Mission Di Lebesgue – Wikipedia

W matematyce, Pomiar Lebesgue Jest to rozmiar zwykle stosowany do podzbiorów przestrzeni wielkości euklidesowej N . Jest to pełna pozytywna miara, która stanowi uogólnienie podstawowych pojęć obszaru i objętości podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Zestawy, które można przypisać do pomiaru lebesgue, są wywoływane Mierzalne według Lebesgue O Lebesgue-Misuratable .

Jest to powszechnie stosowana miara w analizie matematycznej i ma szczególne znaczenie w definiowaniu całki Lebesgue. Jeśli weźmiesz wybrany aksjomat, nie wszystkie zestawy

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

Są one-lebesgue-misuratable, a klasycznym przykładem niechcianej całości jest zestaw Vitali. Zachowanie niezmienionych zestawów powoduje takie wyniki, jak paradoks Banach-Tarskiego, co jest również konsekwencją wybranego aksjomatu.

Henri Lebesgue opisał swoją miarę w 1901 r., Po następnym roku opisem zintegrowanego Lebesgue. Oba zostały opublikowane w ramach jego rozprawy w 1902 roku.

Aby zdefiniować miarę Lebesgue, konieczne jest wprowadzenie określonej klasy zestawów podstawowych. Czy:

${DisplayStyle A = (A_ {1}, DOTS, A_ {K}) Qquad B = (B_ {1}, DOTS, B_ {K})}}$

dwóch przewoźników w

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

dziecko

${DisplayStyle A_ {i}$

dla każdego

${DisplayStyle i = 1, Dots, k}$

.

Zestaw typu:

${DisplayStyle w = {(x_ {1}, kropki, x_ {k}) w Mathbb {r} ^{k} | quad a_ {i}$

i powiedział

${DisplayStyle K}$

-komórka . ^[Pierwszy]

Liczba komórki jest definiowana jako liczba:

${DisplayStyle {mbox {vol}} (w) = sod _ {i = 1}^{k} (b_ {i} -a_ {i})}$

Pokazano, że istnieje pełny pozytywny pomiar

${DisplayStyle M}$

definiuje swoją sigma-algebrę

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

W

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

tak, że: ^[2]

${DisplayStyle {Mbox {vol}} (w) = m (w)}$

dla każdego

${DisplayStyle K}$

-komórka

${displaystyle W}$

.

${DisplayStyle Bsubset esubset aqquad m (a-b) leq varepsilon}$

To też to następuje

${DisplayStyle M}$

To jest regularne. Mówi się również, bardziej syntetycznie, że

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

zawiera wszystkie zestawy Borela

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

.

• Pomiar
  ${DisplayStyle M}$

  jest niezmienny do tłumaczenia lub:

${DisplayStyle m (e+x) = m (e)}$

dla każdej całości

${DisplayStyle e}$

Z

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

i dla każdego

${DisplayStyle x}$

Z

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

.

• Z
  ${DisplayStyle Mu}$

  Jest to miara niezmiennego boru do tłumaczenia na

  ${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

  I takie, że:

${DisplayStyle Mu (k)$

Dla każdej kompaktowej całości

${DisplayStyle K}$

(W tym przypadku mówi się o tym

${DisplayStyle Mu}$

I W radonie O Radon ), to jest stała

${DisplayStyle C}$

tak, że:

$M SSPR$

Dla każdego zestawu bola

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

.

Elementy

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

nazywają się Zestawy Lebesgue , pomiar

${DisplayStyle M}$

Nazywa się Lebsegue w

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{k}}$

. ^[2]

W konkretnym przypadku, w którym

${DisplayStyle k = 1}$

W

${DisplayStyle i = [a, b]}$

To jest

${DisplayStyle Fin l^{1} (i)}$

Jest ciągły, a następnie całka pełnej długości Riemanna:

${DisplayStyle int _ {a}^{b} f (x) dx}$

i lebesgue pełna długość:

${DisplayStyle int _ {i} fdmu}$

Zbieżą. ^[3]

Środek Lebesgue ma następujące właściwości:

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  Jest to kartezjański produkt interwałów form

  ${DisplayStyle i_ {1} cdot i_ {2} cdot dots cdot i_ {n}}$

  , W tym czasie

  ${DisplayStyle A}$

  Jest to Lebesgue-Misuratable i

  ${DisplayStyle m (a) = | i_ {1} | cdot | i_ {2} | cdot dots cdot | i_ {n} |}$

  , Gdzie

  ${DisplayStyle | i_ {i} |}$

  Wskazuje długość interwału I-TH.

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  Jest to nieprzekroczony związek skończonej lub liczbowej liczby rozłączonych zestawów Lebesgue-Misuratable

  ${DisplayStyle A}$

  Jest to Lebesgue-Misuratable i

  ${DisplayStyle m (a)}$

  Jest to równe sumie (lub serii) miar wymiernych zestawów.

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  Jest lebesgue-misuratable, a następnie jego uzupełnienie jest również.

• 
  ${DisplayStyle M (A) Geq 0}$

  Dla każdego całego Lebesgue-Misuratable

  ${DisplayStyle A}$

  .

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  To jest

  ${DisplayStyle B}$

  Są lebesgue-misuratable i

  ${DisplayStyle A}$

  jest podzbiorem

  ${DisplayStyle B}$

  , W tym czasie

  ${DisplayStyle m (a) Leq m (b)}$

  , w wyniku drugiego, trzeciego i czwartego punktu.

• Liczbowane związki i przecięcia zestawów Lebesgue-Misurat, które są w wyniku drugiego i trzeciego punktu.
• Z
  ${DisplayStyle A}$

  jest to otwarty lub zamknięty podzbiór

  ${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

  (Patrz przestrzeń metryczna), wtedy

  ${DisplayStyle A}$

  Jest to-mistelny.

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  To jest misralny zestaw Lebesgue

  ${DisplayStyle m (a) = 0}$

  lub zbiór nic nie

  ${DisplayStyle A}$

  Nic nie jest zbiorem miary.

• Z
  ${DisplayStyle A}$

  Jest to Lebesgue-Misuratable i

  ${DisplayStyle proszę Mathbb {r} ^{n}}}$

  a później tłumaczenie

  ${DisplayStyle A}$

  Poprzez

  ${DisplayStyle x}$

  , określony przez

  ${DisplayStyle A+x = {a+x: ain a}}$

  jest mistetyczny Lebesgue i ma ten sam rozmiar jak

  ${DisplayStyle A}$

  .

Wszystkie wyżej wymienione stwierdzenia można podsumować, mówiąc, że pomiary mierzalne według Lebesgue tworzą σ-algebrę zawierającą wszystkie produkty przedziałów, E

${DisplayStyle M}$

Jest to jedyna niezmienna miara tłumaczeń i kompletna na tej sigma-algebrze z

${DisplayStyle M ([0,1] CDOT [0,1] CDOT DOTS CDOT [0,1]) = 1}$

. Środek według Lebesgue ma również własność Sigma-Finita, tj. Możliwe jest pokrycie całej przestrzeni za pomocą liczebnego połączenia pomiaru pomiaru zakończonych Lebesgue.

Podzbiór

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

Jest to zestaw miary, jeśli dla każdego

${DisplayStyle varepsilon> 0}$

${DisplayStyle n}$

odstępy, których całkowita objętość jest co najwyżej

${displayStyle varepsilon}$

. Wszystkie liczby są rozstrzygnięciem niczego, a także zestawów

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

którego rozmiar jest mniejszy niż

${DisplayStyle n}$

, na przykład opłaty lub obwody w

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{2}}$

.

Pokazać to razem

${DisplayStyle A}$

Według Lebesgue można go mierzyć, ogólnie staramy się znaleźć zestaw „przyjemniejszy”

${DisplayStyle B}$

co różni się od

${DisplayStyle A}$

tylko dla zestawu miary niczego (w tym sensie, że różnica symetryczna

${DisplayStyle (A-B) CUP (B-A)}$

jest to zbiór miary niczego) i dlatego pokazuj to

${DisplayStyle B}$

Można go generować przy użyciu związków i liczby zestawów otwartych lub zamkniętych.

Nowoczesna konstrukcja miary lebnesgijskiej, oparta na środkach zewnętrznych, wynika z Carathéodory. Dla każdego podzbioru

${DisplayStyle A}$

Z

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

Można go zdefiniować:

${DisplayStyle m^{*} (a) = inf {operatorname {vol} (m): msupseteq a}}$

Gdzie

${DisplayStyle M}$

Jest to zdrętowny związek produktów interwałowych e

${DisplayStyle operatorname {vol} (m)}$

Jest to suma produktów długości zaangażowanych przedziałów. Można to wykazać

${DisplayStyle M^{*}}$

Jest to miara zewnętrzna. Dlatego całość jest zdefiniowana

${DisplayStyle A}$

Mierzalne według Lebesgue, jeśli:

${DisplayStyle M^{*} (b) = m^{*} (ACAP b)+m^{*} (b-a)}$

Dla wszystkich zestawów

${DisplayStyle B}$

. W przypadku twierdzenia karatodorycznego te misralne zestawy Lebesgue tworzą σ-algebra, a miara lebesgue jest zdefiniowana przez

${DisplayStyle m (a) = m^{*} (a)}$

Dla każdego całego Lebesgue-Misuratable

${DisplayStyle A}$

.

Zgodnie z twierdzeniem Vitali, jeśli aksjomat wyboru zostanie przyjęty, istnieje podzbiór liczb rzeczywistych

${DisplayStyle Mathbb {r}}$

Który nie jest-mistetyczny. Jeśli nie, nie ma przykładów podzbiorów

${DisplayStyle Mathbb {r}}$

Nie Lebesgue-Misisteral.

Miara Borela pokrywa się z miarą Lebesgue na zestawach, dla których jest zdefiniowany; Istnieje jednak o wiele więcej zestawów wielkości lebesgijskiej wielkości, które ustanawiają Bor-Mi-Sigable. Środek Bego jest niezmienny dla tłumaczeń, ale nie jest kompletna.

Miara Haara można zdefiniować w każdej lokalnie kompaktowej grupie i jest uogólnieniem miary Lebesgue (w rzeczywistości

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

Z dodatkiem jest to grupa lokalnie kompaktowa).

Pomiar Hausdorffa (patrz także rozmiar Hausdorff) jest uogólnieniem miary Lebesgue przydatnej do pomiaru zestawów

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

mniejszy

${DisplayStyle n}$

, takie jak bielizna, na przykład powierzchnie lub krzywe

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{3}}$

i zestawy fraktalne.

• ( W ) Walter Rudin, Prawdziwa i złożona analiza , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• ( W ) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Analiza prawdziwej i abstrakcyjnej , Springer (1965.)

• ( W ) Pomiar Lebesgue . Czy Brytyjska encyklopedia Encyclopaedia Britannica, Inc.
• ( W ) Eric W. Failses, Pomiar Lebesgue . Czy Mathworld , Wolfram Research.
• ( W ) V.V. Sazonov, Miara Lebesgue , W Encyklopedia matematyki , Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Paolo kupił, Lebnesgian teoria pomiaru ( PDF ), Czy DM.Unipi.it , 29 listopada 2011 r. URL skonsultowano się z 25 stycznia 2012 r. .