Tensorowość mistrza – Wikipedia

W matematyce, fizyce i inżynierii, a Champ Tensoriel jest bardzo ogólną koncepcją zmiennej ilości geometrycznej. Jest stosowany w geometrii różnicowej i w teorii odmian, w geometrii algebraicznej, ogólnie względności, w analizie ograniczeń i deformacji w materiałach oraz w wielu zastosowaniach w naukach fizycznych i inżynierii. Jest to uogólnienie idei pola wektorowego, samego postrzeganego jako „wektor, który zmienia się od punktu do punktu”, do tego, bogatszego, „tensora, który różni się od punktu do punktu”.

Należy zauważyć, że kilka struktur matematycznych potocznie nazywanych „tensorami” jest w rzeczywistości polami tynorskimi, które kojarzą tensor w każdym punkcie w polu. Zobacz artykuł tensorowy, aby zapoznać się z podstawowym wprowadzeniem do tensorów. W polach tensorów znajdziemy pojęcia stopnia kowariancji lub przeciwdziałania, które wskazują sposób, w jaki tensor zachowuje się podczas podstawowej zmiany.

Intuicja geometryczna dla pola wektorowego jest „strzałką przymocowaną do każdego punktu w regionie”, o zmiennej długości i kierunku. Mentalny obraz pola wektorowego na zakrzywionej przestrzeni może być oparty na przykładzie karty pogodowej pokazującej poziomą prędkość wiatru, każdy punkt na powierzchni Ziemi.

Ogólne pojęcie pola Tensoriel jest zdefiniowane na odmianach, zakrzywione przestrzenie dowolnego wymiaru uogólniające powierzchnie. Jest to zarówno obiekt o wyrafinowanej zawartości – pozwala na przykład nadać ciał ideę elipsy lub produktu skalarnego nie ustalonego, ale zmiennego i dołączonego do bieżącego punktu – i ilości, która jest wewnętrznie zdefiniowana, niezależnie od tego Konfiguracja lub wybór współrzędnych używanych do opisania pola definicji. W przykładzie globu naziemnego pole może wyrazić się, wykorzystując szerokość i długość geograficzną lub do różnych rodzajów projekcji kartograficznej, ale musi być jednak możliwe zdefiniowanie niezależnie od tych narzędzi obliczeniowych.

. pole tensorów Następnie uformuj podstawową koncepcję geometrii różnicowej, umożliwiając rozszerzenie wielu narzędzi algebry liniowej lub wielośrodkową, a następnie podanie niezbędnych ram do przeprowadzenia analizy odmian. Wśród ważnych tensorów w matematyce znajdują się formy różnicowe, wskaźniki Riemanniennes lub tensory krzywizny.

We wszystkich wyraźnych formułach zostaną wykonane z porozumienia o wezwaniu Einsteina: jeśli indeks zostanie powtórzony, należy zrozumieć, że sugeruje się symbol podsumowania tego indeksu.

Na otwartej przestrzeni przestrzeni euklidesowej [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Na otwartym W Przestrzeń euklidesowa

${DisplayStyle {Mathbb {r}}^{n}}$

, pole typu tensory (P, Q) to zastosowanie W W przestrzeni wektorowej tensorów tego typu, rzekomo powinna być regularna (ogólnie pytamy

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty}}$

). Możemy to również postrzegać jako tensor, którego elementy są pozycją pozycji w polu W . Zwykłe operacje, takie jak tensor lub skurcz, można rozszerzyć, ponieważ każde obliczenia są składane przez komponent w bazie referencyjnej.

Ogólna zmiana podstaw jest wprowadzana za pomocą macierzy przejścia A i jego odwrotność (w zależności od wariancji lub przeciwdziałania), dokładnie jak w przypadku zwykłych tensorów:

${displayStyle {(t ‘)^{k_ {1}, dots k_ {p}}} _ {ell _ {1} dots ell _ {q}} (x) = lewy (a^{-1} right) _ _ {i_ {1}}^{k_ {1}} cdots lewy (a^{-1} right) _ {i_ {p}}^{k_ {p}} ,, {t^{i_ {1}, ldots, ldots, ldots , i_ {p}}} _ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} (x) ,, a_ {ell _ {1}}^{j_ {1}} cdots a_ {ell _ {q}}}} ^{j_ {q}} qquad a = p_ {Brightarrow b ‘}.}$

Mówiąc bardziej ogólnie, zmiana układu współrzędnych (krzywoliniowa) y = f (x) Podaj podobną formułę, biorąc

${DisplayStyle A^{-1}}$

Jakobian macierz aplikacji F

${displayStyle {(t ‘)^{k_ {1}, dots k_ {p}}} _ {ell _ {1} dots ell _ {q}} (f (x)) = {(t’)^{k_ {1}, dots k_ {p}}} _ {ell _ {1} kropki ell _ {q}} (y) = {frac {parial y_ {k_ {1}}} {parial x_ {i_ {1}} }} (x) cdots {frac {częściowe y_ {k_ {p}}} {częściowe x_ {i_ {p}}}} (x) ,, {t^{i_ {1}, ldots, i_ {p}}}}} } _ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} (x) ,, {frac {parial x_ {j_ {1}}} {częściowe y_ {ell _ {1}}}} (y) cdots {frac {Partial X_ {J_ {q}}} {Partial Y_ {ell _ {q}}}} (y).}$

Formuła, która odgrywa centralną rolę w przejściu do różnorodności odmian i w której zauważamy, że tylko wartości tensor i pochodne zastosowań współrzędnych w bieżącym punkcie interweniowym.

Ogólne ramy: na różnorodności [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Istnieje kilka podejść do zdefiniowania pola tensorów. Podejście często stosowane w matematyce polega na zdefiniowaniu wszystkich tensorów na podstawie wektorów i „kovektorów” za pomocą operacji algebry wieloniniowej. Formalnie prowadzi to do budowy, z włókien stycznych i zawierających różne produkty tensoryczne lub algebrę zewnętrzną, które same tworzą włókna. Różne pola tensorów pojawiają się następnie jako sekcje tych włókien: tensor rzędu (P, Q) to sekcja (dorozumiana

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty}}$

) Produkt Tensoriel P kopie włókna stycznej i Q Cotangent Fibard Copies ^{[[[ Pierwszy ]} :

${DisplayStyle bigrotimes ^{q} t ^{ast} motimes bigotimes ^{p} tm}$

Możemy również zdefiniować pole poszczególnych tensorów T Podając mu opisy komponentów w lokalnych kartach. Konkretnie, na otwartej karcie

${DisplayStyle usubset {Mathbb {r}}^{n}}$

, tensor rozwija się przy użyciu wektorów i podstawowej formy ^{[[[ Pierwszy ]}

${DisplayStyle t | _ {u} (x) = {t_ {j_ {1}, dots, j_ {q}}}^{i_ {1}, dots, i_ {p}} (x) ,, {frac {{frac {{frac { częściowo} {parial x^{i_ {1}}}} otimes dots otimes {frac {parial} {parial x^{i_ {p}}}} otimes {mathrm {d}} x^{j_ {q}} otode dots otimes {Mathrm {d}} x^{j_ {1}}.}$

Aby zagwarantować wewnętrzny charakter definicji, musisz upewnić się, że rodzaj transformacji poniesiony przez funkcje składowe podczas zmian kart, które muszą być zgodne ze stopniami niezmienności i przeciwdziałania. Znajdujemy formułę pokazującą częściowe pochodne aplikacji do zmiany karty F (Sugerujemy tutaj punkty aplikacji)

${displayStyle {(t ‘)^{k_ {1}, dots k_ {p}}} _ {ell _ {1} dots ell _ {q}} = {frac {parial y_ {k_ {1}}} {częściowe x_ {i_ {1}}}} cdots {frac {parial y_ {k_ {p}}} {parial x_ {i_ {p}}}} ,, {t^{i_ {1}, ldots, i_ {p} }} _ {j_ {1}, ldots, j_ {q}} ,, {frac {parial x_ {j_ {1}}} {parial y_ {ell _ {1}}}}} cdots {frac {parial x_ {j_ {j_ {q}}} {częściowe y_ {ell _ {q}}}}.}$

Takie podejście jest dość systematyczne w fizyce, a w szczególności ogólnie względność, ogólna mechanika i mechanika środowisk ciągłych, gdzie często wyraża się przepisów transformacji przez zmianę karty, co umożliwia zauważenie, że wprowadzone obiekty są TENSORS określonego typu.

Liniowość w odniesieniu do funkcji i charakteru tensoryczności [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Pewną liczbę konstrukcji może być oferowana z polami tensorów, które prowadzą do dobrze zdefiniowanych obiektów bez samych tensorów. Bez względu na to, że wyrażenie w kartach lokalnych, nawet jeśli jest zgodne z wspomnieniem, jest zgodne z innymi przepisami dotyczącymi transformacji. Tak jest na przykład symboli Christoffela w geometrii Riemannian. Ale istnieją kryteria identyfikujące znak tensoryczny bez powrotu do obliczeń komponentów, w oparciu o właściwość

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty} (m)}$

-Liniowość.

Obserwujemy, że możemy pomnożyć (punkty na punkt) pole wektorowe X lub pole kovektorów (formy liniowe) L przez funkcję cyfrową

${DisplayStyle Fin {cal {c}}^{infty} (m)}$

. Wygląda na to, że operacje

${DisplayStyle fmapsto f.x ,,, fmapsto f.l}$

są liniowe i kompatybilne z hakiem dualności:

${DisplayStyle | _ {x} = l_ {x} (f (x) x (x)) = f (x) .l_ {x} (x (x)) = | _ {x}}$

${DisplayStyle Gamma (TM)}$

Sekcje włókien stycznych to moduł na pierścieniu funkcji

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty}}$

. Ta sama właściwość dotyczy sekcji włókna Cotangent, ale

${DisplayStyle gamma (t^{ast} m)}$

pojawia się również jako podwójny

${DisplayStyle Gamma (TM)}$

, wszystkie aplikacje

${DisplayStyle Fin {cal {c}}^{infty} (m)}$

-Lineaires on

${DisplayStyle Gamma (TM)}$

(i wzajemnie). Wszystkie pola tytułu tego typu (P, Q) jest uzyskiwany przez produkty tensoryczne tych modułów.

${DisplayStyle gamma lewy (whiskers ^{q} t ^{ast} mintimes mustams ^{p} tmright) sim musthyds ^{Q} gamma (t ^{ast} m) otimes mustams ^{p} gamma ™}}$

Rozważania te umożliwiają stopniową definicję tensorów z włókien stycznych i cotangent: pole tensorów rzędu (P, Q+1) identyfikować się z aplikacją

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty} (m)}$

-Linear, który ma pole wektorów, łączy pole tensorów zamówień (P, Q) . A nawet aplikacja Q -Linear (zawsze w tym sensie

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty} (m)}$

) na polach wektorów o wartościach górnych (P, 0) daje tensor porządku (P, Q) ^{[[[ 2 ] W [[[ 3 ]} . Umożliwia to również rozróżnienie konstrukcji o charakterze tyensalnym, jak pojawi się poniżej dla pochodnej kowarianty.

W mechanicznych odkształcalnych ciałach stałych tensor naprężeń jest powiązany z tensorem deformacji przy użyciu różnych praw behawioralnych. Zatem w przypadku elastycznej substancji stałej prawo Hooke’a jest zainteresowane niewielkim elementem materii poddawanym niewielkim deformacji. Prawo deformacji jest liniowe i odwracalne, niezależnie od wniosku, co prowadzi do wyrażenia go w formie tensorycznej, z skurczem:

${displayStyle [sigma] = [c] colp [varepsilon], qquad sigma _ {ij} = c_ {ijkl}; varepsilon _ {Kl}}$

Lub C jest tensor stałych elastycznych.

W geometrii Riemannian zapewniana jest różnicowa różnorodność metryki, to znaczy tensor typu symetryczny (0,2), który definiuje na każdej przestrzeni stycznej produktu skalarnego. Zatrudnianie tensora z tensorem metrycznym można wykorzystać do przejścia od sytuacji kowariancji do przeciwdziałania lub odwrotnie, który jest powszechnie przedstawiany jako fakt „jazdy lub zejścia ze wskazówek” tensora. Z miernika definiujemy również tensor krzywizny Riemann, który opisuje geometrię odmiany.

Ogólna względność wykorzystuje ramy geometryczne podobne do geometrii Riemannian, z tensorem metrycznym, który nie jest już określony dodatni. Możemy podłączyć tensor impulsji energii z krzywizną czasoprzestrzeni.

Równania różniczkowe są niezbędnym narzędziem do opisania ewolucji systemu lub deformacji obiektu matematycznego. Konieczne jest sformułowanie ich pod względem pól tensorowych zarówno w geometrii różnicowej, jak i fizyce teoretycznej lub mechanice. Treść takich relacji nie obejmuje jedynie zróżnicowanej obliczeń w przestrzeni euklidesowej, ale koniecznie angażuje geometrię odmiany.

W przypadku funkcji cyfrowej zdefiniowanej na różnorodności istnieją naturalne pojęcia pochodnej kierunkowej i różnicy. Z drugiej strony nie jest to już w przypadku pola tensorów T . Rzeczywiście wymagałoby to porównywania wartości T W dwóch sąsiednich punktach, ale wartości te należą do dwóch różnych włókien, między których nie ma kanonicznie zdefiniowanego izomorfizmu. Istnieją różne sposoby przezwyciężenia tej trudności z dodatkowym wyborem informacji ^{[[[ 4 ]} . A jeśli staramy się wyprowadzić funkcję cyfrową dwa razy (lub więcej), pojawia się również pytanie: w ten sposób pojęcie hesji funkcji nie jest ogólnie zdefiniowane (z wyjątkiem punktów krytycznych).

Ponadto twierdzenie Schwarza przestrzeni euklidesowej, zjawisko symetrii drugich pochodnych, nie obejmuje żadnego rodzaju wyprowadzenia: istnieją terminy związane z przełączaniem pochodnych.

Transport przez instrumenty różnicowe i leki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Zatem, gdy masz inny, możemy „przetransportować” tensor przez ten dyfreomorfizm według tych samych formuł, co podczas zmiany kart. To określa pojęcia wzajemnego obrazu (lub Zatrzymaj się )

${DisplayStyle psi ^{ast} t}$

i bezpośredni obraz ( pchnąć do przodu )

${DisplayStyle psi _ {ast} t}$

które umożliwiają porównanie wartości T do odpowiednich punktów o ψ.

Aby uogólnić, możesz polegać na polu wektorowym X : Powiązany przepływ daje podgrupę parametru lokalnych różnic. Dlatego możliwe jest obliczenie „pochodnej T Le Long You Nice »

${DisplayStyle {Mathcal {l}} _ {x} t = lim _ {t = 0} {frac {{psi} _ {t}^{*} t-t-t-t} {t}} = {frac {mathrm {d}} {Mathrm {d} t}} _ {| _ {t = 0}} psi _ {t}^{*} t.}$

który nosi nazwę pochodnej Lery T według X a z kolei stanowi tensor tego samego typu T ^{[[[ 4 ]} . Na lokalnej mapie wyrażono tę pochodną (dla pola tensorów typu r, s ) według wzoru, w którym pojawiają się wartości i pochodne T ale również X w punkcie badania ^{[[[ 5 ]} :

${displayStyle {begin {wyrównany} ({Mathcal {l}} _ {x} t)^{a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} = & x^{ c} (częściowo _ {c} t^{a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}}) \ &-(częściowo _ {c} x^{a_ {{{{ 1}}) t^{ca_ {2} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} -ldots -(częściowo {c} x^{a_ {r}}) t ^{a_ {1} ldots a_ {r-1} c} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} \ &+(parial _ {b_ {1}} x^{c}) t^{{ a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {cb_ {2} ldots b_ {s}} +ldots +(częściowo _ {b_ {s}} x^{c}) t^{a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s-1} c} .end {wyrównany}}}$

Podczas wykonywania kolejnych pochodnych Lee widzimy termin przełączania, powiązany z kłamstwem ^{[[[ 6 ]}

${Wyświetlaczyle {cal {l}} _ {x} cyrkus {l cal {l}} _ {y}-{lime {l}} _ {y} Circus {l}}} _ {x} = {cal {l l l l l {l l L }} _ {[X, y]}.}$

Pochodna kowarianta, połączenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Kowarianty pochodne mogą mieć zastosowanie do pola tensorów lub bardziej ogólnie, do dowolnego rodzaju włókna wektorowego. Ponownie definiujemy pochodną tensora zgodnie z polem wektorowym:

${DisplayStyle d_ {x}: tmapsto d_ {x} t}$

, ale istnieje duża szerokość wyboru. Takie wyprowadzenie można zdefiniować aksjomicznie, wymagając

– Właściwości algebraiczne oczekiwane po wyprowadzeniu: liniowość i reguła Leibniz

-Tensoriel Zachowanie w kierunku zmian we współrzędnych, stąd nazwa „kowariant” w stosunku do W , co można również stwierdzić, prosząc o zależność w W albo

${DisplayStyle {cal {c}}^{infty} (m)}$

-Liniowy:

${DisplayStyle D_ {fx} t = f.d_ {x} t}$

.

Tym razem pole X W rzeczywistości interweniuje jedynie według wartości do tego stopnia, że ​​obliczenia są dokonywane, ale wybór wyprowadzenia uczyniono składnikami przez pojawienie się współczynników, symbole Christoffela
określony przez

$MMS Slepent w Ples Stady Stoney – Emalpate Em hóe mjoy mjoy momom mjoy homom hjoy hoys$

.
Ogólna ekspresja pochodnej, zawsze dla tensora ( R W S ), weź następujący formularz ^{[[[ 7 ]}

${displayStyle {begin {wyrównany} (nabla _ {e_ {m}} t)^{a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} = & częściowe _ {m} T^{a_ {1} ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} \ &+{gamma^{a_ {1}}} _ {cm} t^{ca_ {2 2 } ldots a_ {r}} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} +ldots +{gamma ^{a_ {r}}} _ {cm} t ^{a_ {1} a_ {2} ldots c} {} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} \ &-{gamma ^{c}} _ {b_ {1} m} t ^{a_ {1} a_ {2} ldots a_ {r} } {} _ {cldots b_ {s}} -ldots -{gamma ^{c}} _ {b_ {s} m} t ^{a_ {1} a_ {2} ldots a_ {r}} {} _ { B_ {1} ldots c} .end {wyrównany}}}$

Istnieją geometryczne sposoby sformułowania tego wyboru: koncepcja transportu równoległego dla wektorów lub wybór poprzecznego „poziomego włókna” do włókien do włókien ^{[[[ 8 ]} .

Obliczanie kolejnych kowariantów obejmuje dodatkowe ^{[[[ 9 ]}

${DisplayStyle t^{nabla} (x, y) = nabla _ {x} y-nabla _ {y} x- [x, y],}$

${DisplayStyle r_ {x, y}^{nabla} z = nabla _ {x} nabla _ {y} z-nabla _ {y} nabla _ {x} z-n-nka _ {[x, y]} z.}}$

W obecności dodatkowej struktury geometrycznej może wystąpić naturalnie powiązany wybór połączenia. Jeśli na przykład mamy metrykę Riemanniana, to połączenie Levi-Civita odgrywa tę rolę: szanuje tensor metryczny i nie ma skrętu. Zatem na odmianie Riemannian występuje prawdziwe obliczenia różnicowe wewnętrzny Lub absolutny na tensorach, które można prowadzić do każdej wyprowadzenia i w którym objawia się krzywizna ^{[[[ dziesięć ]} .

Przypadek form różnicowych [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Różnicowe formy stopnia k identyfikować się z tensorami typu anty -użytkownika (0, k) . W tym konkretnym przypadku, w przeciwieństwie do ogólnych tensorów, istnieje kanonicznie zdefiniowany operator różnicowania, pochodna zewnętrzna.

1. ↑ ^{A et b} Par Exemple Dans Kolář, Michor et Slovák 1993, P. sześćdziesiąt jeden
2. ↑ Kolář, Michor et Slovák 1993, 7.3 P. 63
3. ↑ Emmanuel Plaut, Obliczenia tyczenkowe i różnicowe: narzędzie matematyczne , Nancy, 68 P. , Strona 13
4. ↑ ^{A et b} (W) Jürgen Jost W Geometria riemanniana i analiza geometryczna W 2002 [Szczegóły wydań] , P. 48-49
5. ↑ Doubrovine, Fomenko et Novikov 1984, sekcja 23.3.1
6. ↑ Kolář, Michor Et Slovák 1993, 6.20 P. 60
7. ↑ (W) T. Frankel, Geometria fizyki , Cambridge University Press, 2012 (ISBN 978-1107-602601 ) W P. 299
8. ↑ (W) Jürgen Jost W Geometria riemanniana i analiza geometryczna W 2002 [Szczegóły wydań] , P. 101-104
9. ↑ (W) Jürgen Jost W Geometria riemanniana i analiza geometryczna W 2002 [Szczegóły wydań] Definicja 3.3.1. P. 127.
10. ↑ (W) Marcel Berger, Panoramiczny widok geometrii Riemannian W 2003 [Szczegóły edycji] Sekcja 15.3 P. 197

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

• Boris Doubrovine (z) , Anatoli Fomenko i Siergei Novikow, Współczesna geometria – metody i zastosowania W 1984 [Szczegóły wydań] , Część I, rozdziały 3 i 4
• (W) Ivan Kołodziej , Piotr Michor i Jan słowacki W Naturalne operatory w geometrii różnicowej , Springer-Verlag, 1993 , PDF ( Czytaj online )

Link zewnętrzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Obliczenia Tensoriel na stronie nauk przyrodniczych

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]