統合基準-Wikipedia、無料百科事典

積分基準 （それも Maclaurin-Cauchy Integral Starion ^[初め] ） – 特定の行を積分と比較するという考えに基づいて、ランクの収束の肯定的な単語との収束の基準。この基準の初期の形式は、インドでマダワによって発見されました ^[2] 14世紀とケララ州の学校の後継者。ヨーロッパでは、1742年にマクラウリンによって再び基準が再び発見されました ^[3] 私はcauchy’egoです ^[4] 。

させて

${displaystyle fcolon [1、infty）to mathbb {r}}$

それは正で減少する機能になります。させて

${displaystyle a_ {n} = f（n）}$

すべての人のために

${displaystyle n。}$

その後、シリーズ

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} a_ {n}}}}$

（a）

それは一致し、積分が間違っている場合にのみ ^[5]

${displaystyle int limits _ {1}^{infty} f（x）、mathrm {d} x。}$

（私）

積分（i）は、曲線下の領域の面積を表現します

${displaystyle y = f（x）}$

（黒の隣の図）範囲内

${displaystyle [1、infty）。}$

シリーズ（a）ポイントのチャートのサイズを与える

${displaystyle x = 1,2、dots、}$

だから彼らは基づいて長方形のフィールドを表現します

${displaystyle1}$

そして高さ

${displaystyle a_ {n}}$

（その隣の図では、緑とマークされています）。したがって、シリーズ（a）の合計は、長方形のフィールドの合計です。これを考慮して、積分基準は次のように解釈できます。チャートの下のフィールドの場合

${displaystyle y = f（x）}$

それは終わりました、フィールドの合計はさらに終わりました

${displaystyle 1cdot a_ {n}}$

（シリーズ（a）の合計に等しい）。 Fr.の各長方形を移動することにより。

${displaystyle1}$

右側に、チャート

${displaystyle y = f（x）}$

コンパートメント内

${displaystyle [2、infty）}$

前述のシフトの図に含まれます。特に、チャートの下のフィールドの場合

${displaystyle y = f（x）}$

それは無限であり、また、考慮された図のフィールドにも無限でなければならず、したがって行の合計（a） ^[6] 。

関数のため

${displaystyle f}$

減少しており、不均一性があります

• 
  ${displaystyle f（x）leqslant a_ {k}}$

  ために

  ${displaystyle kleqslant xleqslant k+1、}$

  

• 
  ${displaystyle a_ {k} leqslant f（x）}$

  ために

  ${displaystyle k-1leqslant xleqslant k。}$

  

この意味は

${displaystyle int limits _ {k}^{k+1} f（x）、mathrm {d} xleqslant a_ {k} leqslant int limits _ {k-1}^{k} f（x）、mathrm {d} xquad（k、= 2,3ldots）、}$

そしてここから

${displaystyle a_ {2} +ldots +a_ {n} leqslant int limits _ {1}^{n} f（x）、mathrm {d} xleqslant a_ {1} +ldots +a_ {n-1}。}}}$

積分（i）が収束している場合、部分積分

${displaystyle {bigg（} int limits _ {1}^{k} f（x）、mathrm {d} x {bigg）} _ {k = 1}^{infty}}}$

限られているので、部分的な合計の限られたシーケンスを引き付ける

${displaystyle {bigg（} sum _ {j = 1}^{k} a_ {j} {bigg）} _ {k = 1}^{infty}}}$

シリーズ（a）。この文字列も非vanishingです（シリーズ（a）の単語が非陰性であると仮定して）。したがって、限られた非vanishの実数の文字列として収束するため、シリーズ（a）は収束します。

シリーズ（a）が収束している場合、部分積分の上記の定義部分も制限されているため、実数の限定的かつ非消化シーケンスとして収束（積分（i）に） ^[7] 。

${displaystyle sum _ {n = m}^{infty} {frac {1} {n^{s}}}}}$

のために収束します

${displaystyle s> 1。}$

${displaystyle f（x）= x^{ – s}}$

それはプラスであり、範囲が減少します

${displaystyle [1、infty）、}$

したがって、積分基準が使用されます。

${displaystyle int limits _ {m}^{infty} {frac {mathrm {d} x} {x^{s}}} = int limits _ {m}^{infty} {x^{ – s} mathrm {d} x}} =左[{x^-{x^-{x^-{x^-{x^-{x^-{x^-{x^-{x^-{x}}右] _ {m}^{infty} = lim _ {xto infty}〜{frac {x^{ – s+1}} { – s+1}} – {frac { – s+1}}} { – s+1}}}}}}$

いつ

${displaystyle -s+1 <0、}$

つまり、いつです

${displaystyle s> 1}$

[7] 。

${displaystyle sum _ {n = 2}^{infty} {frac {1} {ncdot（ln n）^{s}}}}}}$

のために収束します

${displaystyle s> 1}$

${displaystyle f（x）= {frac {1} {xcdot（ln x）^{s}}} quad（xgeqslant 2）、}$

我々は持っています

${displaystyle int f（x）、mathrm {d} x = {frac {（ln x）^{1-s}} {1-s}}+c、quad sneq 1、}$

${displaystyle int f（x）、mathrm {d} x = ln（ln x）+c、quad s = 1、}$

したがって、不適切な積分

${displaystyle textytytt ir _ {{infty} f（x）、matrm {d} x} x}$

いつ存在します

${displaystyle s> 1}$

[8] 。