Fonction of Möbius – Wikipedia
Homonimiczne artykuły patrz Moebius.
W matematyce, Funkcja Möbiusa Ogólnie określa określoną funkcję multiplikatywną, zdefiniowaną na ściśle pozytywnych i wartościach w całości {–1, 0, 1}. Interweniuje w formule inwersji Möbiusa.
Jest stosowany w różnych gałęziach matematyki. Widoczne pod kątem elementarnym funkcja Möbiusa umożliwia pewne obliczenia wyliczenia, w szczególności dla badania P -Grupy lub w teorii wykresów. W arytmetyce jest to czasem definiowane jako przeciwieństwo stałej funkcji mnożonej 1, dla operacji splotu DiAdrichlet. Wciąż występuje w badaniu wielomianów cyklotomicznych na ciele racjonalnych liczb. Jego rola jest analogiczna dla ciał gotowych, a zatem funkcja Möbiusa interweniuje w teorii kodów naprawczych. W analitycznej teorii liczb funkcja Möbiusa jest częściej wprowadzana przy użyciu serii Dirichlet. Współpracuje w niektórych demonstracjach związanych z badaniem hipotezy Riemanna na temat liczb pierwszych.
Użycie tej funkcji jest stare: znajduje się w Euler w 1748 r., A nawet w Gauss w jego Zapytanie arytmetyka w 1801 r. Mimo to Möbius po raz pierwszy go systematycznie badał w 1832 r.
Definicja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Z całej reszty artykułu, N wyznacza wszystkie naturalne liczby całkowite i N * Trochę pozytywnych liczb całkowitych. Najczęstsza definicja jest następująca:
Definicja funkcji Möbiusa [[[ Pierwszy ] – Funkcja Möbiusa M jest zdefiniowany N * W {–1, 0, 1}. Obraz μ ( N ) Liczba całkowita N > 0 to:
- 0 i N jest podzielony przez idealny kwadrat inny niż 1;
- 1 i N jest iloczynem liczby odrębnych liczb pierwszych;
- –1 i N jest produktem nieparzystej liczby odrębnych surowych liczb.
Obraz jego pierwszych dwudziestu wartości jest zatem:
N | Pierwszy | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | dziesięć | 11 | dwunasty | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
M ( N ) | Pierwszy | -Pierwszy | -Pierwszy | 0 | -Pierwszy | Pierwszy | -Pierwszy | 0 | 0 | Pierwszy | -Pierwszy | 0 | -Pierwszy | Pierwszy | Pierwszy | 0 | -Pierwszy | 0 | -Pierwszy | 0 |
a wykres jego pierwszych pięćdziesięciu wartości to:
Równoważna definicja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Charakterystyka funkcji Möbiusa [[[ 2 ] – Funkcja Möbiusa jest przeciwieństwem stałej funkcji Pierwszy Dla splotu Dirichleta, to znaczy jedyna funkcja arytmetyczna M na przykład dla każdej całości N > 0 , suma wartości M na wszystkich pozytywnych dzielnicach N jest warte:
I dla wszystkich
Najpierw między nimi,
.
Formuła inwersji Möbiusa [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Druga definicja umożliwia szybkie wykazanie, że dla każdej funkcji arytmetycznej F :
Funkcja arytmetyczna G określony przez
sprawdzony
- .
Podstawowe definicje i właściwości [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Podejście kombinatoryczne umożliwia uogólnienie powyższego badania [[[ 4 ] . Technika polega na badaniu zestawu A Zakończone i częściowo uporządkowane razem, których relacja porządku jest odnotowana ≤. Używamy następującej definicji:
Definicja łańcucha [[[ 5 ] – Być A I B dwa elementy A Jak na przykład A ≤ B . Dla każdej naturalnej całości P , nazywamy długość P łączący A ma B , skończone ( X 0 W X Pierwszy , …, X P ) Jak na przykład :
Zauważamy, że w pozostałej części akapitu C P ( A W B ) liczba łańcuchów długości P ufny A ma B . Kilka nieruchomości jest natychmiast dostępnych. Na przykład, jeśli A jest elementem A W C P ( A W A ) jest wart 1 P = 0 i jest 0 dla P > 0, jeśli jesteś B jest elementem A ściśle większe niż A WIĘC C 0 ( A W B ) = 0 i C Pierwszy ( A W B ) = 1. Bardziej ogólnie, ustalono następujący lemat:
Lemme [[[ 5 ] – I A I B są dwa elementy A Jak na przykład A < B Tak więc dla każdej naturalnej całości P W
Rzeczywiście, każdy łańcuch długości P +1 dołączenie A ma B składa się z łańcucha długości P ufny A ma C i łączenie łańcucha o długości 1 C ma B , który pokazuje pierwszą równość. Drugi jest w ten sam sposób.
Gian-Carlo Rota definiuje nowy Funkcja Möbiusa , że zauważa μ A i które zobaczymy, że uogólnia μ:
Definicja G.-C. Rota funkcji Möbiusa μ A – Funkcja Möbiusa μ A , z całymi wartościami, jest zdefiniowane A × A o :
Innymi słowy, łączą się pozytywnie wszystkie pary A ma B i negatywnie te o nieczystej długości. Zauważamy więcej, że te definicje pozostają ważne, jeśli A jest nieskończony, pod warunkiem, że istnieje tylko skończona liczba elementów A I B (Mówimy wtedy, że zamówienie jest zakończone lokalnie (W) ). Lemat umożliwia wykazanie następującego analogu charakterystyki μ:
Charakterystyka μ A [[[ 6 ] – Być A I B dwa elementy A Jak na przykład A < B :
Produkt DiAdrichlet Condolution jest uogólniony, co pozwala na powiązanie z dowolnym lokalnym zamówieniem A jego algebra występowania (W) , a powyższy wynik jest następnie przeformułowany przez interpretację μ A jako odwrotność tego jednolitego pierścienia.
Ten wynik umożliwia również pokazanie wzoru inwersji dla μ A .
Związek między definicją Möbiusa a definicją Rota [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Tutaj całość A określa te ściśle pozytywne liczby całkowite z relacją zamówienia: A ≤ B Kiedy A jest dzielnikiem B .
To kolejność jest lokalnie wykończona, a po zastosowaniu do niego charakterystyka μ A Z 1 jako pierwsza zmienna znajdujemy charakterystykę μ.
Zauważamy również, że jeśli A mundur B , aplikacja ma łańcuch ( X Pierwszy W X Pierwszy , …, X P ) skojarz łańcuch (1, X 2 / X Pierwszy , …, X P / X Pierwszy ) stanowi bitkę między wszystkimi łańcuchami długości P ufny A ma B i osoby łączące 1 z B / A .
Dlatego wywnioskowamy:
Związek między definicjami funkcji Möbiusa [[[ 7 ] – W dwóch ściśle pozytywnych liczb całkowitych A I B Jak na przykład A mundur B La Fonction μ w poniedziałek i Celle μ A de Rota są połączone przez:
Za pośrednictwem tego łącza klasyczny wzór inwersji dla μ może być postrzegany jako szczególny przypadek tego dla μ A .
Dla dowolnej liczby złożonych S prawdziwa część ściśle większa niż 1,
- W
Lub
jest funkcją Zêta Riemanna.
Funkcja Mertens
jest zdefiniowany przez
.
Twierdzenie o liczbie głównej jest równoważne [[[ 8 ] ma
i w
. Bardziej skomplikowana wersja twierdzenia o liczbie pierwszej (z wyraźną oceną terminu) została użyta w 1899 r. Przez Edmund Landau [[[ 9 ] zademonstrować:
.
- G. Villemin, ‘ Funkcja Möbiusa » , NA Liczby: ciekawostki – teoria – Używanie .
- Françoise Badiou ” Formuła inwersji Möbiusa », Seminarium Delange-Pisot-Poitou Teoria liczb W tom. 2, Exp. 1, W P. 2-3 ( Czytaj online [PDF] ) .
- Kolejny dowód, patrz Badiou 1960, P. 2-3 lub .
- (W) G.-C. Rota, « Na podstawach teorii kombinatorycznej i: teoria funkcji Möbiusa », Z. Teoria prawdopodobieństwa u. Verw. Obszary , tom. 2, 1963, s. 1 340-368.
- Irem de Marsylia W Kursy i działania w arytmetyce dla klas końcowych ( Czytaj online ) W P. 75 .
- Irem-Marseille, P. 76.
- Irem-Marseille, P. 80.
- Patrz na przykład G. tenenbaum, Wprowadzenie do analitycznej i probabilistycznej teorii liczb W [Szczegóły wydań] , SMF, Coll. „Specjalistyczne kursy”, Paris, 1995, I.3.6, lub (W) Tom M. Apostol, Wprowadzenie do teorii liczb analitycznych , Springer, , 340 P. (ISBN 978-0-387-90163-3 W Czytaj online ) W th. 4.15 i 4.16.
- (z) E. Landau, Podręcznik nauczania z dystrybucji liczb pierwszych W ( Czytaj online ) W P. 569 .
(W) Eric W. Pointerstein, ‘ Funkcja Möbiusa » , NA Mathworld
Recent Comments