Multi -love Notation -Wikipedia、無料百科事典

マルチテイラー表記 – 数学的表記指標（インデックス）の概念をインジケーターベクトルに一般化することにより、多くの変数の分析の式、部分微分方程式、および分布理論を簡素化します。

マルチマン

${displaystyle n}$

– ミマリーはベクトルです

${displaystyle alpha =（alpha _ {1}、alpha _ {2}、dots、alpha _ {n}）}$

非陰性整数。マルチペット用

${displaystyle alpha、athbbのベータ{n} _ {0}^{n}}$

と

${displaystyle x =（x_ {1}、x_ {2}、dots、x_ {n}）in mathbb {r} ^{n}}$

定義済み：

• 合計と違い（座標後）、

  ${displaystyle alpha pm beta =（alpha _ {1} pm beta _ {1}、alpha _ {2} pm beta _ {2}、dots ,, alpha _ {n} pm beta _ {n}）;}$

  

• 部分順序、

  ${displaystyle alpha leqslant beta iff alpha _ {i} leqslant beta _ {i} qquad forall _ {iin {1、dots、n}};};}$

  

• 座標の合計（絶対値）、

  ${displaystyle | alpha | = alpha _ {1}+alpha _ {2}+ldots+alpha _ {n};}$

  

• 強く、

  ${displaystyle alpha！= alpha _ {1}！cdot alpha _ {2}！ldots alpha _ {n} !;}$

  

• ニュートンシンボル、

  ${displaystyle {alpha seoce beta} = {alpha _ {1} beta _ {1}} {alpha _ {2} choces beta _ {2}} ldots {alpha _ {n} choice beta _ {n}};};};};$

  

• 力、

  ${displaystyle x^{alpha} = x_ {1}^{alpha _ {1}} x_ {2}^{alpha _ {2}} ldots x_ {n}^{alpha _ {n}};};}$

  

• より高い行のパート展開誘導体、

  ${displaystyle partial^{alpha} = partial _ {1}^{alpha _ {1}} partial _ {2}^{alpha _ {2}} ldots partial _ {n}^{alpha _ {n}}、}}}$

  どこ

  ${displaystyle partial _ {i}^{alpha _ {i}}：= {tfrac {partial^{alpha _ {i}}}} {i}^{alpha _ {i}}}}}}}}$

  

マルチテイラー表記により、多くの変数の分析において、多くの基本分析パターンを対応するケースに拡張することができます。ここではいくつかの例を示します。

多項式の定理 [ 編集 | コードを編集します ]

${displaystyle left（sum _ {i = 1}^{n} 〜x_ {i} right）^{k} = sum _ {| alpha | = k}〜{frac {k！} {alpha！}}、x^{alpha}}}$

ライプニッツパターン [ 編集 | コードを編集します ]

滑らかな機能の場合

${displaystyle f}$

私

${displaystyle g}$

${displaystyle partial ^{alpha}（fg）= sum _ {nu leqslant alpha} {alpha choice nu} partial ^{nu} f、partial ^{alpha -nu} g。}$

一連のテイラー [ 編集 | コードを編集します ]

分析機能の場合

${displaystyle f}$

o

${displaystyle n}$

変数はです

${displaystyle f（x+h）= sum _ {alpha in mathbb {n} _ {0}^{n}} {{frac {partial^{alpha} f（x）} {alpha！}} h^{alpha}}}}}}$

確かに、十分な滑らかな機能のためにも同様です テイラーの開発

${displaystyle f（x+h）= sum _ {| alpha | leqslant n}〜{{frac {partial ^{alpha} f（x）} {alpha！}} h ^{alpha}}+r_ {n}（x、h）、}$

最後の式（残り）は、テイラーパターンの特定のバージョンに依存します。たとえば、カウチャのパターン（残りの積分）について

${displaystyle r_ {n}（x、h）=（n+1）sum _ {| alpha | = n+1}〜{frac {h^{alpha}} {alpha！}}$

一般的な形の部分的な違いの演算子 [ 編集 | コードを編集します ]

部分的な違いのオペレーター

${displaystyle n}$

-y注文

${displaystyle n}$

変数は正式に書かれています

${displaystyle P（partial）= sum _ {| alpha | leqslant n}〜{a_ {alpha}（x）partial ^{alpha}}。}}$

部品ごとの統合 [ 編集 | コードを編集します ]

限られたフィールドにコンパクト媒体を使用した滑らかな機能の場合

${displaystyle omega subset mathbb {r} ^{n}}$

は

${displaystyle int limits _ {omega}〜{u（partial ^{alpha} v）}、dx =（ – 1） ^{| alpha |} int limits _ {omega}〜{（partial ^{alpha} u）v、dx}。$

このパターンは、分布と弱い導関数を定義するために使用されます。

もしも

${displaystyle alpha、athbbのベータ{n} _ {0}^{n}}$

彼らはマルチプレイヤーです、a

${displaystyle x =（x_ {1}、dots、x_ {n}）、}$

に

${displaystyle partial^{alpha} x^{beta} = {begin {cases} {frac {beta！} {（beta -alpha）！}} x^{beta -alpha}、＆{hbox {gdy}}} }}$

証拠 [ 編集 | コードを編集します ]

証拠は、通常のデリバティブの権力のルールをもたらします。もしも

${displaystyle alpha、{0,1,2、dots}のベータ版、}$

それから

${displaystyle {frac {d^{alpha}} {dx^{alpha}} x^{beta} = {begin {case} {frac} {beta！} {（beta -alpha）！}}} x^{beta} 0＆{hbox {w p.p。}} end {cases}} qquad（1）}$

それを仮定しましょう

${displaystyle alpha =（alpha _ {1}、dots、alpha _ {n}）、}$

${displaystyle beta =（beta _ {1}、dots、beta _ {n}）、}$

${displaystyle x =（x_ {1}、dots、x_ {n}）。}$

それから

${displaystyle {begin {aligned} partial^{alpha} x^{beta}＆= {frac {partial^{| alpha |}}^{alpha _ {1}} ldots partial x_ {n}^{{n} {{{{{{{{{{{{n} {n} {{{n} {n} {{n} {n} {n} {n} {n} {n}） beta _ {1}} ldots x_ {n}^{beta _ {n}} \ [1ex]＆= {frac {partial^{alpha _ {1}}}} {partial x_ {1}^{alpha _ {1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {frac {partial^{alpha _ {n}}} {partial x_ {n}^{alpha _ {n}}}} x_ {n}^{beta _ {n}}。$

すべての人のために

${displaystyle iin {1、dots、n}、}$

関数

${displaystyle x_ {i}^{beta _ {i}}}$

依存します

${displaystyle x_ {i}。}$

したがって、上記のパターンでは、各部分的な分化

${displaystyle {tfrac {partial} {partial x_ {i}}}}}$

適切な微分に縮小されます

${displaystyle {tfrac {d} {dx_ {i}}}}}$

したがって、式（1）はそれを示しています

${displaystyle partial ^{alpha} x ^{beta}}$

場合は消えます

${displaystyle alpha _ {i}> beta _ {i}}$

${displaystyle iin {1、dots、n}。}$

それ以外の場合、つまりいつ

${displaystyle alpha leqslant beta}$

マルチペットとして

${displaystyle {frac {d^{alpha _ {i}}}} {dx_ {i}^{alpha _ {i}}}}}}} {i}^{beta _ {i}} = {frac {beta _ {i}}}}} {i}}}}}}}} ！}} x_ {i}^{beta _ {i} -alpha _ {i}}}}}}$

すべての人のために

${displaystyle i、}$

クレームはどこから来ますか。

• セントレイモンド、ザビエル（1991）。 擬似性演算子の理論の基本紹介 。第1.1章。 CRCプレス。 ISBN 0-8493-7158-9 。