Connexion of Koszul – Wikipedia
W geometrii różnicowej a connexion (de Koszul) jest operatorem w sekcjach włókna wektorowego. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Jean-Louis Koszul w 1950 roku [Ref. niezbędny] I sformalizuj równoległy transport wektorów wzdłuż krzywej pod względem zwykłego równania różniczkowego. Połączenia są obiektami lokalnie zdefiniowanymi, z którymi powiązane są pojęcia krzywizny i skrętu. Jednym z najprostszych przykładów połączeń Koszul bez skrętki jest połączenie Levi-Civita naturalnie zdefiniowanego na włókno stycznej każdej odmiany Riemannian.
Wszystkie połączenia Koszul tworzą prawdziwą przestrzeń do udoskonalenia, której przestrzenią przewodnią jest przestrzeń bazy danych B błonnik I z wartościami na końcu ( I ), włókno wektorowe endomorfizmów I . Połączenie I indukuje połączenia na włóknach zbudowanych z I przez podstawowe operacje algebraiczne (produkt zewnętrzny, produkt tyskowy, …). Korzystanie z połączeń pozwala w szczególności przeprowadzić rozsądne zewnętrzne obliczenia zewnętrzne w sekcjach I . Są one silnie wykorzystywane w analizie.
Albo I Całkowita przestrzeń prawdziwego włókna wektorowego gotowego rzędu o prawdziwej różnorodnej różnorodności B . Połączenie
jest operatorem, który w sekcji globalnej S z I i pole wektorowe X z B , łączy sekcję I odnotowany
Sprawdzanie następujących warunków:
- Liniowość w X : Dla dowolnej funkcji różnicowej F z B z rzeczywistymi wartościami i dla dowolnego pola wektora X z B , na :
- Reguła Leibniz : Dla dowolnej funkcji różnicowej F z B z rzeczywistymi wartościami i dla dowolnego pola wektora X z B , na :
Pierwsza właściwość oznacza w szczególności, że wartość
w danym momencie B z B jako funkcja pola wektorowego X Właściwie zależy tylko od X ( B ), wartość X w punkcie B . Jako funkcja S , druga właściwość pokazuje zależność od pierwotnych wariantów w S W B . Zwłaszcza jeśli S to lokalna sekcja I zdefiniowane W I W jest stycznym wektorem B w danym momencie X z W , WIĘC
jest dobrze zdefiniowany jako wektor I X . Gdy I jest włóknem stycznym B , po prostu rozmawiamy o Połączenie (od Koszul) do B Bez dalszych szczegółów. Ogólnie rzecz biorąc, połączenie jest oznaczone przez list
W D Lub D .
Przykład [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Sekcje trywialnego błonnika
są funkcjami różnicowymi B W R N . Błonnik
Zauważono połączenie Koszul
zwany trywialne połączenie Określony przez:
Oczywiście połączenia Koszul są transportowane przez izomorfizm włókien wektorowych (wrócimy do tego punktu). W szczególności wszystkie trywialne błonnik przyznaje połączenia Koszul. Jednak połączenie to zależy od wybranej trywializacji.
Grupa kłamstw G jest równolegle i dlatego przyznaje połączenia Koszul. Mówiąc dokładniej, wybór podstawy stycznej przestrzeni w neutralnym elemencie indukuje tłumaczenie po lewej stronie TG ; Dlatego mamy połączenie Koszul
zdefiniowane jak powyżej. To połączenie nie zależy od wyboru podstawy.
Istnienie połączeń na dowolnym włóknie opiera się na argumencie wyników jednostkowych. Jeżeli B wymyślne dla nieskończoności, B przyznaje lokalnie gotowe nakładanie się
do najbardziej policzania otwartych kompaktów I jest trywialny. Istnieje partycja jedności
, wsparcie
uwzględnienie w W I . W szczególności powyżej W I , istnieje połączenie
. Notacja
Oznaczający:
Jak suma F I Ale 1,
Sprawdź regułę Leibniz i dlatego jest połączeniem z I .
Równoważne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Według autorów definicja połączenia Koszula przyznaje niewielkie warianty. Jeśli
wyznacza przestrzeń wektorową sekcji I , połączenie
można interpretować jako operator
liniowy w pierwszej zmiennej i R -Lineaire w drugim (ponadto weryfikacja uprzednio cytowanej przez regułę Leibniza):
Kolejna możliwa interpretacja dla dowolnej sekcji S z I W
może być postrzegane jako różnicowa 1 forma M przy wartościach w
. Mając to na uwadze, połączenie
jest uważany za operatora R Liniowy:
Reguła Leibniza następnie tłumaczy: dla dowolnej funkcji innej możliwej F i dla dowolnej sekcji S z I W
Ponadto połączenia Koszulu można zdefiniować podobnie na złożonych włókien wektorowych, biorąc pod uwagę, że przestrzeń sekcji jest modułem algebry różnicowej, ale bardziej realnych funkcji różnicowych. Jedyną różnicą jest zatem uwzględnienie złożonych różnych funkcji w regule Leibniza.
Afekty struktury [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
I
I
Czy połączenia zdefiniowane na tym samym światłowodzie wektorowym I Następnie dla dowolnej sekcji S i dla każdej funkcji F , na:
Ich różnica
jest zatem operatorem
-Linear na
przy wartościach w
, a nawet różnicowa 1-forma
z wartościami na końcu ( I ). Piszemy symbolicznie:
Wszystkie połączenia Koszul włączone I jest zatem oczywiście udoskonalenie przestrzeni Espace Master przestrzeń różnicowych form 1 z końcami na końcu ( I ). Działanie grupowe Gl ( I ) jest rafina. Mówiąc dokładniej, dla każdego samoorfizmu G z I , na :
W szczególności w lokalnej trywializacji I podane przez izomorfizm
Włókno powyżej W z
NA
, połączenie
definiować I jest napisane:
Lub
jest różnicowymi wartościami 1-matrix.
Krzywizna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
. krzywizna z
jest formą różnicową z włóknem
liniowe endomorfizmy I . Dla wszystkich pól wektorowych X I I z B i dla dowolnej sekcji S z I , na pozie:
W lokalnej trywializacji, przyjmując powyższe oceny, jeśli
, wówczas szybkie obliczenia dają:
gdzie konwencja:
Istnieją inne pojęcia krzywizny dla połączeń Koszul, ale zależą one od dodatkowych struktur.
Skręcenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Dla połączenia Koszula
Zdefiniowane na różnorodnej różnorodności M , nazywamy skręcenie tensor T zdefiniowane M o :
Fakt, że T Lub faktycznie weryfikacja żądania tensora. Połączenie jest powiedziane bez skrętu, gdy jego skręcenie wynosi zero. Jeśli
jest różnicowymi wartościami na końcu ™ i tak
jest zatem połączenie bez skręt
nie ma skrętu, jeśli
definiuje symetryczny kształt.
Transport połączenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Do dowolnej aplikacji różnicowej
Podstawowe włókno wektorowe jest powiązane
, notatka
, którego błonnik w
jest włóknem I W
. Wszelkie połączenie Koszul
NA I indukuje jedno połączenie
NA
tak, że dla każdej globalnej sekcji S z I I dla dowolnego pola wektorów X z
, na :
Zwłaszcza jeśli C :
jest krzywą B , WIĘC
indukuje połączenie
NA
który jest światłowodem wektorowym I . To indukowane połączenie jest zdefiniowane tylko przez dane
Zauważamy
przez nadużycie języka. Sekcja S z I przed siebie C to sekcja I z
.
Ten operator sprawdza zasadę Leibniza:
Suma i produkt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Być
I
Dwa połączenia odpowiednio zdefiniowane na włóknach wektorowych I = I Pierwszy I I 2 na nawet baza B . Są następnie zdefiniowane:
- Połączenie z Bezpośrednia suma , odnotowany :
- Połączenie z Produkt Tensoriel , odnotowany :
- Połączenie z Włókno podwójne I * :
- Połączenie z włóknem :
Połączenie Levi-Civita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Metryka Riemanniana G O różnorodnej różnorodności M jest polem symetrycznych form bilinearnych zdefiniowanych pozytywnie. Mówiąc dokładniej, metryka G z klasą
to dane pod każdym względem X produktu skalarnego
Na stycznej przestrzeni T X M , więc dla wszystkich pola wektorów X I I NA M z klasą
, funkcja G ( X W I ) mieć klasę
.
I
, demonstrujemy podstawowe twierdzenie o geometrii Riemannian
- Istnieje unikalne połączenie bez skręcania M , zwany Połączenie Levi-Civita , sprawdzanie: dla wszystkich pól wektorów X W I I Z W
Krzywizna odmiany Riemannian odnosi się do krzywizny jej połączenia Levi-Civita. Połączenie Levi-Civita jest ważne, ponieważ przechwytuje mocne informacje na temat geometrii lokalnej i globalnej. Zwykle rozróżniamy odmiany zerowej krzywizny, krzywizny dodatniej i ujemnej krzywizny. Odmiany Riemannian „stała krzywizna” służą jako model porównawczy.
Transport równoległy [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
I C jest różnicującą krzywą B , Sekcja S z I przed siebie C mówi się, że jest równolegle, gdy sprawdza równanie różniczkowe:
Zewnętrzne obliczenia różnicowe [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Po ustaleniu połączenia
na włóknie wektorowym I , możliwe jest różnicowanie w spójnym sposobie I . Definiujemy operatora R -liniowy
który ma różnicową formę stopnia k przy wartościach w I Kojarzy różnicową formę stopnia k +1 z wartościami w I . Ten operator różnicowania jest zdefiniowany tylko przez następującą właściwość. Dla każdej prawdziwej formy różnicowej
i dla dowolnej sekcji S z I , na :
Lub
czyta jako różnicowe wartości 1 w wartościach w I .
Tożsamość Bianchi :
Recent Comments