Opakowanie (analiza cyfrowa) – Wikipedia

W analizie cyfrowej dyscyplina matematyki, kondycjonowanie Mierzy zależność od rozwiązania problemu cyfrowego w odniesieniu do danych problemu, w celu kontrolowania ważności roztworu obliczonego w porównaniu z tymi danymi. Rzeczywiście, dane problemu cyfrowego ogólnie zależą od miar eksperymentalnych i dlatego są zniszczone przez błędy.

Najczęściej jest to ilość cyfrowa.

Mówiąc bardziej ogólnie, możemy powiedzieć, że opakowanie związane z problemem jest miarą trudności cyfrowej obliczeń problemu. Mówi się problem z niskim uwarunkowaniem Cóż -Conditioned i jest to problem, którego opakowanie jest wysokie Myditaria .

Lub problem

${DisplayStyle Mathrm {p}: Mathbb {r} ^{n} rightarrow mathbb {r}}$

. Być również zakłóconą zmienną

${displayStyle {hat {x}} _ {i} = x_ {i} (1+varepsilon _ {i})}$

, z

${displayStyle | varepsilon _ {i} |$

, gdzie ε jest precyzją maszyny. Więc stan k Problemu jest najmniejsza liczba, taka jak:

${DisplayStyle {frac {fachrm {p} (} {x}}) – Mathrm} (} {| Mathrm {p} (x) |$

Problem P jest dobrze uwarunkowany, jeśli k nie jest zbyt duże w porównaniu do

${displayStyle varepsilon}$

. W przeciwnym razie problem ten jest słabo uwarunkowany ^{[[[ Pierwszy ]} .

Selon N. Higham ^{[[[ 2 ]} , wydaje się, że koncepcja opakowania została wprowadzona przez Alan Turinga ^{[[[ 3 ]} który na przykład zdefiniował opakowanie dużej kwadratowej matrycy N Ze standardu Frobeniusa przez:

${DisplayStyle Mathrm {c} (mathrm {a}) = {frac {1} {n}} cdot | mathrm {a} | cdot | mathrm {a} ^{-1} |}$

Opakowanie odwracalnej macierzy A Zauważono, że w stosunku do podrzędnego standardu

${DisplayStyle || CDOT ||}$

jest zdefiniowany przez formułę:

${DisplayStyle kappa (mathrm {a}) = vert mathrm {a} ^ {- 1} vert, vert mathrm {a} vert}$

.

Jak zakładamy, że standard jest przedmiotem, opakowanie jest większe niż 1:

${DisplayStyle kappa (Mathrm {A}) Geqslant 1.}$

Należy zauważyć, że pusta macierz 0 × 0 jest przeciwna i że jej standard wynosi zero niezależnie od wybranego standardu. Jego opakowanie wynosi zatem 0 zgodnie z tą definicją ^{[[[ 4 ]} . Niektóre jednak zdefiniuj Cond () _{0 × 0} = 1 Ponieważ aplikacja zerowa liniowa ma doskonałą precyzję (a zatem wynik 1), a ta pusta matryca jest tożsamością, wszystkie jednostki mają warunki 1 ^{[[[ 5 ]} .

Dla systemu liniowego A X = B , gdzie dane są matrycą A i wektor drugiego członka B , opakowanie daje terminal względnego błędu popełniony w rozwiązaniu X Kiedy dane A Lub B są zakłócone. Możliwe, że ten terminal jest bardzo duży, dzięki czemu błąd, który mógłby wynikać z niego, czyni rozwiązanie cyfrowe nieproporcjonalnie.

Opakowanie zależy od zastosowanego standardu. Dla standardu kosmicznego ℓ ² , odnotowany ∥⋅∥ ₂ , mamy wtedy:

${DisplayStyle kappa (mathrm {a}) = {frac {sigma _ {max} (mathrm {a})} {sigma _ {min} (mathrm {a})}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Lub A _Max I A _min są maksymalnymi i minimalnymi osobliwymi wartościami A . W konsekwencji :

• I A jest więc normalne
  
  ${DisplayStyle kappa (mathrm {a}) = {pushrm {| lambda _ {max} (} {| lambda} (}}}) | |}}}$

  
  Lub L _Max I L _min to maksymalne i minimalne wartości własne A ;

• I A jest jednocześnie jednolite
  
  ${DisplayStyle kappa (Mathrm {A}) = 1}$

  .

Dla standardu kosmicznego ℓ ^∞ , odnotowany ∥⋅∥ _∞ , jeśli A jest nieględźliwą dolną macierzą trójkątną (to znaczy to znaczy ∀ I W A _ii ≠ 0 ), WIĘC :

${DisplayStyle kappa (mathrm {a}) geqslant {frac {max _ {i} (| a_ {ii} |)} {min _ {i} (| a_ {ii} |)}}.}$

Wzrost błędu wzorce [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W poniższych formułach obliczenia powinny być wykonane z nieskończoną precyzją, to znaczy, że systemy zaburzone są dokładnie rozwiązane.

Rozważamy dwa przypadki, ponieważ jest to drugi członek B lub matryca A co nie jest dokładnie znane.

Przypadek, w którym drugi element zmienia się [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Efektywne obliczenia inwersji systemu A X = B , gdzie macierz A jest dokładnie znany i gdzie wartość drugiego członka B , podobno nie zero, jest zniszczony przez błąd

${DisplayStyle Delta B}$

, spowoduje teoretyczny błąd względny

${DisplayStyle | Delta x |/| x |}$

na rozwiązaniu X Zwiększony przez

${DisplayStyle {frac {ver valta xvern} {verrgs} leqslant heada (pasr {a}) {frho}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

.

Przypadek, w którym macierz zmienia się [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

I na matrycy A ulega modyfikacji

${DisplayStyle Delta Mathrm {A}}$

, istnieje wzrost błędu w stosunku do obliczeń z dokładną macierzą A podane przez

${DisplayStyle {frac {ver valta xven} {vallic}}},} valta} {a} verhic}}}}}}}}}}}}$

.

Przykład słabo uwarunkowanej macierzy [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo macierz

${DisplayStyle Mathrm {A} = {Begin {pmatrix} 7 i 1 oraz 10 \ 2 i 6 oraz 5 oraz 2 \ 8 oraz 11 oraz 3 i 8 \ 6 oraz 9 i 3 i 6 \ end {pmatrix}}}$

W

i wektor

${displayStyle b = {początek {pmatrix} 29 \ 15 \ 30 \ 24 \ end {pmatrix}}}$

.

Rozdzielczość systemu A X = b kobiety

${DisplayStyle x = {początek {pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ end {pmatrix}}}$

.

Jeśli zastąpimy drugiego członka B Drugi zaniepokojony członek

${displayStyle b ‘= b+{start {pmatrix} 0 {,} 1 \ -0 {,} 1 \ 0 {,} 1 \ -0 {,} 1 \ end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} 29 { ,} 1 \ 14 {,} 9 \ 30 {,} 1 \ 23 {,} 9 \ end {pmatrix}}}$

W

rozwiązanie X ‘ odpowiadające będzie

${displayStyle x ‘= mathrm {a} ^{-1} b’Simeq {begin {pmatrix} 6 {,} 222 \ 0 {,} 133 \ 1 {,} 633 \ -3 {,} 256 \ end {pmatrix {pmatrix }}.}$

Względne błędy B I X wynoszą odpowiednio 0,004 i 3,4108, co reprezentuje mnożenie przez około 860 błędu względnego.
Ta liczba ma taką samą kolejność, jak opakowanie matrycy A który wynosi 1425 (opakowanie jest przyjmowane w stosunku do standardu matrycy indukowanego przez standard euklidesowy

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{4}}$

).

Notatka [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]