Algebra Insemi – Wikipedia

W matematyce jeden ‘ Algebra zestawów (lub dłużej jeden algebra ) na całości

${DisplayStyle Omega}$

, to rodzina podzbiorów

${DisplayStyle Omega}$

kto ma właściwości zamknięcie W porównaniu z niektórymi operacją ustawień, w szczególności działanie gotowego związku i przejście na komplementarne. Struktura algebry zestawów jest szczególnie przydatna w teorii pomiaru i prawdopodobieństwa, i jest podstawą wszystkich pojęć pomiaru, zarówno zestawów, jak i funkcji. Jest również stosowany w teorii reprezentacji w Algebra Booleana.

Euristycznie moglibyśmy powiedzieć, że pojęcie algebry zestawów (i pojęcia σ-algebry) mierzy się, na przykład pojęcie topologii, jest polegającą na ciągłości. I w rzeczywistości niezwykłe jest, że obie te struktury mogą się budować, dając proste warunki stabilności w celu ustalania operacji.

Pojęcie algebry zestawów zostało wprowadzone na początku XX wieku. Obecnie, w teorii miary, koncepcja σ-algebry stała się znacznie bardziej stosowana niż algebra. Jednak nie brakowało wpływowych matematyków, takich jak Bruno de Finetti, którzy próbowali nadać strukturę algebry centralną rolę w teorii pomiaru, tłumacząc wiele wyników dotyczących pomiarów σ addycjacyjnych (tj. Zdefiniowane na σ-algebre) do do Bardziej ogólny przypadek pomiarów finansowych (zdefiniowanych na algebre).

Jest

${DisplayStyle Omega}$

całość i niech to

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

rodzina podzbiorów

${DisplayStyle Omega}$

(to znaczy podzbiór całych części

${DisplayStyle Omega}$

). Powiemy to

${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

i alekalność

${DisplayStyle Omega}$

SE:

1. Pusty zestaw
   ${DisplayStyle EmpleSet}$

   należy do

   ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

   :

   ${DisplayStyle Emptyset w {Mathfrak {f}}}$

   .

2. Jeśli całość
   ${DisplayStyle A}$

   jest w

   ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

   , wtedy jego uzupełnienie jest w środku

   ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

   :

   ${DisplayStyle ain {Mathfrak {f}} rightarrow a^{c} w {Mathfrak {f}}}$

   .

3. Jeśli dwa zestawy
   ${DisplayStyle A, B}$

   jestem w

   ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

   , wtedy ich związek jest w środku

   ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

   :

   ${DisplayStyle A, bin {Mathfrak {f}} RightTarrow acup bin {Mathfrak {f}}}}$

   .

Należy zauważyć, że z tych warunków opada proste właściwości, czasem używane w definicji algebry zestawów:

• Un’algebra
  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  W całości

  ${DisplayStyle Omega}$

  nie jest pusty i ma to samo razem wśród swoich elementów

  ${DisplayStyle Omega}$

  (tak długo aż

  ${DisplayStyle Emptyset w {Mathfrak {f}}}$

  To jest

  ${DisplayStyle Emptyset ^{c} = omega}$

  ).

• Un’algebra
  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  jest zamknięty dla gotowego związku: jeśli

  ${DisplayStyle A_ {1}, A_ {2}, ldots a_ {n} w {Mathfrak {f}}}$

  W tym czasie

  ${DisplayStyle BigCup _ {i = 1}^{n} a_ {i} w {Mathfrak {f}}}$

  , w następujący sposób, używając trzeciego warunku definicji.

• Un’algebra
  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  jest zamknięty przez skrzyżowanie: jeśli

  ${DisplayStyle A, bin {Mathfrak {f}}}$

  , W tym czasie

  ${DisplayStyle Acap Bin {Mathfrak {f}}}$

  , Od

  ${DisplayStyle Acap B = lewy (a^{c} cup b^{c} right)^{c}}$

  , który należy do

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  , z drugiego i trzeciego warunku. Itendo Ta procedura następuje, że jest ona zamknięta z powodu zakończenia zakończenia.

• Biorąc pod uwagę każdą całość
  ${DisplayStyle Omega}$

  , rodzina podzbiorów

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} _ {0} = {puste, omega}}$

  To algebra. Także rodzina

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} _ {Mathcal {p}}}$

  składający się ze wszystkich podzbiorów

  ${DisplayStyle Omega}$

  (Razem części) Jest to algebra. Są to odpowiednio najmniejsza i największa algebra

  ${DisplayStyle Omega}$

  ; to znaczy, jeśli

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  i alekalność

  ${DisplayStyle Omega}$

  W tym czasie

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} _ {0} podzbiór {Mathfrak {f}} podzbiór {Mathfrak {f}} _ {Mathcal {p}}}$

  . Zasadniczo te dwa algebry są nazywane niezdolny O trywialny .

• Rozważamy całość z czterema elementami
  ${DisplayStyle Omega = {John, Paul, Ringo, George}}$

  . W tym przypadku skończone , niektóre algebre można wyraźnie zbudować. Na przykład można zweryfikować (wskazując nazwy z odpowiednimi inicjałami):

${DisplayStyle {Mathfrak {f}} = left {puste, {j}, {p}, {j, p}, {r, g}, {p, r, g}, {j, r, g}, omega Prawidłowy}}$

spełnia warunki definicji.

• Każda σ-algebra jest algebrą. W rzeczywistości zamknięcie w porównaniu z ponumerowanymi związkami wyraźnie implikuje zamknięcie w porównaniu z gotowym związkiem. Pozostałe dwie nieruchomości pozostają niezmienione.

• Biorąc pod uwagę rodzinę
  ${displayStyle lewy {{Mathfrak {f}} _ {alpha} right} _ {alpha in {Mathcal {A}}}}}$

  Niezależnie od (gotowego lub nieskończonego) algebre, łatwo jest sprawdzić, czy ich skrzyżowanie

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} _ {Mathcal {A}}: = BIGCAP _ {alpha in {Mathcal {A}}} {Mathfrak {f}} _ {Alpha}}}$

  To wciąż algebra. Jest to największa algebra zawarta we wszystkich algebre

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} _ {alpha}}$

  , to znaczy, jeśli

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} podzbiór {Mathfrak {f}} _ {alpha}}$

  , dla każdego

  ${DisplayStyle Alpha w {MathCal {A}}}$

  , W tym czasie

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}} podzbiór {Mathfrak {f}} _ {Mathcal {A}}}$

  . Dlatego biorąc pod uwagę każdą rodzinę

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}}}$

  podzbiorów

  ${DisplayStyle Omega}$

  , można uznać za Algebra generarata da

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}}}$

  , podobnie jak przecięcie całej algebre zawierającej

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}}}$

  . Z tej samej definicji algebry generowanej przez

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}}}$

  , wynika z tego, że jest to najmniejsza algebra zawierająca

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}}}$

  . Na przykład algebra

  ${DisplayStyle {Mathfrak {f}}}$

  z drugiego powyższego przykładu jest on generowany przez całość

  ${DisplayStyle {Mathfrak {g}} = lewy {{j}, {p} right}}$

  .

• Skończona algebra logiczna może być reprezentowana jako niewłaściwa algebra całej części gotowego zestawu (patrz przykład powyżej).

• Patrick Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara , 3. wydanie, New York, John Wiley & Sons, 1995, ISBN 0-471-00710-2.
• Peter T. Johnstone, Kamienne przestrzenie , 3. wydanie, Cambridge, Cambridge University Press, 1982, ISBN 0-521-23893-5.