Twierdzenie Schur – Wikipedia

W matematyce jest ich kilka Twierdzenia Schura .

Twierdzenie Schur gwarantuje, że nie ma skończonej partycji wszystkich ściśle pozytywnych liczb całkowitych według podpisów bez sum.

Konkretnie ^{[[[ 2 ] W [[[ 3 ]} , jeśli przypisujemy kolor każdemu liczbrze całkowitej tej samej podzbioru partycji, istnieją trzy liczby całkowite X W I W z tego samego koloru (z X I I niekoniecznie odrębne) takie jak X + I = z .

Dokładniej ^{[[[ 4 ]} , I C to liczba używanych kolorów, istnieje ^{[[[ 5 ]} Mniejsza liczba całkowita S ( C ), zwany Nazwa Schur , takie jak gotowy zestaw (1, …, S ( C )} nie można podzielić się w C Zestawy bez sumy (czasami raczej dzwonimy ^{[[[ 6 ]} „Liczba Schur” całość S ( C ) = S ( C ) -1, to znaczy największa liczba całkowita, taka jak {1, …, S ( C )} może być partycjonowany w C zestawy bez sum),

Wynik ten jest uogólniony przez twierdzenie folkmana.

Przykład C = 2:

Pokażmy S (2) = 5.

• Istnieje partycja i tylko jeden z {1,…, 4} w dwóch częściach, z których żadna nie zawiera trzech liczb całkowitych X W I W z Jak na przykład x + y = z . Rzeczywiście, partycja Pierwszy W 2 W 3 W 4 Odpowiednie, a to jedyny, ponieważ nazywając „niebieski” kolor 1 i „zielonego” drugiemu kolor, 2 musi być zielone (ponieważ 1 + 1 = 2), więc 4 musi być niebieskie (ponieważ 2 + 2 = 4 ) Więc 3 musi być zielone (ponieważ 1 + 3 = 4).
• Nie można dodać 5 do jednej z dwóch części bez tworzenia sumy X + I = 5 W tej części, ponieważ będziemy mieli 5 = Pierwszy + 4 Lub 5 = 2 + 3 .

Przykład C = 3:

Pokażmy S (3) jest co najmniej równy 14. Istnieje partycja {1,…, 13} w trzech częściach, z których żadne nie zawiera trzech całości X W I W z Jak na przykład x + y = z , a mianowicie następująca partycja: Pierwszy W 2 W 3 W 4 W 5 W 6 W 7 W 8 W 9 W dziesięć W 11 W dwunasty W 13 .
Zauważamy, że nie można dodać 14, ponieważ w zależności od koloru numeru 14 weźmiemy: 14 = Pierwszy + 13 Lub 14 = 2 + dwunasty Lub 14 = 9 + 5 . Wymieniając wszystkie podobne partycje {1,…, 13} (ponieważ nie jest to jedyny tego typu), zauważamy, że nigdy nie możemy dodać 14. W związku z tym, w konsekwencji, S (3) = 14.

Określenie następujących liczb Schur jest trudne. Mamy S (4) = 45, ale dopiero w 2017 r. Mogliśmy to wykazać S (5) = 161, demonstracja zajmująca 2 płatki ^{[[[ 7 ]} .

Inne twierdzenie Schura dotyczy liczby sposobów wyrażania naturalnej liczby całkowitej jako liniowej kombinacji z całymi (dodatnimi) współczynnikami danego zestawu pierwszej całości między nimi. Dokładniej, jeśli

${DisplayStyle {a_ {1}, ldots, a_ {n}}}$

jest zestawem N Cały (ściśle pozytywny i odrębny), taki jak PGCD

${displayStyle (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = 1}$

, potem liczba

${DisplayStyle B_ {M}}$

z N -Opletki

${displayStyle (c_ {1}, ldots, c_ {n})}$

naturalna całość, taka jak

${DisplayStyle m = c_ {1} a_ {1} +cdots +c_ {n} a_ {n}}$

przyznaje się jako asymptotyczne zachowanie, kiedy

${DisplayStyle M}$

ma tendencję do nieskończoności:

${DisplayStyle B_ {m} = {frac {m^{n-1}} {(n-1)!$

.

W szczególności dla wszystkich razem

${DisplayStyle {a_ {1}, ldots, a_ {n}}}$

pierwszego między nimi, istnieje wartość M tak, że większa całość przyznaje co najmniej jedną reprezentację jako liniową kombinację

${DisplayStyle A_ {1}, ldots, a_ {n}}$

. Ta konsekwencja twierdzenia jest związana z bardziej znanym kontekstem problemu monet reprezentujących określoną ilość pieniędzy przy użyciu podanych fragmentów wartości twarzy. Jeśli te wartości twarzy są pierwotne między nimi, na przykład 2 i 5, każda dość duża ilość może być reprezentowana przy użyciu tylko tych części.

Schur wykazał się w 1912 roku, że: