Zermelo-Fraenkel ustawia teorię-wikipedię

W matematyce, Zermelo-Fraenkel ustawia teorię , skrócony ZF , jest aksjomatyzacją w logice pierwszego rzędu teorii zestawów, ponieważ została opracowana w ostatnim kwartale Xix ^{To jest} Century przez Georg Cantor. Aksiomatyzacja została opracowana na początku Xx ^{To jest} Century kilku matematyków, w tym Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel, ale także Thoralf Skolem.

Ta aksjomatyzacja ucieka przed paradoksami zbyt naiwnej teorii zestawów, takich jak Paradoks Russell, usuwając niezmieniony schemat zrozumienia (fakt, że każda właściwość może zdefiniować całość, obiekty posiadające tę właściwość) dla niektórych zachowa Przydatne przypadki specjalne. Dlatego istnieją klasy, kolekcje obiektów matematycznych zdefiniowanych przez właściwość udostępnioną przez wszystkich ich członków, które nie są zestawami.

W teorii ZF i jej rozszerzeniach, te klasy mówią Czyste zajęcia Nie odpowiadają obiektom teorii i można je traktować tylko pośrednio, w przeciwieństwie do bardzo podobnej teorii klas von Neumanna-Bernays-Gödel (NBG).

Ze względu na jego szczególny status ogólnie uważa się, że wybrany aksjomat nie jest częścią definicji ZF I zauważamy ZFC Teoria uzyskana przez dodanie.

Zwykle matematyka można teoretycznie opracować całkowicie w ramach teorii ZFC, prawdopodobnie dodając aksjomaty, takie jak aksjomaty dużych kardynałów, dla niektórych zmian (na przykład teorii kategorii). W tym sensie jest to teoria fundamentów matematyki.

W 1963 r. Paul Cohen wykorzystał teorię ZFC, aby odpowiedzieć na pytanie zadane przez Cantora ciągłej hipotezy, co pokazuje, że nie była to konsekwencja aksjomatów tej teorii i że aksjomat z wyboru nie był konsekwencją teorii ZF. Metoda, którą opracowuje, wymusza, jest pochodzenie wielu osiągnięć w teorii zestawu. Zdecydowana większość dzieł teoretyków zestawów, ponieważ przynajmniej ten czas znajduje się w ramach teorii ZF, jej rozszerzeń, a czasem jej ograniczeń.

Konstrukcja, metoda opracowana przez Kurta Gödela w 1936 r. W ramach teorii NBG w celu wykazania, że ​​hipoteza ciągłego i wybranego aksjomatu nie była sprzeczna z innymi aksjomatami teorii zestawów, S natychmiast dostosowuje się do teorii ZF .

• 
• 

  Adolf Abraham Halevi Fraenkel

Teoria Zermelo to nowoczesna prezentacja teorii opublikowanej przez Zermelo w 1908 roku ^{[[[ Pierwszy ]} , przedstawione jawnie lub domyślnie w ramach logiki pierwszego rzędu z równością. Często pojawia się w książkach wprowadzających do teorii zestawów ^{[[[ 2 ]} . Obejmuje następujące aksjomaty:

• Aksjomat rozszerzenia, który mówi, że jeśli dwa zestawy a i b mają te same elementy, są one równe:
  ${DisplayStyle Forall a forall b [(forall x [xin Aleftrightarrow xin b]) rightarrow a = b]}$

  .

• i aksjomaty „konstrukcji”:

Twierdzenie o Hartogach, postrzegane jako istnienie dla wszystkich A dobrze uporządkowanej całości, która nie wstrzykuje A , pokazano w teorii Zermelo.

Teoria Zermelo była ponadto pierwotnie wybranym aksjomatem. Teoretycznie (z) twierdzenie Zermelo i lemat Zorna mogą wywnioskować z tego dodatkowego aksjomatu ^{[[[ 3 ]} I tak są z niego równoważne.

Teoria Zermelo-Fraenkel rozszerza teorię Zermelo, a także obejmuje:

Schemat aksjomatów zastępczy pozwala w szczególności na rozwój teorii porządkowych.

Schemat aksjomatów zrozumienia jest wywnioskowany ze schematu aksjomatów zastępczych (a zatem w szczególności istnienia pustej całości, przyznane, że wszystkie wszechświaty razem mają co najmniej jeden element).

Aksjomat pary odstąwa od aksjomatu części i schematu zastępczego.

Według autorów aksjomat podstawowy jest częścią teorii. Jest niezależny od innych i nie jest konieczny dla teorii porządków.

Teoria Zermelo-Fraenkel z Aksjomatem Choice (ZFC) [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Obejmuje również:

Inne aksjomaty można dodać do teorii ZFC, jak

• Ciągła hipoteza, która nie może dodać nowej sprzeczności (jeśli teoria ZFC z ciągłą hipotezą jest sprzeczna, to tak, że teoria ZFC też jest),
• Aksjomaty wielkich kardynałów, które wzmacniają teorię (możemy wykazać koherencję teorii ZFC w teorii ZFC oraz aksjomat Wielkiego Kardynała, który prowadzi, że koherencja ZFC plus aksjomat Wielkiego Kardynała nie wywnioskowania ZFC, przez ZFC, przez Drugie twierdzenie o niekompletności Gödela).

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Prace wprowadzające [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Aspekty historyczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

• (W) Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel et Azriel Levy, Podstawy teorii ustalonej , Północna Holandia, 1973 ( Pierwszy ^Odnośnie wyd. 1958) ( Czytaj online )
• (W) Akihiro Kanamori, « Ustaw teorię od Cantora na Cohen », W Andrew Irvine i John H. Woods (wydawcy), Podręcznik filozofii nauki , Tom 4, Mathematics, Cambridge University Press, 2008

Linki zewnętrzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]