Baker-Campbell-Hauusdorff-formel – ウィキペディア

数学ではそうです Baker-Campbell-Hausdorff-formel 数学にちなんで名付けられた方程式ヘンリー・フレデリック・ベイカー、ジョン・エドワード・キャンベル、フェリックス・ハウスドルフは、特定の線形演算子に交換法を提供します。

は バツ バナッハルームの一定の線形演算子、それはそれを行うことができます 指数 この演算子をシリーズとして次のように定義します。

${displaystyle e^{x} = sum _ {k = 0}^{infty} {frac {1} {k！}} x^{k}}}$

乗算とは、継承を意味し、関係するオペレーターを追加するポイントを追加することを意味します。
2つの線形演算子の整流子（嘘嘘馬術） バツ と と と定義されている

${displaystyle [x、y]：= xy-yx、}$

彼は双線形のオペレーターです。定義から、Liesche Developmentフォーミュラとも呼ばれるいわゆるHadamard Lemmaは次のとおりです。

${displaystyle e^{x} ye^{ – x} = sum _ {m = 0}^{infty} {frac {1} {m！}} [x、y] _ {m}}$

と

${displaystyle [x、y] _ {m} = [x、[x、y] _ {m-1}]、}$

と

${displaystyle [x、y] _ {0} = y、}$

。

滝

${displaystyle [x、[x、y]] = 0、}$

と

${displaystyle [y、[y、x]] = 0、}$

、 申し込み
シンプルなBaker-Campbell-Hausdorff式

${displaystyle e^{x} e^{y} = e^{y} e^{x} e^{[x、y]}、}$

${displaystyle e^{x+y} = e^{x} e^{y} e^{[x、y]/2}、}$

。

どちらのために

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

フォーミュラは非常に広範であり、唯一のためです

${displaystyle x、y}$

の環境で

${displaystyle 0}$

収束します。そうです

${displaystyle e^{x} e^{y} = e^{z（x、y）}、}$

と

${displaystyle {begin {aligned} z（x、y）＆{} = x+y \＆{}+{frac {1} {2}} [x、y]+{frac {1} {12}} [x、[x、y]] – {frac {1} {12} {frac {1} {24}} [y、[x、[x、y]]] \＆{} quad- {frac {1} {720}}}（[[[x、y]、y]、y]、y]、y] +[[[[y、x]、x]、x]、x） [x、y]、y]、y]、x]+[[[[y、x]、x]、x]、y]）\＆{} quad+{frac {1} {120}}（[[y、x]、y]、x、y]、y]+[[[x、y]、x、y]、x）$

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