dot {Mat {Rf {r}) {dot {rff {Rf {r}) {dot {rff {Rf {r}) {dot {rff {r ) {Big {r} + delta u; {dot {dot {dot {r} thbf {r}}}}}}}$

${DisplayStyle = 2 {big (} {couleur {magenta} v_ {2} -v_ {1} + delta u; {dot {dot {dot {dot {mathbf {c}}} + delta {r}} + {delta u} ^ {2} (dot {dot} ++++++ V_ {2} {dot {rtbf {r}}} ^ {2} {big)} = 0.}$

De ce système d’équations pour

${displayStyle v_ {1}, v_ {2}}$

suit

${DisplayStyle Delta Uto 0}$

:

• 
  ${DisplayStyle quad v_ {1} = v_ {2} = – {frac {{dot {dot {dot {cdf {c}} cdot {dot {dot {r}} {rdf {rdf {rossbf {r}}}}}}}.}.}.}.$

  

Présentation des paramètres

La représentation des paramètres de la ligne stricte est donc

• ${DisplayStyle mathbf {x} (u) = mathbf {c} (u) – {dot {dot {dot {dot {dot {co)} (u) cdot {dot {r}} (u)} (u)} (dot {mathbf {r}}} (u)}}};}$

  

Surfaces à double contrôle

Situé sur l’hyperboloïde intelligent et le paraboloïde hyperbolique deux Trops de lignes droites. Une ligne stricte appartient à chaque foule. Les deux lignes strictes s’effondrent lorsque l’hyperbolod de rotation est simple.

Exemples [ Modifier | Modifier le texte source ]]

1) hyperboloïde de rotation unique

${affichestyle mathbf {x} (u, v) = {begin {pmatrix} cos u \ sin u \ 0end {pmatrix}} + vcdot {begin {pmatrix} -sin u \ cos u \ kend {pmatrix}},}$

Les points centraux ont tous le paramètre

${displayStyle v = 0}$

, d. H. La ligne stricte est le circuit unitaire au niveau X-Y.

2) Rades Konoid

Avec un conoïde droit, l’axe est la plaine commune de tous les producteurs.
(En général: une paire de points de deux ardoises de vent est la distance la plus courte si sa connexion est l’abondance courante de la ligne droite.)

L’axe d’un conoïde droit est également sa ligne stricte.

Des exemples de konoïdes droits sont le paraboloïde hyperbolique

${Displaystyle z = xy}$

Et la zone en spirale.

3) Torse

Chacun du cylindre général et du cône différent de la surface de contrôle du manique (Torse) est une zone tangente, c’est-à-dire H. L’intégralité des producteurs de la surface de contrôle se compose de la foule de tangentes d’une courbe donnée

${DisplayStyle Gamma}$

. (Dans l’image, la courbe est une ligne de vis. Cela crée une vis orale.) Généralement, ce qui suit s’applique

La ligne stricte une à travers une courbe

${DisplayStyle Gamma}$

La zone tangente générée est la courbe

${DisplayStyle Gamma}$

soi ^[douzième] .

4) Möbiusband

Pour la description d’un möbiusband spécifié ci-dessus

${displayStyle mathbf {c} (u) = (cos 2u, sin 2u, 0) ^ {t}}$

,

${DisplayStyle mathbf {r} (u) = (cos ucos 2u, cos usin 2u, sans u) ^ {t}.}$

(À l’image: pour que la ligne stricte soit complètement sur la zone affichée, la bande a été élargie.)
Le vecteur de direction

${displaystyle mathbf {r}}$

Dans ce cas, c’est déjà un vecteur unitaire, ce qui simplifie considérablement la facture.

Le paramètre des résultats du point central respectif

${displayStyle v = {frac {4cos u} {1 + 4cos ^ {2} u}}}$

et enfin la représentation des paramètres de la ligne stricte

${displayStyle mathbf {x} (u) = {frac {1} {1 + 4cos ^ {2} u}}; {big (} cos (2u), sin (2u), – 2Sin (2U) {big)}.}$

Il est facile de voir que cette courbe dans le niveau

${displaystyle 2y + z = 0}$

mensonges.
Pour montrer que ce niveau courbe même

une ellipse avec un centre

${displayStyle (- {tfrac {2} {5}}, 0,0)}$

Et les demi-essieux

${displayStyle a = 1, b = {tfrac {3} {5}}}$

est,

On montre que les coordonnées x et y sont l’équation

${displayStyle {tfrac {(x + {tfrac {2} {5}}) ^ {2}} {({tfrac {3} {5}}) ^ {2}}} + {tfrac {y ^ {2}} {tfrac {1} {5}})$

remplir. Ainsi, le plan d’étage de la ligne stricte est une ellipse et donc la ligne stricte comme une projection parallèle.

La ligne stricte est plus facile grâce à l’affichage des paramètres

${displayStyle mathbf {x} (t) = mathbf {f} _ {0} + mathbf {f} _ {1} cos t + mathbf {f} _ {2} sin t}$

avec

${affichestyle mathbf {f} _ {0} = (- {tfrac {2} {5}}, 0,0) ^ {t}, mathbf {f} _ {1} = ({tfrac {3} {5}}, 0,0) ^ {t}, mathbf {f} {2} = tfr ac {1} {sqrt {5}}}, {tfrac {2} {sqrt {5}}}) ^ {t}}$

décrire (voir ellipse).

Vous pouvez deux surfaces de contrôle du guidon le long

${displaystyle g}$

ou.

${displaystyle h}$

couper et les assembler pour que

${displaystyle g}$

et

${displaystyle h}$

Une zone composite commune avec un nouveau niveau tangentiel commun de cela.

Dans le cas d’une zone de contrôle non manquante et de guidon, la zone composée le long des générateurs communs ne peut pas être différenciée. Le générateur commun est visible comme un bord, avec le bord de différents points de la production considérablement claire. Dans le cas de deux surfaces de contrôle non verrouillables, la zone composée peut être différenciée le long des générateurs communs, mais ce n’est généralement pas le cas.

Les zones régulières peuvent être utilisées non seulement en mathématiques, mais aussi en dehors de celle-ci dans les travaux de construction et d’ingénierie. Un bon exemple de cela est le travail de l’architecte / mathématicien Antoni Gaudí. La voûte de la família La Sagrada décrit plusieurs hyperboloïdes, paraboloïdes hyperboliques et hélicoïdes. ^{[13] [14]}

• Manfredo P. Do Carmo: Géométrie différentielle des courbes et des zones . Springs-Publinging, 2013, 2013, ISBN 978-3-322-85498-0, P. 132 147 $
• G. White: Courbes et surfaces pour conception géométrique aidée par ordinateur . Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7
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• W. Kühnel: Différentielgéomètre . View, 2003, ISBN 3-528-17289-4
• H. Schmidbauer: Pick -Up Surfaces: Un apprentissage de conception pour les praticiens . Springs-Publinging, 2013, 2013, ISBN 978-3-642-47353-1

1. ↑ D. B. Fuks, Serge Tabachnikov: Il n’y a pas de surfaces non réglées non planes . Dans: Omnibus mathématique: trente conférences sur les mathématiques classiques . American Mathematical Society, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, S. 228.
2. ↑ Règle . Dans: Jacob Grimm, Wilhelm Grimm (éd.): dictionnaire allemand . Groupe 14 : R – Slate – (viii). S. Hirzel, Leipzig 1893 ( woerterbuchetz.de ).
3. ↑ G. White: Courbes et surfaces pour conception géométrique aidée par ordinateur , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250
4. ↑ W. Wunderlich: Via un guidon möbiusband , Books mensuels pour les mathématiques 66, 1962, pp. 276-289.
5. ↑ W. Kühnel: Différentielgéomètre , S. 58–60
6. ↑ G. White: S. 380
7. ↑ CAD-Skript. (PDF; 2,9 Mb) S. 113
8. ↑ Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Conception interactive des surfaces développables (PDF; 3,3 Mo) dans: ACM trans. Graphique. , (Mois 2015), doi: 10.1145 / 2832906
9. ↑ Snezana Lawrence: Surfaces de développement: leur histoire et leur application . Dans: Nexus Network Journal , 13 (3), octobre 2011, Deux: 10.1007 / S00004-011-0087-Z
10. ↑ W. Kühnel: Différentielgéomètre , Vues, ​​2003, ISBN 3-528-17289-4, p88.
11. ↑ M. P. Do Carmo: Géométrie différentielle des courbes et des zones , Jourter-Pblegly, 2013, 2013, ISB, 3322828 72 $, plimes
12. ↑ W. Haack: Différentiels élémentaires , Springr-Publinging, 2013, 2013, ISBR 30348699509, S. 32
13. ↑ au-dessus de Profitez de Geheimnis . Journal de Southgerman
14. ↑ Sur les zones régulières de la “Sagrada Familia”. Blogs scientifiques