Harmoniczne cylindryczne – Wikipedia

W analizie matematycznej Le Harmoniczne cylindryczne , zdefiniowane po raz pierwszy przez Daniela Bernouli, a następnie przemianowane przez Besssela, którego imię czasami przyjmują (w błędnym sposobie, w rzeczywistości są ich podklasą), są kanonicznymi rozwiązaniami

${DisplayStyle y (x)}$

równań Bessela:

${DisplayStyle x^{2} {frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+x {frac {dy} {dx}}+(x^{2} -alpha^{2}) y = 0}$

Dla dowolnej liczby

${DisplayStyle Alpha}$

(który reprezentuje kolejność funkcji). Ponieważ zawierają zakres eulera, najczęstszym i ważnym konkretnym przypadkiem jest ten

${DisplayStyle Alpha}$

To jest liczba całkowita

${DisplayStyle n}$

, w którym sytuacja jest znacznie uproszczona w przypadku czynnikowych, a harmoniczne nabywają inne szczególne nieruchomości.
Można go najpierw zobaczyć (dla równości funkcji w

${DisplayStyle Alpha}$

) To

${DisplayStyle Alpha}$

To jest

${DisplayStyle -alpha}$

Mają to samo rozwiązanie, więc stosuje się ono konwencjonalnie do zdefiniowania dwóch różnych funkcji pałkarza dla tych dwóch zamówień.
Jednym z sektorów, w których są używane, jest teoria sygnału, w szczególności w sektorze modulacji sygnałów dla transmisji. W szczególności cylindryczne harmoniczne pojawiają się w rozwoju Fouriera w szeregu sygnału modulowanego częstotliwości (FM) lub modulowanym sygnałem w fazie (PM), gdy sygnał wejściowy jest sinusoidem.

Rozwiązanie zwykłego równania można szukać w ogólnej formie serii rosnących mocarstw w

${DisplayStyle x}$

:

${DisplayStyle y (x) = sum _ {n = 0}^{infty} a_ {n} x^{n+b}}$

Gdzie uczynić reprezentację wyjątkową, nie jest restrykcyjne, aby tego żądać

${DisplayStyle A_ {0} NEQ 0}$

. Pochodne będą wtedy:

${DisplayStyle y ‘(x) = sum _ {n = 0}^{infty} a_ {n} (n+b) x^{n+b-1}}$

${DisplayStyle y ” (x) = sum _ {n = 0}^{infty} a_ {n} (n+b) (n+b-1) x^{n+b-2}}}}}$

Zastąpienie równania i zbieranie warunków na te same moce co

${DisplayStyle x}$

, dostajesz:

${DisplayStyle A_ {0} (b^{2} -alpha^{2}) x^{b}+a_ {1} ((b+1)^{2} -alpha^{2}) x^{b +1}+sum _ {n = 0}^{infty} (a_ {n}+a_ {n+2} ((b+n+2)^{2} -alpha^{2})) x^{ n+B+2} = 0}$

Ponieważ występuje równość, konieczne jest, aby każdy współczynnik mocy

${DisplayStyle x}$

Bądź null: istnieje zatem nieskończony system:

${DisplayStyle A_ {0} (b ^{2} -alpha ^{2}) = 0, quad a_ {1} ((b+1) ^{2} -alpha ^{2}) = 0, quad a_ { n}+a_ {n+2} ((b+n+2) ^{2} -alpha ^{2}) = 0quad (nin mathbb {n})}$

System nieskończony może zostać rozczłonkowany w dwóch częściach opartych na kryterium równości

${DisplayStyle n}$

:

${DisplayStyle A_ {0} (b ^{2} -alpha ^{2}) = 0, quad a_ {2n}+a_ {2n+2} ((b+2n+2) ^{2} -alpha ^{ 2}) = 0quad (nin mathbb {n})}$

${DisplayStyle A_ {1} ((b+1)^{2} -alpha^{2}) = 0, quad a_ {2n+1}+a_ {2n+3} ((b+2n+3)^{ 2} -alpha ^{2}) = 0quad (nin mathbb {n})}$

Odkąd zostało to przypuszczalne

${DisplayStyle A_ {0} NEQ 0}$

, pierwsze równanie jest decydujące, ponieważ to sugeruje

${DisplayStyle B = PM Alpha}$

, i dlatego daje dostęp do rekurencyjnego rozwiązania równego systemu:

${DisplayStyle A_ {2n+2} =-{frac {a_ {2n}} {4 (n+1) (b+n+1)}} = (-1)^{n+1} {frac {a_ {a_ {a_ {a_ {a_ {a_ {a_ {a_ 0}, gamma (b+1)} {4^{n+1} (n+1)!, Gamma (b+n+2)}} quad (nin mathbb {n})}$

Gdzie pojawia się zakres zasięgu Eulera, podczas gdy dziwny jest w tym momencie zadowolony tylko wtedy, gdy wszystko

${DisplayStyle A_ {2n+1} = 0}$

.
Więc szczególne rozwiązania są warte:

${DisplayStyle y_ {1} (x) = a_ {0} x^{alpha} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{n} x^{2n}} {4^^ {n} n! gamma (alpha +n +1)}}}$

${DisplayStyle y_ {2} (x) = a_ {0} ‘x^{-alpha} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{n} x^{2n}} { 4^{n} n! Gamma (-alpha +n +1)}}}$

Zwykle do stałych

${DisplayStyle A_ {0}, A_ {0} ‘}$

Wartości są przypisywane:

${DisplayStyle A_ {0} = {frac {1} {2^{alpha} gamma (alpha +1)}}}$

${DisplayStyle A_ {0} ‘= {frac {1} {2^{-alpha} gamma (-alpha +1)}}}}$

Dlatego uzyskuje się, że ogólne rozwiązanie można wyrazić w funkcji zwykłego Bessela (czasami nazywanego pierwszym typem, aby odróżnić go od Neumann i Hankel), który jest zdefiniowany jako:

${DisplayStyle J_ {alpha} (x) = lewy ({frac {x} {2}} right)^{alpha} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{n} ( {frac {x} {2}})^{2n}} {n! gamma (alpha +n +1)}}}$

Można łatwo wykazać, że uzyskana seria jest zbiegła się absolutnie i równomiernie w dowolnej ograniczonej dziedzinie

${DisplayStyle Alpha}$

i na całym złożonym planie

${DisplayStyle x}$

z wyjątkiem

${DisplayStyle x = 0}$

(gdzie jeśli

${DisplayStyle re alpha <0}$

ma osobliwość tego typu

${DisplayStyle x^{re alpha}}$

). Wynika to z kryterium Weierstrass: dla

${DisplayStyle | Alpha |$

To jest

${DisplayStyle | x |$

Wartość bezwzględna między kolejnymi warunkami jest mniejsza niż

${DisplayStyle 1}$

:

${displayStyle lewy | {frac {-x^{2}} {4n (alpha +n)}} right | leq {frac {d^{2}} {4n (n-n)}} <1}$

samego siebie

${DisplayStyle 4n^{2} -4nn-d^{2}> 0}$

${DisplayStyle n}$

to jest naturalne, jeśli

${DisplayStyle n> {frac {2n+{sqrt {4n^{2}+d^{2}}}} {4}}}}$

${DisplayStyle Alpha}$

To jest

${DisplayStyle x}$

: Dlatego funkcja

${DisplayStyle J}$

Jest analityczny dla wszystkich wartości

${DisplayStyle Alpha}$

i dla

${DisplayStyle x}$

różny od

${DisplayStyle 0}$

.
Ogólne rozwiązanie staje się:

${DisplayStyle y (x) = c_ {1} j_ {alpha} (x)+c_ {2} j _ {-alpha} (x)}$

Ogólnie

${DisplayStyle J_ {alpha}}$

To jest

${DisplayStyle J _ {-alpha}}$

są liniowo niezależne w

${DisplayStyle x}$

, z

${DisplayStyle Alpha}$

Jest to naturalne, że nie jest to już prawda.
Rzeczywiście

${DisplayStyle gamma (alpha) = (alpha -1)! quad (alpha in Mathbb {n})}$

i pierwszy

${DisplayStyle Alpha}$

Warunki serii

${DisplayStyle J _ {-alpha}}$

Znikają, gdy są podzielone według zakresu negatywnych tematów, które są notorycznie nieskończone. Następnie zaczynając od terminu

${displayStyle (alpha +1)}$

-Tystycznych:

${DisplayStyle J _ {-alpha} (x) = ({frac {x} {2}})^{alpha} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{alpha +n} ) } {2}})^{alpha} sum {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{n} ({frac {x} {2}})^{2n}} {(( alpha +n)! n!}} = (-1)^{alpha} j_ {alpha} (x) quad (alpha in Mathbb {n})}}$

Właśnie z powodu nadmiarowości dwóch przeciwnych funkcji naturalnego Bessela konieczne jest wprowadzenie drugiej funkcji, aby zastąpić jedną z dwóch.
Następnie wprowadzane są funkcje Neumann

${DisplayStyle y_ {alpha} (x)}$

(Czasami niewłaściwie nazywane na poziomie historycznym Bessel drugiego typu ) że jako liniowa kombinacja dwóch przeciwnych funkcji Besssel, właśnie:

${DisplayStyle C_ {1} = COT (alpha pi)}$

${DisplayStyle C_ {2} = csc (alpha pi)}$

Stanowią alternatywę dla jednego z dwóch, konwencjonalnie do drugiego. Liniowa kombinacja funkcji Besssela i korespondenta Neumanna tworzą zatem ogólne rozwiązanie dla dowolnego

${DisplayStyle Alpha}$

, zarówno dla zwykłych równań, jak i zmodyfikowanych.

${DisplayStyle y_ {alpha} (x) = {frac {j_ {alpha} (x) cos (alpha pi) -J _ {-alpha} (x)} {sin (alpha pi)}}}}}}}}}}}}$

W rzeczywistości dla zasady de l’hôpital limit α zajmujący się całą doliną:

${DisplayStyle y_ {n} (x) = lim _ {alpha to _ {n}} y_ {alpha} (x) = lim _ {alpha to _ {n}} {frac {{frac {parial} {częściowe alpha} } J_ {alpha} (x) cos (alpha pi) -J _ {-alpha} (x)} {{frac {częściowe} {częściowe alfa}} sin (alpha pi)}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Opracowanie odpowiedniej funkcji Bessela w szeregu staje się:

${DisplayStyle y_ {alpha} (x) = {frac {2} {pi}} {frac {parial j_ {alpha} (x)} {częściowy alfa}} | _ {alpha = n} = {frac {2} { pi}} j_ {alpha} (x) (ln {frac {x} {2}}+gamma)+}$

${displayStyle -{frac {1} {pi}} sum _ {n = 0}^{alpha -1} {frac {(alpha -n -1)!} {n!}} ({frac {x} {2 2 }})^{-alpha +2n}-{frac {1} {pi}} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {(-1)^{n} ({frac {x} {2 2 }})^{alpha +2n}} {n! (alpha +n)!}} quad lewy (sum _ {k = 1}^{alpha +n} {frac {1} {k}} +sum _ { k = 1}^{n} {frac {1} {k}} right) qquad (alpha in Mathbb {n})}$

Gdzie

${DisplayStyle Gamma}$

Jest to stała Euler-Mascherononi.

Kolejną przeformułowaniem dwóch liniowo niezależnych roztworów równania Bessela są funkcje Hankel w dwóch klasach (znane również jako funkcje Besssela trzeciego typu)

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(1)} (x)}$

To jest

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(2)} (x)}$

. Zdecydowanie DA:

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(1)} (x) = j_ {alpha} (x)+iy_ {alpha} (x)}$

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(2)} (x) = j_ {alpha} (x) -iy_ {alpha} (x)}$

Ich znaczenie jest bardziej teoretyczne i praktyczne użyteczność: zaspokajają wiele właściwości, zarówno w postaci asymptotycznych, jak i w pełnych reprezentacjach, w tym sensie, że pojawia się czynnik

${DisplayStyle e^{if (x)}}$

, z powodu wzoru Eulera. Są one zatem używane do wyrażania rozwiązań, które propagowały się odpowiednio w kierunku zewnętrznych i wewnętrznych (lub odwrotnie, w zależności od konwencji znaków częstotliwości).

W rzeczywistości można je przepisać zgodnie z definicją funkcji Neumanna:

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(1)} (x) = {frac {j _ {-alpha} (x) -e^{-alpha pi i} j_ {alpha} (x)} {isin (alpha pi) }}}$

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(2)} (x) = {frac {j _ {-alpha} (x) -e^{alpha pi i} j_ {alpha} (x)} {-isin (alpha pi) }}}$

samego siebie

${DisplayStyle Alpha}$

Jest całość, musisz przejść do granicy. Następujące są ważne, niezależnie

${DisplayStyle Alpha}$

być lub nie do końca: ^[Pierwszy]

${DisplayStyle H _ {-alpha}^{(1)} (x) = e^{alpha pi i} h_ {alpha}^{(1)} (x)}$

${DisplayStyle H _ {-alpha}^{(2)} (x) = e^{-alpha pi i} h_ {alpha}^{(2)} (x)}$

Przyznaj się do następujących pełnych reprezentacji

${DisplayStyle re x> 0}$

[2]

${displayStyle H_ {alpha}^{(1)} (x) = {frac {1} {pi i}} int _ {-infty}^{ +infty +ipi} e^{xsinh t-alpha t}, dt }$

${DisplayStyle H_ {alpha}^{(2)} (x) =-{frac {1} {pi i}} int _ {-infty}^{+infty -ipi} e^{xsinh t-alpha t}, dt}$

gdzie limit integracji wskazuje na integrację wzdłuż granicy, którą można wybrać z następującym kryterium: z

${displayStyle -infty}$

A

${DisplayStyle 0}$

wzdłuż ujemnej osi królewskiej, od

${DisplayStyle 0}$

A

${DisplayStyle PM IPI}$

wzdłuż wyimaginowanej osi i od

${DisplayStyle PM IPI}$

A

${displayStyle +infty}$

wzdłuż granicy równolegle do osi królewskiej. ^[3]

Są to dwa liniowo niezależne rozwiązania zmodyfikowanych równań Besssela: są one ważne dla

${DisplayStyle x}$

kompleksy, ale dla

${DisplayStyle x}$

Wyimaginowane nabywa znaczące właściwości, takie jak zwykłe, które robią dla naturalnych tematów. Zmodyfikowane funkcje Besssel to:

${DisplayStyle i_ {alpha} (x) ,: =, i^{-alpha} J_ {alpha} (ix)}$

podczas gdy zmodyfikowane funkcje Neumann to:

${DisplayStyle K_ {alpha} (x): = {frac {pi} {2}} i^{alpha +1} h_ {alpha}^{(1)} (ix)}$

W przeciwieństwie do zwykłych funkcji, które się wahały,

${DisplayStyle i_ {alpha}}$

To jest

${DisplayStyle K_ {alpha}}$

Rozmieszczą się wykładniczo i rozpadają się wykładniczo. A także funkcje zwykłego Bessela

${DisplayStyle J_ {alpha}}$

, zmodyfikowane

${DisplayStyle i_ {alpha}}$

Przejdź do zera

${DisplayStyle x = 0}$

za

${DisplayStyle Alpha> 0}$

${DisplayStyle x = 0}$

za

${DisplayStyle alpha = 0}$

.
Podobnie,

${DisplayStyle K_ {alpha}}$

Rozjmują się

${DisplayStyle x = 0}$

.

Ponieważ harmoniczne są zdefiniowane poprzez rozbieżne serie, warto zbadać asymptotyczny trend.
Dla małych tematów

${DisplayStyle 0$

, dostajesz:

${DisplayStyle J_ {alpha} (x) rightarrow {frac {1} {gamma (alpha +1)}} lewy ({frac {x} {2}} right)^{alpha}}}}}}}$

${displayStyle y_ {alpha} (x) w prawo lewy {{begin {matrix} {dfrac {2} {pi}} ln lewy ({dfrac {x} {2}} po prawej) & {mbox {se}} alpha = 0 \\-{dfrac {gamma (alpha)} {pi}} po lewej ({dfrac {2} {x}} prawy)^{alpha} & {mbox {se}} alpha> 0end {matrix}} w prawo.}$

${DisplayStyle gamma (alfa)}$

Lekarze zakres zasięgu Eulera.

Dla świetnych tematów,

${DisplayStyle xgg 1}$

, zwykłe harmoniczne stają się:

${DisplayStyle J_ {alpha} (x) w prawo {sqrt {frac {2} {pi x}}} cos lewy (x- {frac {alpha pi} {2}}-{frac {pi} {4}} racja) }$

${displayStyle y_ {alpha} (x) rightarrow {sqrt {frac {2} {pi x}}} sin lewy (x- {frac {alpha pi} {2}}-{frac {pi} {4}} racja) }$

Za

${DisplayStyle xgg 1}$

Zmodyfikowane harmoniczne stają się:

${displayStyle i_ {alpha} (x) rightarrow {frac {1} {sqrt {2pi x}}} e^{x}}$

${DisplayStyle K_ {alpha} (x) rightarrow {sqrt {frac {pi} {2x}}} e^{-x}}$

Pod względem uogólnionych wielopolnomów LaGuerre

${DisplayStyle l_ {n}^{(alpha)}}$

i arbitralny parametr

${DisplayStyle T}$

, Funkcje Besssela można wyrazić jako: ^[4]

${displayStyle {frac {j_ {alpha} (x)} {left ({frac {x} {2}} right)^{alpha}}} = {frac {e^{-t}} {gamma (alpha +1 +1 )}} sum _ {n = 0}^{infty} {frac {l_ {n}^{(alpha)} lewy ({frac {x^{2}} {4t}} right)} {n+alfa Wybierz Wybierz n}} {frac {t^{n}} {n!}}}$

Funkcję Bessela można łatwo uzyskać z formy Whittakera z zbieżnego równania hipergeometrycznego
w konkretnym przypadku, w którym

${DisplayStyle K}$

jest umieszczony równy

${DisplayStyle 0}$

.
Mielibyśmy tak

${DisplayStyle C = 2a}$

A formą Whittakera będzie:

${displayStyle x^{2} {frac {d^{2} v} {dx^{2}}}-lewy [{frac {1} {4}}-{frac {{frac {1} {4}}} -alpha ^{2}} {x ^{2}}} right] v = 0}$

Następnie zamiennik:

${DisplayStyle XTO 2ix}$

Uzyskuje się równanie Besssela; Jego rozwiązania dotyczą budowy związanych z rozwiązaniami równania hipergeometrycznego zbieżności z raportu:

${DisplayStyle y_ {alpha} (x), =, x^{alpha} e^{-ix} u (alpha +1/2,2alpha +1; 2ix)}$

dziecko

${displayStyle u}$

ogólne rozwiązanie hipergeometrycznego zbiegu, w którym masz

${DisplayStyle a = {frac {c} {2}} = alpha +{frac {1} {2}}}$

Zauważ, że w konkretnym przypadku jest tak

${DisplayStyle alpha = pm {frac {1} {2}}}$

równanie Bessela i natychmiastowe rozwiązanie i dają:

${displayStyle y (2ix) = {start {case} {dfrac {sin x} {sqrt {x}}} \\ {dfrac {cos x} {sqrt {x}}} end {case}}}}}}}}}}}}$

Z tego można natychmiast zrozumieć, że przynajmniej pewne rozwiązania równania Bessela będą miały trend oscylacyjny.

1. ^ Abramowitz i Stegun, P. 358, 9.1.6 .
2. ^ Abramowitz i Stegun, P. 360, 9.1.25 .
3. ^ ( W ) G. N. Watson, Traktat o teorii funkcji Bessela , Cambridge University Press, 25 sierpnia 1995 r., ISBN 978-0-521-48391-9 URL skonsultowano się z 10 lutego 2022 r. .
4. ^ Szegö, G. Ortogonalne wielomiany, wyd. Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., 1975.

• John D Jackson, Klasyczna elektrodynamika , A. Barbers (tłumacz), 3rd, Zanichelli, 2001, s. 109-113, ISBN 978-88-08-09153-6.
• Milton Abramowitz E Irene Stegun Podręcznik funkcji matematycznych (Gdzie, New York, 1964) (Rozdziały 9 W dziesięć W 11 )
• Isaac Todhunter Podstawowy traktat na temat funkcji Laplace’a, funkcji Lamé i funkcji Bessela (Macmillan and Co., Nowy Jork, 1875)
• William Ellwood Byerly Podstawowy traktat o serii Fouriera oraz sferycznych, cylindrycznych i elipsoidalnych harmonicznych z zastosowaniem do problemów w fizyce matematycznej. (Give & Co., Boston, 1893) (Capitolo 7)
• Andrew Gray E George Ballard Matthews Traktat o funkcjach Bessela i ich zastosowania do fizyki (Macmillan and Co., Nowy Jork, 1895)
• George Neville Watson Traktat o teorii funkcji Bessela (Cambridge University Press, 1922)