[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-pierscieni-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-pierscieni-wikipedia\/","headline":"Teoria pier\u015bcieni &#8211; Wikipedia","name":"Teoria pier\u015bcieni &#8211; Wikipedia","description":"W matematyce, Teoria pier\u015bcienia odnosz\u0105 si\u0119 do badania struktur algebraicznych, kt\u00f3re na\u015bladuj\u0105 i rozszerzaj\u0105 wzgl\u0119dne liczby ca\u0142kowite, zwane pier\u015bcieniami. To","datePublished":"2022-03-06","dateModified":"2022-03-06","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8afe943ffa3da32884751e2dbeeb2a5702e4ce98","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8afe943ffa3da32884751e2dbeeb2a5702e4ce98","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-pierscieni-wikipedia\/","wordCount":11813,"articleBody":"W matematyce, Teoria pier\u015bcienia odnosz\u0105 si\u0119 do badania struktur algebraicznych, kt\u00f3re na\u015bladuj\u0105 i rozszerzaj\u0105 wzgl\u0119dne liczby ca\u0142kowite, zwane pier\u015bcieniami. To badanie jest szczeg\u00f3lnie zainteresowane klasyfikacj\u0105 tych struktur, ich reprezentacji i ich w\u0142a\u015bciwo\u015bci. Opracowany od ko\u0144ca 19 To jest Century, zw\u0142aszcza pod przewodnictwem Davida Hilberta i Emmy Noether, teoria pier\u015bcieni by\u0142a fundamentalna dla rozwoju matematyki w 20 To jest Century, poprzez geometri\u0119 algebraiczn\u0105, a zw\u0142aszcza teori\u0119 liczb, i nadal odgrywa kluczow\u0105 rol\u0119 w matematyce, ale tak\u017ce w kryptografii i fizyce. Je\u015bli teoria pier\u015bcieni rozwa\u017ca pier\u015bcienie og\u00f3lnie , Pier\u015bcienie przemienne s\u0105 znacznie lepiej zrozumiane i wygenerowa\u0142y wiele konkretnych wynik\u00f3w, zgrupowanych pod nazw\u0105 algebry przemiennej. Wolniejszy rozw\u00f3j teorii og\u00f3lnej, obejmuj\u0105cy r\u00f3wnie\u017c niekommutacyjne pier\u015bcienie, by\u0142 g\u0142\u00f3wnie motywowany odkryciem w latach 80. niekommutywnych geometrii i grup kwantowych.   Teoria pier\u015bcieni zrodzi\u0142a si\u0119 z ch\u0119ci usystematyzowania obserwacji zachowania kilku konstrukcji algebraicznych (takich jak czwartorz\u0119dne lub liczba liczb). Je\u015bli struktury te maj\u0105 oczywiste podobie\u0144stwa z liczbami ca\u0142kowitych, na przyk\u0142ad mo\u017cemy doda\u0107 dwa elementy lub obliczy\u0107 produkt, zidentyfikowano wa\u017cne r\u00f3\u017cnice: na przyk\u0142ad znaczenie porz\u0105dku w mno\u017cenie (dla czwartorz\u0119dnych, a nie do pracy) lub niepowodzenie rozk\u0142adu si\u0119 do rozk\u0142adu w liczba pierwsza w niekt\u00f3rych cia\u0142ach liczb [[[ Pierwszy ] . Badanie wielomian\u00f3w, motywowane pojawiaj\u0105c\u0105 si\u0119 geometri\u0105 algebraiczn\u0105, zmusza Richarda Dedekind do wprowadzenia pierwszej koncepcji \u201epier\u015bcienia liczb\u201d, aby uchwyci\u0107 podobie\u0144stwa mi\u0119dzy tymi strukturami, w kt\u00f3rych mo\u017cemy dodawa\u0107 i mno\u017cy\u0107. Dedekind u\u017cywa tego terminu Zam\u00f3wienie (\u201eZakon\u201d), kt\u00f3re dzi\u015b ma inne znaczenie. S\u0142owo, Zahlring , co zw\u0142aszcza nieformalnie zbi\u00f3r liczb, jest u\u017cywany przez Davida Hilberta, kt\u00f3ry u\u017cywa go do wyznaczenia tych struktur w popularnej pracy na temat teorii liczb [[[ 2 ] . Zgodnie z podej\u015bciem aksjomatycznym w modzie na pocz\u0105tku 20 To jest Century, pierwsza abstrakcyjna definicja pier\u015bcienia zosta\u0142a podana w 1914 roku przez Abrahama Fraenkela [[[ 3 ] W [[[ 4 ] , kt\u00f3ry b\u0119dzie Comp\u00e9t\u00e9e w 1917 r. Par Masazo sono (z) Aby poda\u0107 bie\u017c\u0105c\u0105 definicj\u0119 pier\u015bcienia i pier\u015bcienia przemiennego. Ale to niezaprzeczalnie matematyk Emmy Noether, kt\u00f3ry najbardziej rozwin\u0105\u0142 powstaj\u0105c\u0105 teori\u0119 pier\u015bcieni abstrakcyjnych, wprowadzaj\u0105c w artykule z 1921 r. W wi\u0119kszo\u015bci podstawowych wynik\u00f3w domeny i rozr\u00f3\u017cnia wiele wa\u017cnych klas pier\u015bcieni, takich jak pier\u015bcienie noetyjskie i Dedekind Rings Rings . Teraz bez niezb\u0119dnego zwi\u0105zku z liczbami teoria pier\u015bcieni startuje jako niezale\u017cna teoria. Lasker i Macauley nast\u0119pnie pokazuj\u0105 korespondencj\u0119 mi\u0119dzy odmianami algebraicznymi, zdefiniowanymi przez uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 wielomianowych, a pier\u015bcieniami zbudowanymi z maksymalnych idea\u0142\u00f3w wyci\u0105gni\u0119tych z tych r\u00f3wna\u0144. Pokazuj\u0105, \u017ce mo\u017cna zatem rozwi\u0105za\u0107 wiele problem\u00f3w o charakterze geometrycznym a priometrycznym poprzez badanie idea\u0142\u00f3w pier\u015bcieni, a priori algebraiczny. To zainspirowa\u0142o nowoczesn\u0105 ide\u0119, \u017ce ca\u0142\u0105 geometri\u0119 mo\u017cna zrozumie\u0107 jako dyskusj\u0119 na temat r\u00f3\u017cnych rodzaj\u00f3w idea\u0142\u00f3w. W\u015br\u00f3d g\u0142\u00f3wnych autor\u00f3w, kt\u00f3rzy przyczynili si\u0119 do opracowania teorii, s\u0105 dodatkami do wspomnianych ju\u017c Williama Hamiltona, Josepha Wedderburn, Henri Cartan, Emil Artin, Nathan Jacobson, Charles Hopkins, Jacob Levitzki, Alfred Goldie, Shimshon Amitsur, Kenneth, Kenneth Goodearl, Richard Brauer, Paul Cohn, Israel N. Herstein, Kiti Morita i \u00d8ystein Ore. Najcz\u0119stsza definicja pier\u015bcienia jest nast\u0119puj\u0105ca: jest to tryplet ( A W + W \u00d7 ) {DisplayStyle (a,+, czasy)} Jak na przyk\u0142ad W niekt\u00f3rych kontekstach niekt\u00f3rzy autorzy wol\u0105 rozwa\u017cy\u0107 \u201epier\u015bcienie bez jednostki\u201d o nazwie Pseudo-Drive [[[ 5 ] . By\u0142 to og\u00f3lny przypadek rozwa\u017cany przez Emmy Noether i wiele staro\u017cytnych podr\u0119cznik\u00f3w buduje teori\u0119 z pseudo-jazdy. W wi\u0119kszo\u015bci przypadk\u00f3w i z kategorycznego punktu widzenia, dzi\u015b uwa\u017camy wi\u0119cej standard\u00f3w do pracy w pier\u015bcieniu z jednostk\u0105. R\u00f3wnowa\u017cna definicja polega na tym, \u017ce pier\u015bcie\u0144 jest kategori\u0105 Ab {DisplayStyle operatorname {ab}} -Inrichie z jednym obiektem. W algebrze przemiennej dodaje si\u0119 nast\u0119puj\u0105cy aksjomat: A {DisplayStyle A} to jego w\u0142asne centrum, to znaczy dla wszystkiego A W B \u2208 A {DisplayStyle A, bin a} na A B = B A {DisplayStyle ab = ba} . W tym przypadku m\u00f3wimy o pier\u015bcieniu do pracy. Poj\u0119cie pier\u015bcienia ma kluczowe znaczenie dla matematyki i dlatego objawia si\u0119 w wielu kontekstach. Niekt\u00f3re wa\u017cne przyk\u0142ady to: Wszystko Z {displaystyle mathbb {Z} } Wzgl\u0119dne liczby ca\u0142kowite, dostarczane z zwyk\u0142ymi operacjami dodawania i mno\u017cenia, s\u0105 pier\u015bcieniem do pracy. Zestawy Q W R W C {DisplayStyle Mathbb {Q}, Mathbb {R}, Mathbb {C}} s\u0105 pier\u015bcieniami przemiennymi. I A {DisplayStyle A} jest pier\u015bcieniem, wszystkie wielomiany z wsp\u00f3\u0142czynnikami A {DisplayStyle A} sama znany pier\u015bcie\u0144 A [[[ X ] {DisplayStyle A [x]} . I A {DisplayStyle A} jest pier\u015bcieniem, wszystkie kwadratowe macierze z wsp\u00f3\u0142czynnikami A {DisplayStyle A} jest pier\u015bcieniem (do mno\u017cenia dodawania i macierzy). Ten pier\u015bcie\u0144 macierzy na og\u00f3\u0142 nie jest komutowany, nawet je\u015bli A {DisplayStyle A} jest do pracy. I X {DisplayStyle x} jest przestrzeni\u0105 topologiczn\u0105 i W {displayStyle u} jest otwarty X {DisplayStyle x} , wszystkie ci\u0105g\u0142e funkcje W {displayStyle u} z warto\u015bciami w pier\u015bcieniu A {DisplayStyle A} , oznaczone C ( W W A ) {DisplayStyle C (u, a)} , sam jest pier\u015bcieniem (do dodania i sk\u0142adu funkcji). Ten pier\u015bcie\u0144 na og\u00f3\u0142 nie jest komutowany, nawet je\u015bli A {DisplayStyle A} jest do pracy. Teoria pier\u015bcieni w ramach handlowych wiele si\u0119 rozwin\u0119\u0142a 20 To jest Century, a wiele wynik\u00f3w tego rozwoju jest pogrupowane pod kadrem algebry przemiennej. Opr\u00f3cz wzgl\u0119dnej prostoty przypadk\u00f3w przemiennych, by\u0142 szczeg\u00f3lnie odpowiedni do badania problem\u00f3w geometrycznych i arytmetycznych; Tak bardzo, \u017ce wsp\u00f3\u0142czesna historia geometrii algebraicznej, teoria liczb i algebry przemiennej jest nieroz\u0142\u0105czna. W przypadku geometrii jest to intuicja Laskera i Macauleya, kt\u00f3ra doprowadzi\u0142a do koncepcji schematu z Grothendieck, kt\u00f3ra pokazuje r\u00f3wnowa\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy badaniem odmian algebraicznych a koncepcj\u0105 pier\u015bcieni przemiennych, a zw\u0142aszcza ich spektrum. Poj\u0119cie modu\u0142u na pier\u015bcieniu, kt\u00f3ry uog\u00f3lnia w pewnym sensie przestrzeni wektorowej, wydaje si\u0119 naturalnie i okazuje si\u0119 skutecznym sposobem badania danego pier\u015bcienia; Modu\u0142y pozwalaj\u0105 w szczeg\u00f3lno\u015bci na budowanie reprezentacji. W przypadku teorii liczb jest to ca\u0142a klasyfikacja wynikaj\u0105ca z bada\u0144 Kummera i Dedekind dotycz\u0105cych faktoryzacji, kt\u00f3ra umo\u017cliwia precyzyjn\u0105 analiz\u0119 konstrukcji uog\u00f3lniania ca\u0142ego wzgl\u0119dnego, na podstawie wynik\u00f3w, kt\u00f3re s\u0105 transportowane, czy nie: istnienie \u201d Podzia\u0142 euklidesowy, wyj\u0105tkowo\u015b\u0107 faktoryzacji w elementach pierwotnych, wa\u017cno\u015b\u0107 twierdzenia B\u00e9zout itp. Jest to w\u0142a\u015bnie poprzez obserwowanie niepowodzenia unikalnej faktoryzacji w niekt\u00f3rych liczbach, na przyk\u0142ad fakt, \u017ce ( Pierwszy + &#8211; 5 ) ( Pierwszy &#8211; &#8211; 5 ) = 6 = 3 \u22c5 2 {displayStyle (1+ {sqrt {-5}}) (1- {sqrt {-5}}) = 6 = 3cdot 2} z 2 W 3 W Pierwszy \u00b1 &#8211; 5 {DisplayStyle 2,3,1pm {sqrt {-5}}} nieredukowalne w Z [[[ &#8211; 5 ] {DisplayStyle Mathbb {z} [{sqrt {-5}}]} , \u017ce Kummer wprowadzi\u0142 poj\u0119cie idea\u0142u. Rzeczywi\u015bcie, je\u015bli pojedyncza czynnik uwzgl\u0119dnia elementy pier\u015bcienia, nadal mo\u017ce w pewnym sensie by\u0107 wa\u017cna dla idea\u0142\u00f3w. Szczeg\u00f3lnie interesuj\u0105ca rodzina pier\u015bcieni przemiennych ma nieruchomo\u015b\u0107, \u017ce ka\u017cdy rosn\u0105cy idealny \u0142a\u0144cuch jest stacjonarny; Dzi\u015b nazywane s\u0105 pier\u015bcieniami noetheian na cze\u015b\u0107 Emmy Noether. Mierz\u0105c d\u0142ugo\u015b\u0107 takiego \u0142a\u0144cucha, zanim stanie si\u0119 on stacjonarny, Krull wprowadza nast\u0119pnie pierwsz\u0105 koncepcj\u0119 wymiaru, umo\u017cliwiaj\u0105c \u201epomiar\u201d wielko\u015bci pier\u015bcienia. Od tego czasu wprowadzono inne \u015brodki, takie jak g\u0142\u0119boko\u015b\u0107 lub wymiar homologiczny. Badanie idea\u0142\u00f3w i modu\u0142\u00f3w pier\u015bcienia, ale tak\u017ce badanie jego rozdzielczo\u015bci (W) Jak pokazuje Hilbert jego twierdzenie o Syzygii, zapewnia algebr\u0119 przemienn\u0105 pot\u0119\u017cne bardzo og\u00f3lne wyniki. Z punktu widzenia teorii kategorii istnieje kategoria pier\u015bcieni, a nawet pier\u015bcieni przemiennych, odnotowano odpowiednio Pier\u015bcie\u0144 {DisplayStyle operatorname {ring}} I Cring {DisplayStyle operatorname {cring}} , kt\u00f3rych strza\u0142ki s\u0105 morfizmami pier\u015bcieni. Poj\u0119cie r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci Mority, bardziej og\u00f3lne ni\u017c izomorfizmu, umo\u017cliwia zbli\u017cenie si\u0119 do pier\u015bcieni, kt\u00f3rych kategorie modu\u0142\u00f3w s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne. Og\u00f3lny przypadek, w kt\u00f3rym nie zak\u0142ada si\u0119, \u017ce badane pier\u015bcienie s\u0105 na og\u00f3\u0142 trudniejsze. Pierwsz\u0105 przeszkod\u0105 jest to, \u017ce idea\u0142 w przypadku niekommutyjny mo\u017cna zdefiniowa\u0107 po lewej lub prawej stronie i \u017ce te dwie koncepcje na og\u00f3\u0142 nie pokrywaj\u0105 si\u0119. Konsekwencj\u0105 jest to, \u017ce wiele konstrukcji algebry przemiennej nie dzia\u0142a ju\u017c ani nie wymaga bardziej og\u00f3lnych i mniej przydatnych definicji, a wiele nieruchomo\u015bci staje si\u0119 chiralami: pier\u015bcienie mog\u0105 na przyk\u0142ad noetheran lub artinijczycy po lewej, prawej lub dwustronnie. Wyposa\u017caj\u0105c pier\u015bcie\u0144 (niezerowy) ze wszystkimi odwrotno\u015bci\u0105 element\u00f3w niezerowych, uzyskuje si\u0119 lewy korpus, kt\u00f3ry odpowiada konstrukcji cia\u0142a, z wyj\u0105tkiem tego, \u017ce mno\u017cenie niekoniecznie jest zgodne. W sprzeczno\u015bci z twierdzeniem Wedderburn lewe cia\u0142o jest koniecznie niesko\u0144czone. Twierdzenie Frobeniusa okre\u015bla jedyne lewe lewe cia\u0142a z gotowego wymiaru R {DisplayStyle Mathbb {r}} i twierdzenie Hua (W) pokazuje, \u017ce niekt\u00f3re zastosowania mi\u0119dzy lewymi cia\u0142ami s\u0105 homomorfizmy lub antyhomomorfizmy. Maj\u0105c nadziej\u0119 na uzyskanie og\u00f3lnej klasyfikacji lewych cia\u0142, Brauer wprowadzi\u0142 grup\u0119 klas r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci Morita centralnego algebra gotowego rz\u0119du: jest to grupa Brauer, dzi\u015b zinterpretowana pod wzgl\u0119dem grupy grupy kohomologii. Ruda pr\u00f3bowa\u0142a rozszerzy\u0107 budow\u0119 cia\u0142a u\u0142amk\u00f3w w przypadku niekommutacyjnej. To pytanie (i bardziej og\u00f3lne pytanie o lokalizacj\u0119) spowodowa\u0142o wprowadzenie pier\u015bcieni rudy, kt\u00f3rych pier\u015bcienie przemienne s\u0105 szczeg\u00f3lnym przypadkiem. W przypadku tych pier\u015bcieni mo\u017cemy zbudowa\u0107 odpowiednik cia\u0142a u\u0142amk\u00f3w zwanych pier\u015bcieniem iloraz\u00f3w. Badanie modu\u0142\u00f3w jest kluczowym narz\u0119dziem teorii pier\u015bcieni og\u00f3lnych. Modu\u0142 po lewej (odpowiednio po prawej) na pier\u015bcieniu A {DisplayStyle A} ma dzia\u0142anie po lewej (po prawej) przez elementy A {DisplayStyle A} ; W tym sensie konstrukcja modu\u0142\u00f3w uog\u00f3lnia konstrukcj\u0119 przestrzeni wektorowych. Innymi s\u0142owy, modu\u0142 jest \u201eprzestrzeni\u0105 wektorow\u0105 na pier\u015bcieniu\u201d, zamiast by\u0107 na ciele. Bior\u0105c pod uwag\u0119 pier\u015bcionek, zawsze ma co najmniej jeden modu\u0142: sam. Badanie podmodali i idea\u0142\u00f3w pozwala, w por\u00f3wnywalnym spos\u00f3b z badaniem podgrup w teorii grupy, scharakteryzowanie pier\u015bcienia i zbadanie jego drobnych w\u0142a\u015bciwo\u015bci. Za tym obserwacj\u0105 ukrywa ide\u0119, \u017ce modu\u0142y stanowi\u0105 przedstawienia pier\u015bcieni. Rzeczywi\u015bcie, je\u015bli we\u017amiemy pod uwag\u0119 pier\u015bcie\u0144 A {DisplayStyle A} i jeden A {DisplayStyle A} -Modu\u0142 po lewej stronie M {DisplayStyle M} , z definicji ta ostatnia jest dostarczana z dzia\u0142aniem A \u00d7 M \u2192 M {DisplayStyle Atimes MTO M} . Dla ka\u017cdego elementu A \u2208 A {DisplayStyle ain a} Istnieje zatem aplikacja [[[ A ] : M \u2208 M \u21a6 A \u22c5 M \u2208 M {DisplayStyle [a]: min mmapsto acdot min m} kt\u00f3ry jest co najmniej jeden morfizm grup dla struktury addytywnej M {DisplayStyle M} . W rzeczywisto\u015bci wszystkie morfizmy grup M {DisplayStyle M} naturalnie ma struktur\u0119 pier\u015bcieniow\u0105 (przy zwyk\u0142ym dodaniu i sk\u0142adaniu), tak aby ka\u017cdy element A \u2208 A {DisplayStyle ain a} faktycznie definiuje morfizm pier\u015bcienia R A : A \u2192 Koniec Z\u2061 ( M ) {DisplayStyle Rho _ {A}: ato operatorname {end} _ {Mathbb {z}} (m)} . Innymi s\u0142owy, R A {DisplayStyle Rho _ {A}} jest reprezentacj\u0105 A {DisplayStyle A} NA M {DisplayStyle M} . W r\u00f3wnowa\u017cny spos\u00f3b mo\u017cemy to powiedzie\u0107 A {DisplayStyle A} -Modu\u0142 po lewej stronie to dane grupy przemiennej M {DisplayStyle M} i reprezentacja A {DisplayStyle A} NA M {DisplayStyle M} , kt\u00f3ry ilustruje g\u0142\u0119boki zwi\u0105zek mi\u0119dzy koncepcjami. Wiele konstrukcji na pier\u015bcieniu jest transportowanych na ich modu\u0142ach, przynajmniej w przypadku do pracy: Tensoriel, Location, Duals, W szczeg\u00f3lno\u015bci iloraz. Umo\u017cliwia to budowanie modu\u0142\u00f3w o bogatej strukturze. I odwrotnie, badanie wzor\u00f3w, kt\u00f3re s\u0105 (lokalnie) przestrzeniami z wi\u0105zk\u0105 pier\u015bcieni strukturalnych, sprawia, \u017ce \u200b\u200bbadanie modu\u0142\u00f3w w geometrii algebraicznej jest fundamentalne. W tym kontek\u015bcie modu\u0142y p\u0142askie maj\u0105 du\u017ce znaczenie [[[ 6 ] . Wreszcie, odkrycie grup kwantowych w latach 80. wymaga\u0142o poszukiwania reprezentowania tych grup i o\u017cywionego zainteresowania niekommutacyjnymi pier\u015bcieniami, kt\u00f3re nadaj\u0105 si\u0119 szczeg\u00f3lnie do tego \u0107wiczenia. Liczba liczb i K -Algebraiczna herbata [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Jednym z pocz\u0105tkowych cel\u00f3w teorii pier\u015bcieni by\u0142o uog\u00f3lnienie poj\u0119cia ca\u0142o\u015bci i uczenie si\u0119 z takich konstrukcji. Koncepcja ca\u0142ego algebraika na pier\u015bcieniu umo\u017cliwia budowanie rozszerze\u0144, kt\u00f3re obejmuj\u0105 nowe obiekty: na przyk\u0142ad, pocz\u0105wszy od od Q {DisplayStyle Mathbb {q}} i formalnie dodaj\u0105c rozwi\u0105zanie do r\u00f3wnania X 2 = 3 {DisplayStyle x^{2} = 3} Otrzymujemy rozszerzenie kwadratowe Q ( 3 ) {DisplayStyle Mathbb {q} ({sqrt {3}})} . Pier\u015bcie\u0144 odpowiednich liczb ca\u0142kowitych to Z [[[ 3 ] = Z \u2295 3 Z {displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {3}}]=mathbb {Z} oplus {sqrt {3}}mathbb {Z} } . Ten pier\u015bcie\u0144 ma wiele wsp\u00f3lnych w\u0142a\u015bciwo\u015bci z Z {displaystyle mathbb {Z} } , i mo\u017cemy studiowa\u0107 w takich pier\u015bcieniach pytania na przyk\u0142ad na temat istnienia rozwi\u0105za\u0144 niekt\u00f3rych r\u00f3wna\u0144 kwadratowych diofantyjskich. Mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c doda\u0107 korzenie urz\u0105dzenia, aby uzyska\u0107 cyklotomiczne ca\u0142kowit\u00f3w: by\u0142o to podej\u015bcie rozwa\u017cane do udowodnienia twierdzenia Fermat-Wiles Z [[[ Z 23 ] {displaystyle mathbb {Z} [zeta _{23}]} . P\u00f3\u017aniej Hensel wprowadzi\u0142 liczby P -Aksy Q P {DisplayStyle Mathbb {q} _ {p}} , z kt\u00f3rego podobnie konstruujemy pier\u015bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych P-ADICAL, kt\u00f3re za pomoc\u0105 metody Skolaka i zasady HASE umo\u017cliwiaj\u0105 rozwi\u0105zanie wielu r\u00f3wna\u0144 (lub udowodnienia braku rozwi\u0105zania). Alternatywnie mo\u017cemy zacz\u0105\u0107 od zdefiniowania takich pier\u015bcieni i zbudowania cia\u0142a odpowiednich u\u0142amk\u00f3w, a nast\u0119pnie postrzegania pier\u015bcienia jako bardziej fundamentalnego obiektu. Radykalnie inny k\u0105t, za pomoc\u0105 kt\u00f3rego teoria pier\u015bcieni rzuca \u015bwiat\u0142o na teori\u0119 liczb, pochodzi z problemu topologicznego. W 1957 r. Grothendiececk uog\u00f3lni\u0142 twierdzenie Riemanna-Rocha i wprowadzi\u0142 do tego grup\u0119 K 0 ( X ) {DisplayStyle K_ {0} (x)} Do badania r\u00f3\u017cnorodno\u015bci X {DisplayStyle x} , zdefiniowane jako iloraz grupy r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci w\u0142\u00f3kien wektorowych X {DisplayStyle x} . Je\u015bli motywacja jest geometryczna, konstrukcja jest ca\u0142kowicie algebraiczna i faktycznie mo\u017cemy zast\u0105pi\u0107 w\u0142\u00f3kna wektorowe modu\u0142ami rzutowymi: mamy zatem K 0 ( X ) {DisplayStyle K_ {0} (x)} Dla ka\u017cdego pier\u015bcienia X {DisplayStyle x} (niekoniecznie do pracy). Dla cia\u0142a X {DisplayStyle x} , na K 0 ( X ) \u2243 Z {DisplayStyle K_ {0} (x) simeq mathbb {z}} . I X {DisplayStyle x} jest pier\u015bcieniem do pracy, K 0 ( X ) {DisplayStyle K_ {0} (x)} jest po\u0142\u0105czony z grup\u0105 Picard X {DisplayStyle x} . I X {DisplayStyle x} jest pier\u015bcieniem liczb ca\u0142kowitych cia\u0142a liczb, K 0 ( X ) {DisplayStyle K_ {0} (x)} uog\u00f3lnia budow\u0119 grupy klasowej. Grupa K Pierwszy ( X ) {DisplayStyle K_ {1} (x)} , Wprowadzone przez Hymana Bassa i Stephena Schanuela (z) i grupa K 2 ( X ) {DisplayStyle K_ {2} (x)} Z powodu Johna Milnor maj\u0105 r\u00f3wnie\u017c interpretacj\u0119 pod wzgl\u0119dem liczby liczb: K Pierwszy ( X ) {DisplayStyle K_ {1} (x)} jest po\u0142\u0105czony z grup\u0105 jednostek X {DisplayStyle x} , ty, je\u015bli X {DisplayStyle x} jest wtedy cia\u0142o K 2 ( X ) {DisplayStyle K_ {2} (x)} poinformowane o teorii cia\u0142a klasy w X {DisplayStyle x} , Symbol Hilberta i mo\u017cliwo\u015b\u0107 rozwi\u0105zania r\u00f3wna\u0144 kwadratowych. Geometria niekommutacyjna, wynikaj\u0105ca w szczeg\u00f3lno\u015bci z pracy Alaina Connesa, ma na celu zaproponowanie geometrycznego podej\u015bcia do algebry niekommutacyjnych (algebra na niekommutacyjnym pier\u015bcieniu). Ten punkt widzenia jest motywowany mi\u0119dzy innymi przez twierdzenie o reprezentacji Gelfand (W) co pokazuje, \u017ce komutatywna algebra bananowa mo\u017ce by\u0107 reprezentowana jako algebra funkcji (ci\u0105g\u0142a), a reprezentacja ta jest izomorfizmem i izometri\u0105, je\u015bli algebra, o kt\u00f3rej mowa, jest c*-alg\u00e8bre. Je\u015bli teraz zaczniemy od niekomutacyjnej c*-algebra X {DisplayStyle x} , ta konstrukcja rodzi przestrze\u0144 topologiczn\u0105 X^{displayStyle {szeroko {x}}} Zwany spektrum (lub podw\u00f3jnym) c*-algebre, w podobny spos\u00f3b jak spektrum pier\u015bcienia tworzy przestrze\u0144 topologiczn\u0105 z topologi\u0105 Zariski (schemat) [[[ 7 ] . Dlatego jeste\u015bmy doprowadzeni do rozszerzenia i rozwijania r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci, klasyka mi\u0119dzy pier\u015bcieniami prze\u0142\u0105czaj\u0105cymi i geometri\u0105, z przypadkami niekommutacyjnymi. Trudno\u015b\u0107 wynika w szczeg\u00f3lno\u015bci z faktu, \u017ce w og\u00f3le pier\u015bcie\u0144 mo\u017ce nie mie\u0107 idealnego czystego \u015bliniaka. Jest to na przyk\u0142ad przypadek algebry Weyla, zbudowanej jako algebra r\u00f3\u017cnicowych wielomian\u00f3w na przestrzeni afinicznej. Chocia\u017c ma idea\u0142y po lewej (odpowiednio po prawej), algebra Weyla jest prostym pier\u015bcieniem. Dlatego niemo\u017cliwe jest bezpo\u015brednie zdefiniowanie widma takiego pier\u015bcienia w zwyk\u0142y spos\u00f3b. Techniki pochodzenia (W) Cz\u0119sto nie ma zastosowania, poniewa\u017c nie zawsze mo\u017cna zlokalizowa\u0107 niekommunikowy pier\u015bcie\u0144 (i nawet je\u015bli mo\u017cesz, powstaj\u0105 inne trudno\u015bci). W obliczu niepowodzenia bezpo\u015brednich metod, wi\u0119kszo\u015b\u0107 podej\u015b\u0107 pod\u0105\u017ca za po\u015bredni\u0105 metod\u0105 teorii TOPOS: Rozwa\u017camy kategori\u0119 wi\u0105zek na przestrzeni, a nie sam\u0105 przestrze\u0144, jako obiekt podstawowy. Je\u015bli A {DisplayStyle A} jest pier\u015bcieniem (og\u00f3lnie c*-algebra) i Przeciwko A {DisplayStyle operatorname {mod} _ {a}} jest kategori\u0105 modu\u0142\u00f3w (po prawej) A {DisplayStyle A} , a je\u015bli odnotujemy M < \u221e {DisplayStyle M_ { \/ M < \u221e {DisplayStyle operatorname {PRJ} a = operatorname {mod} _ {a}\/m_ { "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-pierscieni-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Teoria pier\u015bcieni &#8211; Wikipedia"}}]}]