Teorema di Frobenio generalizzato – Wikipedia

In matematica, varie versioni di Teoremi di Frobenio generalizzati Esteso gradualmente il teorema di Frobenio del 1877. Questi sono teoremi algebrici generali che classificano gli unifères algebra con dimensione finita sul corpo commutativo ℝ del reale. Affinché certe restrizioni ci sono solo quattro: ℝ stesso, ℂ (complessi), ℍ (quaternioni) e? (Octonions).

Tutte le algebre sono implicitamente presumibilmente unifère e la loro unicità è ascoltata dall’isomorfismo.

Algebra? Octonions (costruito nel 1845 da Cayley) è un’algebra di divisione che non entra in questa categoria, perché non è associativa ma solo alternativa ( X ( XY ) = X ² E E ( yx ) x = yx ² ).

• Nel 1898, Hurwitz ha dimostrato ^{[ Primo ” , [ 2 ”} che gli unici quattro ℝ Allébres con divisione dimensionale finita fornita con a norme multiplicative ( ║ XY ║ = ║ X ║║ E ║ ) sono ℝ, ℂ, ℍ e?. Hurwitz ha mostrato il suo teorema solo se la norma è anche euclidea. Ma il teorema è spesso citato in opere moderne senza questa ipotesi, perché si rivela ridondante, così come l’ipotesi della finitudine ( vedere infra ).
• Nel 1930, Zorn ottenne la stessa conclusione sostituendo l’ipotesi dell’esistenza di uno standard moltiplicativo di quella di alternanza algebra ^{[ 3 ” , [ 4 ”} .
• Nel 1940, il topologo Hopf mostra ^{[ 5 ”} Che la dimensione (dovrebbe essere completata) di un’algebra divisionale (alternativa o meno) può essere solo una potenza di 2.
• Nel 1958, facendo affidamento come lui sulle considerazioni topologiche (in particolare a Bott), Kervaire ^{[ 6 ”} il Milnor ^{[ 7 ”} Specificare il suo risultato: il solo quattro poteri di 2 possibile ^{[ 8 ”} sono 1, 2, 4 e 8 (realizzati tra gli altri ^{[ 9 ”} dalle quattro algebre già menzionate).

O UN Un’unire alla divisione ℝ-algebra fornita con uno standard moltiplicativo ║ ║ (non è utile supporre a priori di dimensione finita). Possiamo facilmente dimostrare ^{[ dieci ”} Solo per due elementi X E E In UN standard Primo , ║ x + y ║ ² + ║ X – Y. ║ ² ≥ 4 . Di conseguenza, questo standard deriva da un prodotto scalare, in altre parole: UN è un’algebra della composizione della divisione. Possiamo quindi ricostruirlo raddoppiando ^{[ 11 ”} Da ℝ: o altro UN è ridotto a ℝ o contiene una sotto-alge di composizione C della forma ℝ⊕ℝ io con io ² = –1 ( C è isomorfo a ℂ). Se UN non è ridotto a C , ancora una volta, contiene un compito di composizione H di forma C ⊕ C J con J Ortogonale a C E J ² = –1 ( H è isomorfo a ℍ). Finalmente sì UN non è ridotto a H , contiene un elemento ℓ Ortogonale a H e come ℓ ² = –1, ma la sotto-algebra O = H. ⊕ H ℓ è quindi isomorfo a?, quindi di dimensione finita e non associativa, quindi uguale a UN Totale. Conclusione : UN è isomorfo a ℝ, ℂ, ℍ o?.

O UN A ℝ-algèbre Unifère alternativa alla divisione dimensione finita ^{[ dodicesimo ”} . Dall’associazione di Powers, la sotto-algebra generata da qualsiasi elemento X Di UN è un’estensione finita di ℝ (isomorfo a ℝ o ℂ), il che consente di definire lo standard di X come il suo modulo in questa sotto-algebra (questo standard dipende solo dal polinomio minimo di X ). Ma secondo un teorema di Artin, l’alternanza di UN Garantisce una proprietà molto più forte della associazione dei poteri: qualsiasi sotto-algebra generata da due elementi è associativa. Invocando il teorema di Frobenius del 1877 (allegato al fatto che gli standard canonici su ℝ, ℂ e ℍ corrispondano tramite le inclusioni), possiamo dedurre che abbiamo ben definito uno standard su UN e che è moltiplicativo (e anche euclideo) poiché sono quelli di ℝ, ℂ e ℍ. Secondo il teorema di Hurwitz, UN è quindi isomorfo a ℝ, ℂ, ℍ o?.

(In) Eric W. Pointerstein, ‘ Algebra di divisione » , SU Mathworld