配布 – ウィキペディア、無料​​百科事典

${displaystyle mu}$

私

after-content-x4

${displaystyle f（x）= int limits _ { – infty}^{x} {frac {1} {sigma {sqrt {2pi}}}} e^{frac { – （t-mu）^{2}} {2Sigma^{2}}}}}}}$

${displaystyle f（x）= {begin {cases} 1-e^{ – lambda x}、＆xgeqslant 0、\ [2pt] 0、＆x <0.end {cases}}}}$

別の記事：確率密度関数。

ルベーグの機能の意味で測定可能

電話します 密度 分布

それからそして、いつだけ：

${displaystyle f（x）= int limits _ { – infty}^{x} {f}（t）、mathrm {d} tquad（xin mathbb {r}）。}$

プロパティ [ 編集 | コードを編集します ]

${displaystyle f（x）= int limits _ { – infty}^{x} f ‘（t）、mathrm {d} t。}$

分布密度には実用的なアプリケーションがあります

減衰の分布です

多くの場合、これは測定を目的とする必要があります

抽象的な測定に対する統合は非常に困難です（整数を計算するための特定のツールはありません）が、

分布の密度です

に

${displaystyle int limits _ {b} g（x）、mathrm {d} mathbb {p}（x）= int limits _ {b} g（x）f（x）、mathrm {d} x、}$

ボレロウコレクションごとに

そして、それぞれのボレリアの関数について

値を受け入れる

特定の自然数の場合

分布の連続性と密度の存在 [ 編集 | コードを編集します ]

密度のない連続分布があります。古典的な例は次のとおりです。

${displaystyle f（x）=左{{begin {array} {l} 0、＆x <0 \ c（x）、＆xin [0,1]、\ 1、＆x> 1、end {array}}右。}}$

${displaystyle c（x）}$

Cantorの関数を意味します。

${displaystyle c（x）}$

彼女は一定で、単調で、ほぼどこでも連続しており、コンパートメントからのすべての値を受け入れます

${displaystyle [0.1]。}$

分布

${displaystyle f}$

したがって、密度を持つことはできません

${displaystyle f ‘= 0}$

ほぼどこでも。

別の記事：特性関数（確率理論）。

もしも

${displaystyle f}$

分布であり、これは関数です

${displaystyle varphi colon mathbb {r} to mathbb {c}}$

特定のパターン

${displaystyle varphi（t）= int limits _ { – infty}^{+infty} 〜e^{itx} df（x）}$

電話します 特性関数 分布

${displaystyle F.}$

もしも

${displaystyle varphi}$

特定の分布の特徴的な機能であり、安定した均一な機能であり、

1. 
   ${displaystyle varphi（0）= 1、}$

   

2. 
   ${displaystyle varphi（-t）= {overline {varphi（t）}}}}$

   ために

   ${displaystyletin mathbb {r}、}$

   

3. 
   ${displaystyle | varphi（t）| leqslant 1}$

   ために

   ${displaystyletin mathbb {r}。}$

   

特性関数の実用的なアプリケーションの1つは、SO -Calledです 反転のためのフォーム もっと正確には

${displaystyle varphi}$

分布の特徴的な関数です

${displaystyle f、}$

a

${displaystyle x、y}$

この分布の連続性のポイントです

${displaystyle f（x）-f（y）= lim _ {ato infty} {tfrac {1} {2pi}} int limits _ { – a}^{a} {frac {e^{-ity} -e^{-itx}}} {it}}}}}}}}$

この事実の証拠は、Fubiniの主張に基づいています。

特性関数は、分布によって明確に決定されます。つまり、分布に同じ特性関数がある場合、それらは等しいです。特徴的な関数は、滑らかさに関連する分布の特性についても説明します – より正確には、特性関数が挿入されている場合、分布はクラスです

${displaystyle c^{1}。}$

収束が悪い [ 編集 | コードを編集します ]

分配ラインには、追加の種類の収束が導入されています。まだ分​​散しています

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

は 収束が不十分です 分配する

${displaystyle f}$

それからそしていつだけ

${displaystyle lim _ {nto infty} 〜f_ {n}（x）= f（x）}$

すべての人のために

${displaystyle xin mathbb {r}、}$

これは、分布の連続性です

${displaystyle F.}$

• 上記の定義では、「分布のために」と仮定することが重要です。これは、分布が分布ではない関数に依然として収束する可能性があるためです。

例

分布を常に与えてください。

${displaystyle f_ {k}（x）= {begin {cases} 0、＆xleqslant -k \ [2pt] {frac {x+k} {2k}}、＆-k kend {case}}}$

${displaystyle xin mathbb {r}、}$

${displaystyle f_ {k}（x）{xRightArrow [{kto infty}] {}} f（x）= {frac {1}}}}}、}$

しかし、関数

${displaystyle f（x）= {frac {1} {2}}}$

彼は配布ではありません。

• 分布が分布への収束がまだ不十分な場合は、正確に1つの分布になります。収束が弱いという重要な主張は、ヘリーの次の声明です。

ヘリーの定理 [ 編集 | コードを編集します ]

まだ分​​布の場合

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

分布への収束が不十分です

${displaystyle f、}$

a

${displaystyle gcolon mathbb {r} to mathbb {r}}$

限られた連続関数です

${displaystyle lim _ {nto infty} 〜int limits _ {mathbb {r}} 〜g（x）df_ {n}（x）= int limits _ {mathbb {r}} 〜g（x）df（x）。}}}$

ヘリーの定理の結論は、その場合です

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

分布の文字列です

${displaystyle（varphi _ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

特徴的な関数は、それらに対応しています

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

分布のポイント偶然です

${displaystyle f、}$

それは文字列です

${displaystyle（varphi _ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

関数の特徴的な関数とのポイントの一致です

${displaystyle F.}$

レヴィクラメラの定理 [ 編集 | コードを編集します ]

別の記事：Lévy-craméra’sHhorem。

させて

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

配布トラックになります

${displaystyle（varphi _ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

対応する特性関数の文字列になります。弦

${displaystyle（varphi _ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

関数の会議における連続的な機能に向かっています

${displaystyle varphi colon mathbb {r} to mathbb {c}}$

その後、文字列の場合にのみ

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

特定の分布への収束が不十分です

${displaystyle F.}$

${displaystyle varphi}$

次に、分布の特徴的な関数です

${displaystyle F.}$

上記の主張のおかげで、分布はまだ

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}$

分布への収束が不十分です

${displaystyle f}$

それからそしていつだけ

${displaystyle lim _ {nto infty} 〜int limits _ {mathbb {r}} 〜g（x）df_ {n}（x）= int limits _ {mathbb {r}} 〜g（x）df（x）}}$

限られた連続関数ごとに

${displaystyle g。}$

均一な収束 [ 編集 | コードを編集します ]

依然として継続的に分布している輝きが連続分布に分布しています。この事実は、連続分布の均一な連続性を使用することで証明できます。

可変分布とランダムベクトル [ 編集 | コードを編集します ]

させて

${displaystyle（omega、{mathcal {a}}、mathbb {p}）}$

固定確率的空間になります。

もしも

${displaystyle xcolon omegaからmathbb {r}}$

ランダム変数であり、関数です

${displaystyle f_ {x}コロンMathbb {r}からmathbb {r}}へ$

モデルによって与えられます：

${displaystyle f_ {x}（x）= mathbb {p}（{omega in omega colon、x（omega）leqslant x}）}$

^[3] 、

${displaystylexin mathbb {r}}$

彼は私たちが可変分布と呼ぶ分布です

${displaystyle X.}$

${displaystyle {begin {aligned} f_ {x}（mathbf {x}）＆= mathbb {p}左（x^{ – 1}（（ – infty、x_ {1}]タイムドットタイム（-infty、x_ {n}]右） {オメガコロンx_ {k}（omega）leqslant x_ {k}}右）、quad mathbf {x_ {1}、dots、x_ {n}）in mathbb {r} ^{n} end {aligned}}}$

彼は私たちがベクトル分布と呼ぶ分布です

${displaystyle X.}$

各ランダム変数（ランダムベクトル）は特定の分布を設定し、各分布はランダム変数（ランダムベクトル）の分布です。

1. ↑ また、空間内の確率分布の分布を考慮することもできます
   ${displaystyle mathbb {r} ^{m}}$

   確かに

   ${displaystyle min mathbb {n}。}$

   

2. ↑ MieczysławSobczyk： 統計：実用的および理論的側面 。 Lublin：Maria Curie-SkłodowskaUniversity House、2006、pp。74、75。ISBN 83-227-2423-3 。
3. ↑ 実際には、レコードが使用されています
   ${displaystyle mathbb {mathbb {p}}（{omega in omega colon、x（omega）leqslant x}）= mathbb {p}（x（omega）leqslant x）}$

   あるいは

   ${displaystyle mathbb {p}（xleqslant x）。}$

   

• パトリック・ビリングスリー： 確率と測定 。ワルシャワ：州科学出版社、1987年。
• Jacek Jakubowski、RafałSzncelcel： 確率理論の紹介 。ワルシャワ：スクリプト、2004年。
• Andrzej Pacut： 確率。理論、テクノロジーにおける確率的モデリング 。ワルシャワ：wydawnictwo naukowo-techniczne、1985、p。484、485。ISBN 83-204-0524-6 。
• JarosławBartoszewicz： 数学統計に関する講義 。ワルシャワ：State Wydawnictwo Naukowe、1989、p。12。isbn 83-01-09054-5 。