Lebesgue Integral -Wikipedia、無料百科事典

この記事は、レベジグの積分の厳格な数学的定義に関するものです。参照：イラストショット。

CałkaLebesgue’a – 1902年にフランスの数学がアンリ・ルベスーグの数学によって導入された、リーマンの積分の概念をより広範な機能の機能に拡張する数学構造 ^[初め] 。拡張機能は、サブ機能を決定できるフィールドにも適用されます。

ルベスグ自身が彼の定義を古典的な積分リーマンと比較しました ^[必要] ：

一定の金額を支払うべきだと想像してください。この目的のために、必要な金額を集めるために財布からお金を引き出すことができます。これはRiemanaの積分です。また、すべてのコインを一度に削除し、値に応じて並べ替えて、いくつかのコインでのみ支払うこともできます。これは私の不可欠です。

これは次のように説明できます。Riemannメソッドでは、関数のフィールドが発生し、チャートの「高さ」が各場所で順番に測定されます。一方、Lebesgueメソッドは最初に関数値のセットを考慮し、これに従ってフィールドのピースを選択します。

特定の関数のハンマーの積分が、この関数のlebesgueの積分に等しくなります。 Lebesgueの統合の主な利点は、関数の点限界の概念と数学的な説明で調和することです。積分および境界の手術の順序を交換できることです（これは、Riemannaの積分の場合には必ずしも可能ではありません）。現在、Lebesgueの積分は、それを使用した現代の数学と教えの基本的なツールの1つです。

Riemanaの積分は、ユークリド空間を備えた分離不可能な構造です。 Lebesgueの一般化により、より一般的なスペースで指定された機能にキスすることができます。スケッチされたアプローチの下には、可能な多くのアプローチの1つがあります。

収穫 a _私 ;数字 c _私 彼らは赤いエピソードの高さに横たわっています

リーマンナの積分は、ヨルダンの尺度に関連付けられており、これは添加関数の完成に過ぎません。言い換えれば、有限数の分離の合計の尺度は、個々のコレクションの尺度の合計に等しいと想定されています。リーマンの統合の概念の概念の拡張への道の基本的なステップの1つは、ディリクレ機能の機能の機能への概念への拡張でした。これは、ヨルダンの尺度をすでに変換しているルベーグの尺度に置き換えることでした。

lebesgueの尺度に関連する積分の定義には、領域を測定するプロセスを考慮して変更が必要です。積分の定義では、機能のフィールドは短いコンパートメントに分割されます。一方、Lebesgueの積分を計算するとき、これはフィールドではありませんが、積分関数の軸は多くのコンパートメントを完成させることに分かれています。

説明を容易にするために、肯定的な機能が想定されます。

範囲に含まれています

関数チャートの下の領域の面積の領域の近似を見つけるには

コンパートメントを分割します

ポイントの終わりについてサポートされている区別器に

受け入れる場合

（図面を参照）、番号を選択します

（図では、これらの数字は赤いエピソードの高さにあります）、それらはそれぞれ エリア

と いいえ これは等しいです 範囲

コレクション

で掛けられます

この方法で受け取った エリア それらは詳細なペアであるため、そのフィールドの合計が関数の下での領域の領域に適した近似になることが予想されます

– 数字による値のセットの初期分割が小さいほど良いほど

このアプローチは、特定の関数を単純な関数、つまり、多くの値を撮影している関数を使用して導入することにより、厳密に実装されます。 測定可能 フィールドのサブセット。

サイン [ 編集 | コードを編集します ]

参照：特定の関係。

次の規則がさらに使用されます：シンボル

${displaystyle f = g、; fleqslant g、; f g、; fgeqslant g}$

after-content-x4

${displaystyle f（x）= g（x）、; f（x）leqslant g（x）、; f（x） g（x）、; f（x）geqslant g（x）}$

${displaystyle x}$

特にマークされていない限り、確立されたコレクションまたはフィールド全体に属します。同じことが機能を楽しむでしょう

${displaystyle max、min}$

（最小I Maksimum）私はpodobnymiです。

ルベーグの積分は通常、ルベーグの尺度で導入されます

${displaystyle lambda}$

ユークライドスペースにおけるリーマンの積分の一般化として。ただし、測定の選択はアプリケーションに依存しますが、構造自体はより広いクラスの空間に適用されます。このため、議論の明確性に害を与えずにそれができる場所では、尺度の測定値

after-content-x4

${displaystyle mu}$

積分、つまり

${displaystyle operatorname {d} mu、}$

一貫して見落とされます：

${displaystyle int f; operatorname {d} mu {overset {anderset {mathrm {ozn}} {}} {=}} int f、}}$

これは、設計の透明性に大きく影響します。尺度の兆候も同様の原則で下げられます

${displaystyle mu}$

で 食事 コレクションまたは関数（以下を参照）。

測定可能な関数 [ 編集 | コードを編集します ]

参照：測定可能な機能。

測定値でスペースを与えます

${displaystyle（x、{mathcal {f}}、mu）。}$

要素σ-シアラ

${displaystyle {mathcal {f}}}$

スペースで指定されています

${displaystyle x}$

呼び出されました 収穫

${displaystyle mu}$

-いつ に関して

${displaystyle {mathcal {f}}。}$

関数

${displaystyle fcolon xto mathbb {r}}$

は

${displaystyle mu}$

-何 、 もしも

${displaystyle mu}$

– 反対のコンパートメントの力強さ

${displaystyle（-infty、a）、}$

どちらのために

${displaystyle ain mathbb {r} ..}$

当時、ボレロウコレクションに対して測定可能です。

測定可能な関数のセットは、代数活動のために閉じられます。特に、関数が測定可能である場合

${displaystyle f、g、}$

これは、これらの機能の合計、差、製品、および商、つまり、測定可能です。

${displaystyle fpm g、; fg}$

と

${displaystyle f/g}$

（最後のケースでは、商品が理にかなっている場合に指定された商）。

さらに、機能は測定可能です。

${displaystyle | f |、; max（f、g）、; min（f、g）}$

と

${displaystyle f^{+}：= max（f、0）、}$

${displaystyle f^{ – }：= max（-f、0）、}$

適切に呼ばれます 正の部分 と ネガティブ 関数

${displaystyle f}$

（モジュール、正の部分と負の部分は非陰性関数です）。定義から直接は次のことを示しています。

${displaystyle f = f^{+} -f^{ – }}$

と

${displaystyle | f | = f^{+}+f^{ – }。}$

測定可能な関数のセットは、ポイント境界を取得するため、つまりシーケンス関数が測定可能である場合に閉じられています。

${displaystyle（f_ {n}）_ {nin mathbb {n}}、}$

これらは測定可能な機能でもあります

${displaystyle sup f_ {n}、; bed f_ {n}、; limsup f_ {n}、; liminf f_ {n}。}$

単純な関数 [ 編集 | コードを編集します ]

参照：Simple Function。

機能

${displaystyle f}$

呼び出されました 真っ直ぐ 、その画像が完成したコレクションであり、そのすべての価値がある場合

${displaystyle c_ {i}}$

特定の測定可能なセットで取得されます

${displaystyle a_ {i}、}$

すなわち

${displaystyle a_ {i} = f^{-1}（c_ {i}）in {mathcal {f}}}}$

ために

${displaystyle i = 1、dots、n。}$

言い換えれば、関数

${displaystyle f}$

測定可能なセットの特性（インジケータ）関数の有限の組み合わせの形で提示できる場合、それは単純と呼ばれます。

${displaystyle f = sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} chi _ {a_ {i}}}}$

特定の値の場合

${displaystyle a_ {1}、a_ {2}、dots、a_ {n}}$

とコレクション

${displaystyle a_ {1}、a_ {2}、dots、a_ {n} in {mathcal {f}}。}$

CałkaLebesgue’a [ 編集 | コードを編集します ]

Lebesgueの統合の設計には、最も単純な機能の完全な機能のクラスを徐々に複雑にすることが含まれます。

特性機能

特性関数から積分の値を割り当てる唯一の合理的な可能性

${displaystyle chi _ {a}}$

測定可能なセット

${displaystyle a}$

このコレクションの尺度があります。

${displaystyle int chi _ {a}; operatorname {d} mu：= mu（a）。}$

結果は等しい場合があります

${displaystyle +infty、}$

家です

${displaystyle mu}$

有限の尺度ではありません。

単純な関数

もしも

${displaystyle f}$

は 非陰性 単純な関数（特性関数の線形組み合わせ）、Lebesgueの積分この機能は式で定義されます

${displaystyle int f; operatorname {=} int sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} chi _ {a_ {i}}：= sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} int chi _ {a_ {i} = sum}}} {i} {ni} （a_ {i}）。}$

あらゆる単純な関数からの積分

${displaystyle g}$

それ自体をとして定義します

${displaystyle int g：= int g^{+} – int g^{ – }。}$

ここにある積分の少なくとも1つが終了している限り。関数

${displaystyle g}$

は 積分 、これらの両方の積分が終了した場合。

測定可能な関数

非陰性測定可能な関数のルベスグ積分

${displaystyle g}$

と定義されている

${displaystyle int g：= sup {bigg {} int fcolon f}$

非陰性の単純な関数です

${displaystyle fleqslant g {bigg}}。}$

測定可能な関数を備えたレベルの統合の定義

${displaystyle h}$

単純な関数からの積分の定義とは大きく違いはありません。

${displaystyle int h：= int h^{+} – int h^{ – }、}$

ここの積分の少なくとも1つが終了したとき。上記のように

${displaystyle h}$

は 積分 これらの両方の積分が終了したとき。

測定可能なコレクション

測定可能な関数からの積分

${displaystyle f}$

測定可能なコレクション

${displaystyle ein {mathcal {f}}}$

と定義されている

$M TUME FELE TRALALET TU LOMS EM REFINES：K SETTS EMMHéDutEmpit、称賛。$

どこ

${displaystyle chi _ {e}}$

コレクションの特徴的な機能を意味します

${displaystyle E.}$

プロパティと基本的なクレーム [ 編集 | コードを編集します ]

測定値でスペースを与えます

${displaystyle（x、{mathcal {f}}、mu）、}$

と

${displaystyle F、g、f_ {0}、f_ {1}、f_ {2}、dots colon xto mathbb {r}。}$

Lebesgue Integralは、「測定のコレクションが異なる」「機能を区​​別しません」

${displaystyle mu}$

ゼロ。より正確に：関数

${displaystyle f}$

私

${displaystyle g}$

それらは平等です ほぼどこでも （P.W.）、if

${displaystyle mu {big（} {big {} xin xcolon f（x）neq g（x）{big}} {big）} = 0。}$

^[a]

したがって、場合

${displaystyle f、g}$

非陰性測定可能な関数（おそらく無限）です。

${displaystyle f = g}$

ほぼどこでも、それ

${displaystyle int f = int g。}$

もしも

${displaystyle f、g}$

それらはほぼどこでも同じです、これは機能です

${displaystyle f}$

関数が交換可能な場合にのみインターミットされています

${displaystyle g、}$

そして、それらの積分は等しい。

Lebesgueの積分の最も単純な特性は、以下に含めることができます。

• もしも
  ${displaystyle f}$

  ゼロメジャーの収集を除いて、測定可能でゼロに等しくなります、それは積分であり、

  ${displaystyle int f = 0;}$

  

• もしも
  ${displaystyle f}$

  測定可能で制限されています

  ${displaystyle e}$

  と

  ${displaystyle mu（e）$

  に

  ${displaystyle f}$

  それは集中的です

  ${displaystyle e;}$

  さらに

  ${displaystyle f（e）subseteq [a、b]、}$

  に

  $mこのyleple it（ueubal mubate mmm m remee m reme）について話し合います。$

  

• もしも
  ${displaystyle f}$

  測定可能です、a

  ${displaystyle g}$

  積分、および

  ${displaystyle f <| g |}$

  ほぼどこでも、それ

  ${displaystyle f}$

  また、積分です。さらに

  ${displaystyle -int gleqslant int fleqslant int g;}$

  

Lebesgueの積分には、次の重要な特性があります。

直線性

もしも

${displaystyle f、g}$

彼らは集中的であり、それは彼らの線形の組み合わせです

${+bgのdisplaystyle}$

また、実際のものにも不可欠です

${displaystyle a、b、}$

そこに

${displaystyle int（alpha f+beta g）= alpha int f+beta int g。}$

単調

もしも

${displaystyle f、g}$

彼らは集中的であり、

${displaystyle fleqslant g、}$

に

${displaystyle int fleqslant int g。}$

単調な収束のルベーグの定理

させて

${displaystyle（f_ {n}）}$

測定不可能な測定可能な関数の文字列になります

${displaystyle f_ {n} leqslant f_ {n+1}}$

すべての人のために

${displaystyle nin mathbb {n}。}$

それから

${displaystyle lim _ {n} int f_ {n} = int lim _ {n} f_ {n}。}$

注：上記の積分のいずれかの値は無限である場合があります。

Lemat Fatou

もしも

${displaystyle（f_ {n}）}$

非陰性測定可能な関数の文字列です、それは

${displaystyle int liminf _ {n} f_ {n} leqslant liminf _ {n} int f_ {n}。}$

繰り返しますが、積分の値は無限になります。

限られた収束のルベーグの定理

もしも

${displaystyle（f_ {n}）}$

ポイントリミットを持つ複雑な測定可能な関数の文字列です

${displaystyle f}$

そして、そのような完全な関数がある場合

${displaystyle g、}$

それか

${displaystyle | f_ {n} | leqslant g}$

すべての人のために

${displaystyle n、}$

に

${displaystyle f}$

それは激しいです

${displaystyle lim _ {n} int f_ {n} = int f。}$

直線上の積分アカウントの基本的なステートメント

関数の場合

${displaystyle f}$

それは範囲内のレーベスグの意味で絡み合っています

${displaystyle [a、b]}$

および機能

${displaystyle fcolon [a、b] to mathbb {r}}$

によって決定されます

${displaystyle f（x）= int limits _ {a}^{x} f、}$

に

${displaystyle f}$

それはほぼどこでも差があり、その派生物はほぼどこにでもあります（つまり、ゼロのコレクションの外側）等しい

${displaystyle f（x）。}$

関数の場合、その逆の方法

${displaystyle f}$

範囲は差があります

${displaystyle [a、b]、}$

そしてその派生物

${displaystyle f ‘= f}$

範囲が制限されています

${displaystyle [a、b]、}$

に

${displaystyle f}$

それはレベーゼの意味で激しく、パターンは真実です

${displaystyle f（x）-f（a）= int limits _ {a}^{x} f。}$

リーマンの積分に対するルベーグの積分の典型的な例は、ディリクレの関数、つまり測定可能な数値のセットの特徴的な関数、つまり関数です。

${displaystyle d（x）= {begin {cases} 0＆{text {dla}} xnotin mathbb {q}、\ 1＆{text {dla}} xin mathbb {q} .end {cases}}}}}$

測定可能な数値のセットは変換され、それとは別に、この関数は常にゼロです。したがって、この関数の積分（「チャートの下のフィールド」）がゼロに等しいはずであると予想するのは自然です。特に、統合自体が存在するはずです（前述のフィールドを「測定」する可能性）。

Launannine統合は、Lebesgue Theoryで意味のある結果をもたらさないが、これは2つの値（0と1）のみをとるが、かなり「不規則な」方法でのみ単純な単純な関数である。ルベーグ関数の積分

${displaystyle d}$

合計

${displaystyle int d = 0cdot lambda left（mathbb {r} setminus mathbb {q}右）+1cdot lambda（mathbb {q}）= 0、}$

測定可能な数値のセットの測定値はゼロであるため（これは、有形数のセットの測定と変換の定義から直接生じる）。この場合、値のセットから始まるとき、フィールドはでのみ分割されました 二 部品ですが、どれもエピソードではありませんでした。

また、ルベーグの意味では不完全な機能もあります。積分

${displaystyle int limits _ {0}^{1} int limits _ {0}^{1} {frac {x^{2} -y^{2}} {（x^{2}+y^{2}）^{2}}}}$

それは存在しません。これは、Fubiniの定理を使用して証明できます。

積分リーマンとの比較 [ 編集 | コードを編集します ]

別の記事：Caiss Riemann。

低額（UP）の助けを借りて、Riemannaの積分を、Lebesgue Integralのために置きます。

厳しい場合、このフィールドを測定するプロセスは、関数分割の分割に基づいています。この方法は、連続的な機能に非常にうまく機能しますが、一連の不連続点がゼロではない関数は、リーマンの意味では統合されません。さらに、不完全なものの中には非常に単純で一般的な機能があり、それらにキスする可能性（積分の理論に含める）は、理論家とアプリケーションの両方にとって重要です。

その隣の図は、リーマンとレベングの統合の説明的な比較を示しています。リーマン全体では、チャートの下のフィールドの長方形への分割はほぼ「無料」です。フィールドは、各「ピース」で長方形の一定の高さを選択します（高さはこのピースの関数の任意の値です）。

実際の典型的な選択は、軸上の均等な分裂です

${displaystyle x、}$

その隣の図面に示されているように。 Lebesgueの積分では、与えられた関数がアプローチされます 不合理 一連の単純な関数。これは、その定義で使用されるSupremumを実装する典型的な方法です。一見グラフィカルには見えますが、長方形への分割は単純な関数の値のセットで「制御」されていることに注意する必要があります。さらに、これらの単純な機能は非常に自由に選択できます。実際の典型的な選択は、分析（部門）に基づいています 値のセット 前述のように、与えられたポッドキャスク機能。これにより、フィールドを細かく分割します。これはもはやエピソードではありません。たとえば、1つの「ピース」は、いくつかのエピソードの合計です（合計の横にある図では、そのような長方形の色がマークされています）。一般に、より少ない規則的な機能では、そのような「ピース」は非常に複雑な形をとることができ、それを「測定」するためには、それがLebesgueの尺度に導入されます。

podcałkowa関数で十分である場合、たとえば連続的に、両方の定義が同じ結果をもたらします。正規の機能が少ない場合、統合の積分はまったく存在しない可能性があります（上記の例を参照）。

リームマンの意味での基本機能を統合するためのすべてのパターンは、レベジグの意味での統合のための適切なパターンに転送されます。 Fubiniの主張はまた、二重積分を反復に変換する可能性について話す義務があり、これらの積分を計算する順序を変更します。ただし、Lebesgue Integralの最も重要な特徴は、積分の概念のコンプライアンスと関数の点限界に関連しています。一般的に、適切な条件下では、シーケンスの制限からの積分は、これらの関数の推力の制限に等しくなります。言い換えれば、関数のラインと積分をカウントする順序を交換できます。適切なプロパティは、次のクレームに正確に含まれています。

これらのクレームはいずれも、リーマンナのシーケンスの限界（「通常」、単純）の限界がリーマンの意味ではまったく統合できない可能性があるため、これらのクレームは同様に簡単な方法で定式化することはできません。何よりも、この根本的な違いが、一見より複雑になり、ルベーグ理論分野の直感的な概念から去ったことの成功に貢献したことでした。

lebesgueの尺度に対する積分は、測定理論の複雑な機械全体を参照することなく決定できます。これらのアプローチの1つは、SO -Calledです積分ダニエラ。

機能分析の方法を通じて統合理論へのアプローチもあります。 Riemannaの積分は、連続関数のために存在します

${displaystyle f}$

コンパクト媒体が指定されています

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

（または、そのようなスペースの確立されたオープンサブセット）。これらの積分の助けを借りて、より一般的な機能のケーペを構築できます。さて、させてください

${displaystyle mathrm {c} _ {c}}$

これは、コンパクトな媒体を備えた実際の変数の実際の値を持つすべての機能の空間になります。次に、標準が定義されます

${displaystyle mathrm {c} _ {c}}$

パターン

${displaystyle | f | = int {big |} f（x）{big |} operatorname {d} x。}$

それから

${displaystyle mathrm {c} _ {c}}$

それは正規化された線形空間になります（特にメトリック空間です）。すべてのメトリックスペースには、Hausdorffの補完があります。させて

${displaystyle operatorname {l} ^{1}}$

それはそのような補完になります。この空間は、積分がゼロの関数をサポートすることにより、lebesgueという意味での統合可能な関数の分位空間と同型です。さらに、積分

${displaystyle int}$

Riemannaは標準に関連して均一に機能しています

${displaystyle mathrm {c} _ {c}、}$

これは密集しています

${displaystyle operatorname {l} ^{1}。}$

したがって、

${displaystyle int}$

スペース全体に1つの拡張機能があります

${displaystyle operatorname {l} ^{1}。}$

この積分は、単なるルーベーグの積分です。

上記のアプローチは一般化される場合があります。局所的にコンパクトな空間のラドン測定に対する積分の組み合わせを提供できます。私はそれらを使用していますBourbaki（2004）（局所的にコンパクトなスペースのラドン測定を参照）。

• ウォルター・ルーディン： 実際の複雑な分析 。ウッチ：PWN、1986年。
• Ryszard Rudnicki： 数学的分析に関する講義 。パンチ。 ISBN 83-01-13554-9 。
• G. B. FOLLAND： 実際の分析：最新のテクニックとそのアプリケーション 。 （ 。 ）） 。
• ポール・ハルモス、P。R。ハルモス： 理論を測定します 。ニューヨーク：D。van Nostrand Company、1950。 （ 。 ）） 。