Wszechświat (logika) – Wikipedia

W matematyce, a zwłaszcza w zestawach teoretycznych oraz w logice matematycznej, a wszechświat jest zestawem (lub czasem czysty), mając jako elementy wszystkie obiekty, które chcemy rozważyć w danym kontekście.

Podstawowa teoria zestawów i prawdopodobieństw [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W wielu podstawowych zastosowaniach teorii zestawu faktycznie umieszczamy się w ogólnej całości W (Czasami nazywany Wszechświat referencyjny ), a jedynymi rozważanymi zestawami są elementy i podzbiory W ; To właśnie ten punkt widzenia skłoniła Cantora do rozwinięcia jego teorii, która zaczyna W = R , wszystkie liczby rzeczywiste. Umożliwia to uproszczenia (na przykład pojęcie uzupełniającego zestawu można zrobić „bezwzględne”, definiując domyślnie komplementarne A Jak zestaw X z W nie należące do A ; Podobnie, podobnie jak zjednoczenie pustej rodziny, jest pusty zespół, możemy zdefiniować przecięcie pustej rodziny jako istoty W całkowicie) i dobrze nadaje się do wszystkich zwykłych działań matematyków: badanie topologii R na przykład nie można zrobić w W = R , ale wystarczy zmienić wszechświaty, biorąc W W tym przypadku wszystkie części R . Ten punkt widzenia został usystematyzowany przez N. bourbaki w jego opisie struktur matematycznych ^{[[[ Pierwszy ]} .

Jest to również ten punkt widzenia, który został przyjęty w większości podstawowych modeli teorii prawdopodobieństw: interesuje nas całość (zwana wszechświatem), na której zdefiniowano miarę, a wszystkie jej podzbiory (mierzalne), zwane zdarzeniami.

Aksjomatyczna teoria zestawów i teoria modeli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Z aksjomatycznego punktu widzenia można mówić o „wszechświecie” w dwóch odrębnych zmysłach:

• Z jednej strony możemy rozważyć klasę (czystą) wszystkich zestawów ^{[[[ 2 ]} lub ograniczenie tego ostatniego dla zestawów uznanych za interesujące. To na przykład, wszechświat von Neumann jest zbudowany W Zestawy skumulowanej hierarchii lub wszechświata L Zestawy konstrukcyjne, zdefiniowane przez Gödela.
• Z drugiej strony możemy ograniczyć tę konstrukcję do „dość dużego” zestawu. Na przykład, jeśli α jest wystarczająco dużym porządkiem, całość
  ${DisplayStyle v_ {alpha}}$

  Uzyskane w budowie von Neumann będą zawierać w praktyce wszystkie obiekty, których „zwykły” matematyk może potrzebować. W tym sensie często mówimy teoretycznie modele wszechświata W Aby wyznaczyć zestaw, który jest modelem rozważanej teorii (najczęściej ZFC), to znaczy, że jego elementy (i związek przynależności między nimi) sprawdzają wszystkie aksjomaty teorii. Niemniej jednak od Gödel, że istnienia takiego modelu nie można wykazać w ZFC ^{[[[ 3 ]} . Poprzednia konstrukcja wymaga zatem na przykład α porządkowego porządkowego, że jego istnienie nie można udowodnić w ZFC. Mówi się, że taki porządek jest niedostępny.

Niekoniecznie chcąc przejść do wszystkich poprzednich szczegółów technicznych, niektóre dyscypliny, takie jak teoria kategorii, muszą być w stanie rozważyć jako całą klasę wszystkich przedmiotów, które badają ^{[[[ 4 ]} . Grothendieck zaproponował dodanie nowego aksjomatu do ZFC, Aksjomat wszechświatów , który postuluje, że wszyscy razem należy do Univers de Grothendieck , to znaczy stabilnemu zestawowi dla zwykłych operacji określonych przez aksjomaty ZFC, Unii i całej strony. Ten aksjomat (który jest ściśle powiązany z pojęciem niedostępnego kardynała) wówczas pozwala w praktyce budować małe kategorie (kategorie, których elementy, obiekty i strzałki, zestawy formularzy) zawierające wszystkie obiekty, które mogą być potrzebne: jeśli może być potrzebne: jeśli może być potrzebne: jeśli można potrzebować: jeśli W jest wszechświatem Grothendieck, kategorii elementów grup W jest małą kategorią, która ma zasadniczo te same właściwości jak kategoria wszystkich grup, która jest czystą klasą.