[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2it\/wiki29\/2022\/01\/29\/biforcazione-a-forcone-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2it\/wiki29\/2022\/01\/29\/biforcazione-a-forcone-wikipedia\/","headline":"Biforcazione a forcone – Wikipedia","name":"Biforcazione a forcone – Wikipedia","description":"Da Wikipedia, Liberade Libera. 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In Matematica una biforcazione a forcone (O biforcazione pitchfork ) \u00e8 una biforcazione locale con la particolarit\u00e0 di essere simmetrica. Tale simmetria \u00e8 dovuta al fatto che le equazioni differenziali ordinali che rappresentano le biforcazioni sono funzioni dispari, ovvero \u2013 F ( – X ) = F ( X ) {DisplayStyle f (-x) = f (x)}  Vi sono due tipi di biforcazioni a forcone, molto diverse tra loro: la Supercritica e la Subritica .   Biforcazione a forcone supercritica. Le linee intere rappresentano i punti di equilibrio stabili, mentre quelle spezzate i punti di equilibrio instabili. La forma normale della biforcazione a forcone supercritica \u00e8: dxdt= R X – x3{DisplayStyle {frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}} = rx-x^{3}} Studiando il campo vettoriale al variare di R {DisplayStyle r} E vede:   Campo vettoriale della biforcazione pitchfork nella forma supercritica Dal diagramma di biforcazione si evince che X = 0 {DisplayStyle x = 0} \u00e8 stabile per tutti gli R {DisplayStyle r} negativi, mentre diventa instabile appena R {DisplayStyle r} diventa positivo. Inoltre per 0″>nascono due nuovi rami che seguono rispettivamente le leggi r{DisplayStyle {sqrt {r}} \u00c8 – r{DisplayStyle -{sqrt {r}} che donano al diagramma la classica forma di tridente o forcone, da cui il nome. Biforcazione a forcone subcritica. Le linee intere rappresentano i punti di equilibrio stabili, mentre quelle spezzate i punti di equilibrio instabili. La forma normale della biforcazione a forcone subcritica \u00e8: dxdt= R X + x3{DisplayStyle {frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}} = rx+x^{3}} Lo studio del campo vettoriale mostra che: Campo vettoriale della biforcazione pitchfork nella forma subcritica Il diagramma di biforcazione ottenuto \u00e8 simmetrico a quello della supercritica, con per\u00f2 stavolta i due rami iperbolici instabili. Il ramo X = 0 {DisplayStyle x = 0} invece resta stabile fino al valore R = 0 {DisplayStyle r = 0} per poi proseguire instabile. Biforcazione a forcone subcritica modificata [ modifica | Modifica wikitesto ” In presenza di una biforcazione a forcone subcritica, per ogni 0″>Se c’\u00e8 un esplosione della popolazione a + \u221e {DisplayStyle +Infty} o – \u221e {DisplayStyle -infty} a seconda delle condizioni iniziali e, nel caso questa sia X = 0 {DisplayStyle x = 0} , delle perturbazioni. Diagramma di biforcazione della pitchfork subcritica modificata con termine di 5\u00ba grado. Da notere il fenomeno dell’isteresi. Poich\u00e9 biologicamente non ha senso considerare popolazioni infinite, per ovviare all’imperfezione del modello si aggiunge un termine di grado superiore. Per semplicit\u00e0 si sceglie il termine con arturino pi\u00f9 basso. Questo \u00e8 di quinto grado, e non di quarto, al fine di conservare la simmetria caratteristica delle biforcazioni di tipo a forcone.In tal caso la forma normale sar\u00e0 dunque: dxdt= R X + x3– x5{DisplayStyle {frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}} = rx+x^{3} -x^{5}} . Mentre localmente il diagramma di biforcazione \u00e8 uguale a quello della subcritica a forcone classica, all’aumentare di X {DisplayStyle x} si assiste ad una deviazione dei rami simmetrici ad X = 0 {DisplayStyle x = 0} che, inoltre, diventano stabili.Tale deviazione avviene, nella forma normale, nel valore critico di R c= – 14{DisplayStyle r_ {c} =-{frac {1} {4}}} . Per tale valore si ha, in ognuno dei due rami, una biforcazione locale del tipo nodo sella. Sempre dal diagramma di biforcazione, inoltre, \u00e8 possibile vedere un esempio di isteresi.Infatti, facendo crescere il valore di R {DisplayStyle r} si nota che: Facendo in seguito decrescere il valore di R {DisplayStyle r} osserviamo che: Data un’equazione differenziale x\u02d9= F ( X , R ) {DisplayStyle {dot {x}} = f (x, r)} bambino R \u2208 R {DisplayStyle Rin Mathbb {r}} , tale che: F ( – X , R ) = – F ( X , R ) {DisplayStyle, f (-x, r) =-f (x, r)} ovvero F {DisplayStyle f} sia una funzione dispari, e \u2202f\u2202x(0,ro)=0,\u22022f\u2202x2(0,ro)=0,\u22023f\u2202x3(0,ro)\u22600,\u2202f\u2202r(0,ro)=0,\u22022f\u2202r\u2202x(0,ro)\u22600.{DisplayStyle {Begin {array} {lll} DisplayStyle {frac {parziale f} {parziale x}} (0, r_ {o}) = 0, & DisplayStyle {frac {parziale ^{2} f} {parziale x ^{parziale x ^{2 }}} (0, r_ {o}) = 0, & DisplayStyle {frac {parziale ^{3} f} {parziale x ^{3}}} (0, r_ {o}) neq 0, \\ [15pt] DisplayStyleStyleStyleStyl {frac {parziale f} {parziale r}} (0, r_ {o}) = 0, & DisplayStyle {frac {parziale ^{2} f} {parziale rpartial x}} (0, r_ {o}) neq 0. end {array}}} ovvero F {DisplayStyle f} sia approssimabile secondo Taylor a meno del terzo ordine per X {DisplayStyle x} e del secondo ordine per R {DisplayStyle r} nel punto ( 0,r0) {DisplayStyle Left (0, r_ {0} a destra)} (Nelle forme normali si considera R 0= 0 {DisplayStyle r_ {0} = 0} ). Sotto tali ipotesi si dice che la funzione ammette una biforcazione a forcone nel punto ( 0,r0) {DisplayStyle Left (0, r_ {0} a destra)} , la quale \u00e8 del tipo "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2it\/wiki29\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2it\/wiki29\/2022\/01\/29\/biforcazione-a-forcone-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Biforcazione a forcone – Wikipedia"}}]}]