弾性基板上のベルカ-Wikipedia、無料百科事典

弾性基板上のビーム これは、鉄道や路面電車、基礎ベンチなどの構造要素の計算モデルにすることができます。

一定の柔軟な剛性を持つこのような梁

${displaystyle（ej_ {y} equiv mathrm {const}）}$

たわみ線の微分方程式に基づいて計算できます

${displaystyle w（x）}$

キャラクターについて ^{[初め] [2]}

${displaystyle ej_ {y} {frac {d^{4} w（x）} {dx^{4}}} = q（x）-k（x）w（x）、qquad {}}}}}}}$

（a）

どこで

${displaystyle k（x）、mathrm {left [{tfrac {kg} {m^{2}}}右]}}}$

基質の一定の弾力性がマークされています。このような基板モデルは呼び出されます Winlerowski地面 そのようなモデルが提案したWinklerという名前から ^[3] 。

式（a）の一般的な解が関数であることを実証できます

${displaystyle {begin {aligned} w（x）＆= e^{alpha x}（asin {alpha x}+bcos {alpha x}）\ [1ex]＆+e^{ – alpha x}（csin {alpha x}+dcos {alpha x}} {beigned}、ailpha x）$

（b）

どこ

${displaystyle textStyle {alpha = {sqrt [{4}] {frac {k} {4ej_ {y}}}}}}}}}}、$

絶え間ない

${displaystyle a、b、c、d}$

問題は境界条件によって決定されます。

無限に長いビームを考えてみましょう。これは、たとえば路面電車のレールです。ビーム荷重は垂直濃縮力です

${displaystyle P.}$

座標系を受け入れます

${displaystyle 0xz}$

アプリケーションの時点で。無限の距離で、それを想定できます

${displaystyle lim _ {xto infty} w（x）= 0、quad lim _ {xto infty} w^{‘}（x）= 0.qquad {}}}$

（c）

したがって、（c）に基づいて、次のようになります。

${displaystyle a = b = 0。}$

負荷の対称的な効果を考慮すると、

${displaystyle lim _ {xto 0+} w^{‘}（x）= 0.qquad {}}$

（d）

対称性はまた、ビームの右半分からの土壌の抵抗がに等しくなければならないことを示しています

${displaystyle {frac {p} {2}}}$

どこから

${displaystyle q（0+）= – {frac {p} {2}} quad to quad ej_ {y} w^{” ‘}（0+）= – {frac {p} {2}}。qquad {}}}$

（そうです）

（d）と（e）に基づいて

${displaystyle c = d = {frac {p} {8ej_ {y} alpha ^{3}。}}}}$

だから私たちは持っています

${displaystyle x> 0}$

${displaystyle w（x）= {frac {p} {8ej_ {y} alpha ^{3}}} e ^{ – alpha x}（sin alpha x+cos alpha x）、}$

${displaystyle w^{‘}（x）= {frac {p} {4ej_ {y} alpha^{2}}} e^{ – alpha x} sin alpha x、}$

${displaystyle m_ {y}（x）= {frac {p} {4alpha}} e^{ – alpha x}（sin alpha x-cos alpha x）、}$

${displaystyle q_ {z}（x）= – {frac {p} {2}} e^{ – alpha x} cos alpha x。}$

例1と同じビームは、適切な瞬間でロードできます。

${displaystyle m}$

適用

${displaystyle x = 0。}$

（c）に基づく

${displaystyle a = b = 0。}$

システムジオメトリの対称性と、軸に対する負荷の抗体測定を考慮する

${displaystyle 0z}$

私たちはそれを想定することができます

${displaystyle lim _ {xto 0+} w（x）= 0.qquad {}}$

（f）

それがそれに続くところから

${displaystyle d = 0。}$

私たちも持っています

${displaystyle m（0+）= {frac {m} {2}} quad to quad ej_ {y} w^{”}（0+）= {frac {m} {2}}。$

（g）

（f）と（g）に基づいて取得されます

${displaystyle c = – {frac {m} {4ej_ {y} alpha ^{2}}}}}$

だから私たちは持っています

${displaystyle x> 0}$

${displaystyle w（x）= – {frac {m} {4ej_ {y} alpha ^{2}}} e ^{ – alpha x} sin alpha x、}$

${displaystyle w（x）^{‘} = {frac {m} {4ej_ {y} alpha}} e^{ – alpha x}（sin alpha x-cosalpha x）、}$

${displaystyle m_ {y}（x）= {frac {m} {2}} e^{ – alpha x} cos alpha x、}$

${displaystyle q_ {z}（x）= – {frac {malpha} {2}} e^{ – alpha x}（sin alpha x+cos alpha x）。}}$