Twierdzenie o przekątności – Wikipedia
Z Wikipedii, Liberade Libera.
W algebrze liniowej, Twierdzenie o przekątności Jest to narzędzie, które zapewnia niezbędny i wystarczający stan, aby kwadratowa matryca może być przekątna.
Jest
kwadratowa macierz rzędu
z wartościami w polu
(jak pole liczby rzeczywistych lub złożonych). Charakterystyczny wielomian
Jest to wielomian klasy N zdefiniowany w następujący sposób:
Korzenie
Z
należący do pola
są samozadowoleniami
. [Pierwszy] Każdy autoalor
Ma swoją mnogość jako źródło charakterystycznego wielomianu, zwanego wielokrotnością algebraiczną. [2] Mówi się, że samowystarczalność z algebraiczną mnogością 1 jest prosta.
L’Autospace
odnoszące się do ładunku
Jest to zestaw wszystkich autoverers z
Jako wartość siebie, plus null nośnik: [3]
Geometryczna mnogość (lub nieważność)
Wymiar autoprzestrze
względne
. Mówi się, że samoocena, dla której równość jest warta między dwiema mnogością (algebraiczną i geometryczną), jest regularna.
Oświadczenie [[[ zmiana |. Modifica Wikitesto ]
Twierdzenie o przekątności stwierdza
Można go przelewać, jeśli i tylko wtedy, gdy oba następujące warunki zostaną weryfikowane:
- Suma algebraicznych multipliczności jego samozadowoleń jest .
- Zbieżne są algebraiczne i geometryczne mnożniki każdej samooceny.
Lub równoważnie, to
Można go przekąsić, jeśli i tylko wtedy, gdy suma geometrycznych multipliczności jego samozadowoleń jest
.
Demonstracja [[[ zmiana |. Modifica Wikitesto ]
Przed przystąpieniem do demonstracji musisz wykonać przesłankę: pojazdy są nosicielem non -null, dla którego endomorfizm
(Gdzie
Jest to przestrzeń wektorowa) wysyła przewoźnika w ilocie tego przewoźnika dla skalarnego. Ta wspinaczka nazywa się własną wartością. Każdy endomorfizm może być powiązany, po ustawieniu podstawy, do jednej macierzy zwanej macierzy powiązanej. Ta macierz jest przekątna, jeśli istnieje podstawa
składający się z autoversji samowystarczalności.
Rozważ endomorfizm
, dzieci
, powiązana macierz
i Undernospace
Gdzie
Jest to samokilanie generowane przez
kto jest samozadowoleniem matrycy
. Każda z tych samozadowoleń jest odrębna, a zatem przecięcie par autospazi jest nośnikiem zerowym.
Nie
Jeśli i tylko wtedy, gdy macierz
Można go przekąsić. Ta równość jest w rzeczywistości równoważna istnienia podstawy własnej pozycji.
Musimy wykazać, że ta równość występuje, jeśli i tylko wtedy, gdy wystąpią warunki twierdzenia o przekątności.
Rozważamy następujące DisupualNaza:
Gdzie
To jest
Są odpowiednio algebraiczną i geometryczną mnogością ładunku
. Wyraźnie
Jeśli i tylko wtedy, gdy obie nierówności są jednoznaczne. Suma multipliczności algebraicznej jest równa sumie mnożności geometrycznej, jeśli i tylko wtedy
, dla każdego
. Suma wielopłaszczych algebraicznych jest równa
Jeśli i tylko wtedy, gdy ma charakterystyczny wielomian
Korzenie w terenie liczyły się z ich mnogością.
Pierwszy punkt twierdzenia implikuje, że charakterystyczny wielomian ma wszystkie korzenie w terenie, to znaczy, że można go stworzyć jako produkt wielopisu klasy 1. Ponadto, zwany, zwany
To jest
odpowiednio algebraiczna i geometryczna mnogość samego poziomu
, następujące nierówności są ważne dla każdej samowystarczalności:
W związku z tym twierdzenie o przekątności ma następujące fakty jako następstwo:
Sprawdzamy, czy następująca matryca nie jest przekątna:
Jego charakterystyczny wielomian
ma tylko jeden korzeń (czyli 1 od tego czasu
), z algebraiczną wielokrotnością 2. Zatem pierwszy punkt twierdzenia jest zadowolony. W tym momencie geometryczna mnogość autovalore 1 może wynosić tylko 1 lub 2. Jest to tak samo jak wielkość jądra
Na matrycy
Ma zatem rangę, dlatego dla twierdzenia o randze jego jądro ma rozmiar
Tak więc geometryczna mnogość wynosi 1, algebraiczna wynosi 2, dlatego matryca nie jest przekątna.
- ^ Just, s. 228 .
- ^ Just, s. 230 .
- ^ Z definicji pojazd zawsze różni się od zera. Z tego powodu nośnik zerowy jest dodawany do definicji Autospace.
- United.it – Diagonalizacja ( PDF ), Czy www2.dm.unito.it . URL skonsultowano się z 12 lutego 2014 r. (Zarchiwizowane przez Oryginał URL 22 lutego 2014) .
Recent Comments