Symetria rotacji – Wikipedia

W fizyce, Symetria rotacji , Lub Rotacja PAR niezmienności , jest właściwością teorii lub systemu fizycznego, którego nie można zmodyfikować ani przez żaden obrót przestrzenny, albo tylko przez niektóre z nich. Kiedy system jest niezmienna przez dowolną rotację przestrzeni, mówimy o Isotropie (Grecki ISOS (ἴσος, „równy, identyczny”) i tropikalny (τρόπος, „Wieża, kierunek”). W tym przypadku wszystkie przestrzenie przestrzeni są równoważne ^{[[[ Pierwszy ]} . Izotropia przestrzeni leży u źródła zachowania momentu kinetycznego, w zastosowaniu twierdzenia Noether ^{[[[ 2 ]} .

W innych przypadkach niezmienność obrotu jest ważna tylko dla podzbioru obrotów przestrzeni: na przykład tylko wokół pewnej osi (symetria osiowa) i / lub określony kąt (pół TUR, ćwiartka …). Niektóre kierunki przestrzeni są następnie uprzywilejowane, a przestrzeń nie jest już izotropowa: ta sytuacja znajduje się na przykład w kryształach lub w obecności zastosowanego pola zewnętrznego.

W matematyce ta właściwość dotyczy obiektu geometrycznego, ale także do innych obiektów, takich jak operator (na przykład Laplacian z przestrzeni ℝ ³ jest niezmienny przez rotację).

Ogólne definicje rotacji [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Różnica między obrotem (tutaj wokół osi Oz ) przewidziane z punktu widzenia aktywny (po lewej) i bierny (w prawo).

Matematycznie można zidentyfikować punkt M Zwykła przestrzeń ^{[[[ 3 ]} przez współrzędne wektora

W przestrzeni Oxyz .

Początkowo konieczne jest zdefiniowanie osi obrotu, jak zauważył dowolny kierunek przestrzeni (D) , przechodząc przez pochodzenie testu porównawczego i odpowiednio zorientowany w celu zdefiniowania kierunku obrotu. Poniżej orientacja zostanie przyjęta zgodnie z prawą zasadą prawej ręki, takiej jak kąt obrotu, zauważony θ wokół osi, jest dodatni, jeśli znajduje się w bezpośrednim kierunku w dowolnej płaszczyźnie prostopadłowej do osi.

Określony aspekt, możliwe jest przyjęcie dwóch punktów widzenia w celu zdefiniowania obrotu przestrzeni pod kątem θ wokół osi obrotu (D) :

• Przechodzimy do obrotu wokół osi wszystkich punktów, po lokalizacji pozostałej przestrzeni: Zatem punkt M jest transportowany na pozycję M’ , zauważone przez wektor
  ${DisplayStyle Mathbf {x ‘} = (x’, y ‘, z’)}$

  . Ten punkt widzenia jest powiedziany aktywny , ponieważ w przypadku systemu fizycznego jest go obracany.

• lub obrót całego systemu współrzędnych wokół osi, punkt M pozostając na miejscu. W takim przypadku używamy punktu odniesienia „Turn” (R ‘), aby zlokalizować pozycję punktu M : W tym nowym znaku dane kontaktowe
  ${DisplayStyle Mathbf {X} = Mathbf {Om}}$

  stać się

  ${displayStyle (x ‘, y’, z ‘)}$

  . Ten punkt widzenia jest powiedziany bierny , ponieważ w przypadku systemu fizycznego ten pozostaje tam, gdzie był i jest to punkt odniesienia przestrzeni.

Oczywiście istnieje równoważność między dwoma punktami widzenia: łatwo pokazać, że obrót kąta θ w „aktywnym” punkcie widzenia jest równoważny obrotowi kąta -θ w punkcie pasywnego widoku. Poniżej jest to tylko pierwszy punkt widzenia (rotacja systemu, a nie test porównawczy).

Matryca obrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Związek między dwoma wektorami

I

jest formy

, Lub

jest macierzą ortogonalną o wymiarach 3×3 ^{[[[ 4 ]} .

Na przykład w przypadku, że oś obrotu pokrywa się z osą Oz na

.
Łatwo jest sprawdzić, czy operacja obrotu wokół dwóch różnych osi nie jest ogólnie zgodna: to spowoduje fakt, że fakt, że

.
Wszelkie obroty wokół dowolnego kierunku mogą rozłożyć się na kombinację obrotów wokół trzech osi Wół W Sp. z o.o. I Oz .

Oczywiste jest, że przeciwieństwo obrotu kąta θ wokół danej osi jest obrót kąta -θ wokół tej samej osi. W rezultacie każda operacja obrotu wokół osi przyznaje odwrotność. Oczywiste jest również, że obrót kąta zerowego (modulo 2π) niczego nie zmienia.

W związku z tym łatwo zauważyć, że wszystkie obroty kosmiczne stanowią prawo składu rotacji stanowi grupę niekommutacyjną. Jest izomorficzny dla grupy O (3) Prawdziwe macierze ortogonalne wymiarów 3 wyposażone w produkt macierzy. Bardzo często ograniczamy się do obrotów przestrzeni, które nie modyfikują orientacji testu porównawczego, a zatem do macierzy ortogonalnych determinantu +1. Definiują one podgrupę O (3) zwany Grupa ortogonalna , notatka Więc (3) .

Niezmienność przez rotację funkcji lub operatora [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W matematyce obiekt jako funkcja nazywana jest niezmiennym przez obrót, gdy jego wyrażenie jest niezmienne przez dowolną obrót zmiennych. Więc funkcja F dwóch rzeczywistych zmiennych zdefiniowanych przez

jest niezmienne z powodu dowolnego obrotu dowolnego kąta

w planie Xoy .
Rzeczywiście, w przypadku takiej rotacji transformacja współrzędnych (X, y) z dowolnego punktu::

${DisplayStyle {bmatrix} x ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ y ‘\ y ‘\ y’ \ y ‘\ y’ \ nd {bmatrix} cos theta & -sin theta \ sin & cos theta \ end {bmatrix}} {bmatrix} x \ y \ end {bmatrix}}.}.$

Łatwo jest sprawdzić, czy mamy dla każdego punktu

, w konsekwencji funkcja zachowuje dokładnie tę samą formę po dowolnym rotacji współrzędnych w planie ^{[[[ 5 ]} . W Notant R Powiązana macierz obrotu, niezmienność przez obrót spowoduje fakt, że dla dowolnego punktu i dowolnego kąta obrotu

.
Możliwe jest również zdefiniowanie niezmiennych operatorów według rotacji: w tym przypadku, jeśli

Reprezentuj takiego operatora, niezmienność według rotacji spowoduje fakt, że przełącza się na operatora obrotu wokół rozważanej osi

. Przykład jest podany przez operatora Laplacian

, niezmienne przez dowolną rotację przechodzącą przez pochodzenie.

Ciągła lub dyskretna symetria [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W przypadku, gdy obiekt lub system fizyczny jest niezmienny przez dowolną dowolną obrót dowolnego kąta wokół osi, mówimy o ciągłej symetrii. W takim przypadku po prostu mówi się, że system przyznaje się do osi symetrii, bez dalszych szczegółów. W tym przypadku system symetrii systemu zostanie złożony ze wszystkich obrotów wokół tej osi, co łatwo jest zobaczyć, że stanowi podgrupę Więc (3) . Jeśli istnieje taki punkt, że jakakolwiek oś przechodząca przez ten punkt jest osi symetrii, system symetrii systemu będzie Więc (3) cały.

Istnieją również obiekty lub systemy, w których znajdują się tylko symetria wokół osi dla niektórych wartości (implikowana, policzalna) kąta obrotu. Mówi się ten rodzaj symetrii rotacji dyskretny W przeciwieństwie do poprzedniej sprawy. Mówiąc dokładniej, osi symetrii zamówień N jest taki, że system jest niezmienny przez dowolny obrót kąta

, z N Dodatnia liczba całkowita. Przypadek osi Zakonu 1 jest trywialny, ponieważ odpowiada całkowitemu skręcie systemu wokół osi i zawsze jest weryfikowana (nie ma symetrii). Odnotowano taką oś symetrii C _N .
Poniższa tabela podaje przykłady takich osi symetrii dla niektórych obiektów lub liczb.

Matryca obrotu związana z obrotem wokół osi symetrii rzędu N będzie

W (D) podając kierunek osi C _N .

Grupa symetrii systemu fizycznego [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Dla danego systemu fizycznego wykonywanie zapasów symetrii stanowi niezbędny wcześniejszy krok do badania systemu. Obracające się operacje symetrii reprezentują bardzo dużą klasę operacji symetrii z innymi symetrią, takimi jak tłumaczenie w przestrzeni, w czasie lub inwersji.
Wszystkie operacje symetrii danego systemu fizycznego mają strukturę grupy (ogólnie nie do pracy), nazywana Grupa symetrii systemu. Jego determinacja często umożliwia znaczne uproszczenie badania systemu, ponieważ wprowadza on ograniczenia dotyczące na przykład zachowanych wielkości fizycznych.

Aby lepiej określić te pomysły, należy wziąć dwa konkretne przykłady:

• Lub obciążenie elektryczne, wartość Q , umieszczone w wybranym punkcie pochodzenia odniesienia związanego z repozytorium badania, które jest ustalone w tym ostatnim. Obiektem jest określenie kształtu pola elektrycznego utworzonego w przestrzeni przez to obciążenie.

Oczywiste jest, że ten system jest niezmienny dla każdego obrotu przechodzącego przez pochodzenie (symetria sferyczna). Oznacza to również, że pole elektryczne i potencjał elektryczny, z którego wywodzi się, są również niezmienne przez dowolną obrót wokół pochodzenia. Oczywiste jest, że będzie miał dwie konsekwencje. Przede wszystkim pola

${DisplayStyle Mathbf {e} (Mathbf {r})}$

i potencjał elektrostatyczny

${DisplayStyle v (Mathbf {r})}$

będzie zależeć tylko od odległości R Pierwotnie, w przeciwnym razie zależałaby od zmiennych kątowych, które byłyby sprzeczne z niezmiennością przez rotację. Następnie pole elektryczne może być kierowane tylko zgodnie z kierunkiem promieniowym: wreszcie jest w postaci

${DisplayStyle Mathbf {e} (Mathbf {}) = e (r) Mathbf {e} _ {r}}$

. Oczywiste jest, że to badanie znacznie upraszcza rozdzielczość problemu, najpierw umożliwiając wybór dostosowanego układu współrzędnych i ograniczając obliczenia.

• Lub gwintowanie i prostoliniowe drut elektryczny, uważany za nieskończenie długi, w którym krąży prąd trwałego intensywności I . Obiektem jest określenie kształtu pola magnetycznego utworzonego w punkcie poza drutem. W takim przypadku oczywiste jest, że system jest niezmienny przez dowolny obrót wokół osi drutu (symetria osiowa), która stanowi uprzywilejowany kierunek. To zachęca się do umieszczenia w cylindro-biegunowym układzie współrzędnych, a oś biegunowy jest drut.

Z powodu symetrii osiowej pole magnetyczne

${DisplayStyle Mathbf {B} (Mathbf {R})}$

nie będzie zależeć od kąta polarnego. Niezmienność tłumaczenia (wątek uważany za nieskończony) umożliwia również potwierdzenie, że nie będzie to zależne z , w związku z tym jest w formie

${DisplayStyle Mathbf {B} (Mathbf {R}) = Mathbf {B} (Rho)}$

.

Symetria osiowa sugeruje również, że każda płaszczyzna zawierająca drut jest planem symetrii układu, a zatem, ponieważ pole magnetyczne jest wektorem osiowym, planem antysymetrii. Z drugiej strony niezmienność przez tłumaczenie w kierunku drutu oznacza, że ​​każdy plan prostopadły do ​​tego ostatniego jest planem antysymetrii dla systemu (inwersja prądu prądu) ^{[[[ 6 ]} , a zatem plan symetrii dla pola. W rezultacie ta ostatnia jest koniecznie zawarta w planie prostopadłym do drutu I jest prostopadle do dowolnej płaszczyzny zawierającej tę ostatnią. Wreszcie pole magnetyczne utworzone przez drut jest czysto ortoradialne, a zatem formy

${DisplayStyle Mathbf {B} (Mathbf {R}) = B (Rho) Mathbf {eta} _ {theta}}$

.

W tych dwóch przykładach jasne jest, że względy symetrii systemu, w szczególności według rotacji, decydują się znacznie uprościć postawiony problem.

Specjalne przykłady obiektów [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Istnieje nieskończoność obiektów, które są symetryczne przez rotację; Oto tylko najczęstsze.

Notatki i referencje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]