Prawdziwe ciało zamknięte – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

W matematyce, a Prawdziwe ciało zamknięte jest całkowicie uporządkowanym korpusem, z którego żadne czyste przedłużenie algebraiczne nie jest całkowicie uporządkowane [[[ Pierwszy ] .

after-content-x4

Następujące ciała są naprawdę zamknięte:

Corging do pracy F jest prawdziwy zamknięty (zgodnie z definicją wprowadzenia) i tylko wtedy, gdy sprawdzi jedną z następujących równoważnych właściwości [[[ 2 ] :

  1. F jest euklidowskim [[[ 3 ] i każdy nieparzysty wielomian do współczynników F przyznaje co najmniej jeden korzeń w F ;
  2. –1 nie jest kwadratem F I F ( √ -Pierwszy ) jest algebraicznie zamknięty;
  3. ogrodzenie algebraiczne F to czyste skończone przedłużenie F ;
  4. Jest zamówienie F dla którego twierdzenie o wartościach pośrednich jest prawdziwe dla dowolnego wielomianu F .

Demonstracja zaangażowania 1 ⇒ 2 (przydzielona przez Nicolasa Bourbaki do Eulera i Lagrange [[[ 4 ] ) jest podany w artykule poświęconym twierdzeniu Arelemberta-Gaussa.

Emil Artin It Otto ekran jeden Douront Demong A 1927 [[[ 5 ] że dla każdego całkowicie zamówionego ciała K , istnieje prawdziwe zamknięte -algebraiczne ciało K i którego porządek rozszerza porządek K . To rozszerzenie, unikalne dla izomorfizmu, nazywa się Prawdziwe ogrodzenie z K .

Na przykład „prawdziwe zamknięcie ℚ to ciało ℝ∩ ℚ Rzeczyści algebraiczne, zgodnie z charakterystyką 2 powyżej. Możemy zauważyć [[[ 6 ] że zgodnie z charakterystyką 3 jest to „jedyne” rozszerzenie algebraiczne ℚ, którego „zamykanie algebraiczne” ℚ jest czystym skończonym rozszerzeniem.

Ponadto, dla każdego „prawdziwego” sub-ciała (to znaczy całkowicie możliwe

after-content-x4
L {displayStyle l}

, istnieje pośrednie pod-ciała

F {DisplayStyle f}

naprawdę zamknięte tak, że

L = F ( – Pierwszy ) {displayStyle l = f ({sqrt {-1}})}

[[[ 7 ] .

Teoria rzeczywistych ciał zamkniętej jest teorią pierwszego rzędu, którego symbole nielogowymi są stałe 0 i 1, operacje arytmetyczne +, × i relacja ≤; Formuły są zbudowane z formuł atomowych przez złącza ⋀, ⋁, ⇒ i kwantyfikatory ∀, ∃; Aksjomaty to te, które wyrażają, że struktura jest dokładnie prawdziwym ciałem zamkniętym.

Teoria ta przyznaje eliminację kwantyfikatorów, to znaczy, że z formuły z kwantyfikatorem jest znalezienie wzoru bez kwantyfikatorów, z tymi samymi swobodnymi i równoważnymi zmiennymi (jest to, że logiczna równoważność tych dwóch wzory, które przed eliminacją i po eliminacji wywnioskowane są z aksjomatów). Istnieją algorytmy, które wdrażają tę eliminację. Pierwszy z powodu Alfreda Tarskiego [[[ 8 ] , ma nieelementarną złożoność, to znaczy, która nie jest ograniczona przez wieżę wykładniczą

2 2…n{DisplayStyle 2^{2^{dots^{n}}}}

, a zatem ma głównie historyczne zainteresowanie, ale daje przykład nietrivalnej teorii aksjomatycznej, która nie sprawdza pierwszego twierdzenia o niekompletności Gödela.

James Davenport i Joos Heintz pokazali w 1988 roku, że problem jest wewnętrznie złożony: istnieje rodzina φ N formuły z N kwantyfikatory, długość NA) i stały stopień, taki jak każdy wzór bez kwantyfikatora równoważnego φ N musi wdrożyć wielomiany stopnia

2 2Ω(n){DisplayStyle 2^{2^{omega (n)}}}

i długość

2 2Ω(n){DisplayStyle 2^{2^{omega (n)}}}

, z asymptotycznymi zapisami o i ω.

Oprogramowanie i funkcja QEPCAD Zmniejszyć Matematyczny 5 [[[ 9 ] ,

Ze względu na istnienie algorytmów eliminacji kwantyfikatora teoria zamkniętych rzeczywistych ciał jest rozstrzygalna: z dowolnego wzoru zamkniętego możemy uzyskać algorytmie równoważną formułę bez kwantyfikatorów lub zmiennych swobodnych, a zatem łatwo do podziękowania.

Inną konsekwencją eliminacji kwantyfikatorów (niezależnie od faktu, że jest to możliwe do osiągnięcia algorytmicznie) jest to, że teoria ta jest kompletna, więc każde prawdziwe ciało zamknięte ma tę samą teorię pierwszego rzędu co ℝ.

Multiplikatywna grupa każdego naprawdę zamkniętego ciała

F {DisplayStyle f}

jest bezpośrednią sumą podgrupy

{ ± Pierwszy } {DisplayStyle {pm 1}}

i izomorficzne podgrupy na

Q {DisplayStyle Mathbb {q}}

:

F ∗ ≃ Z / 2 Z ⊕ Q ( |F |) {DisplayStyle f ^{*} simeq mathbb {z} /2mathbb {z} oplus mathbb {q} ^{(| f |)}}

[[[ dziesięć ] . Rzeczywiście, 1 i –1 są jedynymi elementami skrętnymi ( tj. korzenie jednostki) i podgrupa elementów dodatnich (kwadraty) jest podzielna.

I odwrotnie, dla każdego nieskończonego kardynała

K {DisplayStyle kappa}

, istnieje prawdziwe zamknięte ciało, którego grupa multiplikatywna jest izomorficzna

Z / 2 Z ⊕ Q ( K ) {DisplayStyle Mathbb {Z} /2mathbb {Z} Oplus Mathbb {Q} ^{(kappa)}}

[[[ dziesięć ] . Rzeczywiście, istnieje algebraicznie zamknięte ciało o charakterystycznym 0 i kardynała K , I ( Widzieć powyżej ) Takie ciało ma prawdziwe zamknięte podpowiedź tego samego kardynała.

  1. ↑ (W) T. Y. Niebieski W Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , Ams, , 550 P. (ISBN 978-0-8218-1095-8 W Czytaj online ) W P. 236 .
  2. ↑ Równoważność między definicją wprowadzenia a charakterystykami 1 i 2 jest klasyczna: patrz na przykład Lam 2005, P. 240-242. Równoważność między 1 a 4 pokazano w (W) H. Salzmann , T. Gospodarstwo rolne , H. Ostrożność i R. Lew W Klasyczne pola: cechy strukturalne prawdziwych i racjonalnych liczb , Cambridge, Cup, coll. «Encyklopedia matematyki i jej zastosowań» ( N O 112), , 401 P. (ISBN 978-0-521-86516-6 W Czytaj online ) W P. 127-128 . Zaangażowanie 2 ⇒ 3 jest natychmiastowe. Jego wzajemność pokazano w (W) Keith Conrad W ‘ Twierdzenie o ekranie artystycznym » .
  3. ↑ TJ. : F Może być dostarczone z zamówieniem (w tym sensie: całkowite zamówienie i kompatybilne z operacjami), dla którego każdy element dodatni jest kwadratem. Na ciele euklidesowym istnieje tylko jedno zamówienie (w poprzednim sensie).
  4. ↑ N. Bourbaki, Algebra , rozdz. 6 (uporządkowane grupy i ciała), twierdzenie 3 str. 25.
  5. ↑ (z) E. Artin It O. Shouts, ‘ Algebraiczna konstrukcja prawdziwych ciał » W Hamb. Abh. W tom. 5, W P. 85-99 W francuskie tłumaczenie przez grupę roboczą: „do źródeł prawdziwej geometrii algebry” Irmar
  6. ↑ (W) Serge Lang W Algebra W [Szczegóły wydań] W P. 278-279 Lub P. 457 edycji 2002 W Przykład .
  7. ↑ Artin It’s Signs 1927, Théeèn 7.
  8. ↑ Alfred Tarski, Metoda decyzyjna dla algebry elementarnej i geometrii , University of California Press, 1951; wznowiony w Eliminacja kwantyfikatora i cylindryczne rozkład algebraiczny Wspomniany w bibliografii
  9. ↑ Matematyka dokumentacja dla Zmniejszyć W Co nowego w Mathematica 5: Zmniejszyć
  10. ↑ A et b (W) Gregory Karpilovsky, Teoria pola: klasyczne fundamenty i grupy multiplikatywne , CRC Press, ( Czytaj online ) W P. 469-470 .
  • (W) Saugata Basu, Richard Pollac et Marie-Françoise Roy, Algorytmy w prawdziwej geometrii algebraicznej , Berlin/New York, Springer, coll. «Algorytmy i obliczenia w matematyce» ( N O dziesięć), , 662 P. (ISBN 978-3-540-33099-8 W Czytaj online )
  • (W) Bob F. Caviness i Jeremy R. Johnson, wydawcy, Eliminacja kwantyfikatora i cylindryczne rozkład algebraiczny , Springer, 1998 (ISBN 978-3-7091-9459-1 )
  • (W) Chen Chung Chang et Howard Jerome Keisler, Teoria modelu , Elsevier, 3 To jest Ed., 1990 (ISBN 978-0-444-88054-3 )
  • (W) Harold Garth Dales i W. Hugh Wood, Pola super-real , Clarendon Press, 1996 (ISBN 978-0-19853991-9 )
  • (W) Bhubaneswar Mishra (W) W «Realna geometria algebraiczna obliczeniowa» , W Podręcznik geometrii dyskretnej i obliczeniowej , CRC Press, ( [PDF] Lub P. 743-764 wydania 2004 NA książki Google )

after-content-x4