曲線長 – ウィキペディア、無料百科事典

Posted on January 7, 2020 by lordneo

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曲線長 これは、曲線を特徴付けるサイズです

{r^{n}}のdisplaystyleガンマ}

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${displaystyle gamma in R^{n}}$ asとして定義されています

{displaystyleガンマ：[a、b]からr^{n}。}

${displaystyle gamma :[a,b]to R^{n}.}$ この場合、この曲線は呼び出されます 簡単です 修正可能 。

ユークリド空間の曲線は、有限の数のセクションで近づくことができます（特に曲線上に端があることを要求できます。特に、壊れた端が曲線の端と一致することを要求できます）。

エピソードの数（長さが短い）を増やすと、曲線のより良い近似が可能になります。後続の近似の長さは比類のないものになる可能性がありますが、曲線のクラスがあり、その近似の長さは、数が増加して壊れたセクションの長さを短縮するにつれて、ある程度の値を努力します。特定の曲線に対して、その多項式近似のいずれかに上端がある場合、このサイズは呼ばれます長さこの曲線。曲線自体はその後呼び出されます 簡単です また 修正可能 。

させて

{displaystyle c}

$C$ ユークリド（または一般的にメトリック）スペースの曲線になります

{displaystyle X.}

$X.$ その後、連続関数があります

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{displaystyleガンマ：[a、b] x、}

${displaystyle gamma :[a,b]to X,}$ 呼び出されました パラメーター化 そのイメージは曲線です

{displaystyle C.}

${displaystyle C.}$ マークしましょう

{displaystyleガンマ（t）= t ‘}

$gamma (t)=t'$ と長さ

{displaystyle | ts |}

$|ts|$ エピソード

{displaystylets}

$ts$ ポイント間の距離として与えられます

{displaystylet}

$t$ 私

{displaystyle s。}

${displaystyle s.}$

エピソードの分割から

{displaystyle a = t_ {0}

$a=t_{0}<t_{1}<ldots <t_{{n-1}}<t_{n}=b$ 完成したポイントのセットを取得します

{displaystylet ‘_ {0}

$t'_{0}<t'_{1}<ldots <t'_{{n-1}}<t'_{n}$ 曲線上

{displaystyle C.}

${displaystyle C.}$ 曲線長

{displaystyle c}

$C$ 次に、パターンで表現されます。

{displaystyle l_ {c} = sup sum _ {i = 1}^{n} left | t ‘_ {i-1} t’ _ {i} right |、}

エピソードのすべての師団の後に至上最大（上端）が撮影された場所

{displaystyle ab}

$ab$ と

{displaystyle n。}

$n.$

それは命じられています

{displaystyle l_ {c}}

$L_{C}$ パラメーター化の選択に依存しません。それが終わった場合、曲線

{displaystyle c}

$C$ 呼び出されました 簡単です （ 修正可能 ）私 反論できません （ 非繰り返し ）さもないと。

このパラメーターはアーチの長さです

{displaystyleS}

$s$ 曲線は、その際立った開始点から測定されました

{displaystyle p _ {（s = 0）}}

${displaystyle P_{(s=0)}}$ 曲線上の現在のポイントに

{displaystyle p_ {s}。}

${displaystyle P_{s}.}$

もしも

{displaystyleガンマ}

$gamma$ それはリプシッツの状態を満たし、長方形です。その後、サイズを定義できます

{displaystyle s（p）= limsup _ {tto p} {frac {| t’p ‘|} {| tp |}}、}

曲線の長さを表すことができます

{displaystyle c}

$C$ でパラメーター化されています

{displaystyleガンマ}

$gamma$ パターン：

{displaystyle l_ {c} = int _ {a}^{b} s（t）。}

もしも

{displaystyleガンマ}

$gamma$ 微分です、それは曲線の長さです

{displaystyle c}

$C$ パターンで表現されています：

{displaystyle l_ {c} = int _ {a}^{b} | dgamma（t）| = int _ {a}^{b} {sqrt {1+（dgamma（t））^{2}}}。}}}

デカルト座標系で平らな曲線がパラメータされている場合 xy 方程式

{displaystyle x = f（t）}

$x=f(t)$ と

{displaystyle y = g（t）、}

${displaystyle y=g(t),}$ ここで機能

{displaystyle f}

$f$ 私

{displaystyle g}

$g$ それらは滑らかで、パターンを説明するこの曲線の長さです ^[初め]：

{displaystyle l_ {c} = int _ {a}^{b} {sqrt {（dx（t））^{2}+（dy（t））^{2}}}}}}}}

極座標で

{displaystyle r = h（theta）}

$r=h(theta )$ 上記のパターンは形を取ります

{displaystyle l_ {c} = int _ {a}^{b} {sqrt {r^{2}+（dr（theta）^{2}）}}}}}}

サイクロイド [ 編集 | コードを編集します ]

参照：サイクロイド。

パラメトリック方程式で説明されているサイクロイドアーチの長さ：

{displaystyle {begin {case} x（t）= r（t-sin {t}）\ y（t）= r（1-cos {t}）end {cases}}、}

合計

{displaystyle 8r、}

${displaystyle 8r,}$ どこ

{displaystyle r> 0}

$r > 0″></span>確立されています <span class=$

{displaystyletin [0,2pi]。}

${displaystyle tin [0,2pi ].}$

証拠

導関数を計算します。

{displaystyle {begin {cases} x ‘（t）= r（1-cos {t}）\ y’（t）= rsin {t} end {cases}}。}}

パターンの代わりになります。

{displaystyle l = int limits _ {t_ {1}}^{t_ {2}} {sqrt {（x ‘（t））^{2}+（y’（t））^{2}}}; {mbox {d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

どこから

{displaystyle {begin {aligned} l＆= int limits _ {0}^{2pi} {sqrt {[r（1-cos {t}）]^{2}+[rsin {t}]^{2}}} {r^{2}（1-cos {t}）^{2}+r^{2} sin^{2} {t}}} {t}}}; {mbox {d}} t = rint制限_ {0}^{2pi} {sqrt {1-2Cos {t} +1}} {mbox {d}} t = rint limits _ {0}^{2pi} {sqrt {2（1-cos {t}）}}; {mbox {d}} t.end {aligned}}}}}}

コシヌスの違いに三角測定パターンを使用します

{displaystyle 1-cos {t} = 2sin ^{2} {tfrac {t} {2}}、}

私たちは平等になります

{displaystyle l = rint limits _ {0}^{2pi} {sqrt {4sin^{2} {tfrac {t} {2}}}} box {d}} t。}

統合の境界内にあるという事実のために

{displaystyletin [0,2pi]}

${displaystyle tin [0,2pi ]}$ 表現

{displaystyle sin t/2}

${displaystyle sin t/2}$ 非陰性であるため、ついに平等が得られます

{displaystyle l = 2rint rimits _ {0}^{2pi} sin {tfrac {t} {2}}; {mbox {d}} t = 2cos {tfrac {t} {2}}右）

サイクロイドアーチの長さは、ローリングサークルの四重層直径に等しくなります。

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