Algebraiczna całość – Wikipedia
W matematyce, a Algebraiczna całość jest elementem ciała liczb, który odgrywa rolę analogiczną do roli względnej liczby całkowitej w ciele racjonalnych liczb. Badanie liczb całkowitych algebraicznych jest podstawą arytmetyki liczby liczb i uogólnienia w tych organach pojęć, takich jak liczba pierwotna lub podział euklidesowy. Z definicji liczba całkowita algebraiczna jest źródłem jednolitego wielomianu o współczynnikach w ℤ. Na przykład numer 1 + √ 3 jest liczbą całkowitą algebraiczną, ponieważ jest źródłem jednolitego wielomianu z całymi współczynnikami X 2 – 2 X – 2. Liczba formularza A + B I Lub A I B są względne w całości i gdzie I wyznacza korzeń wielomianowy X 2 + 1 są również szczególnymi liczbami całkowitych algebraicznych; Nazywane są całą Gauss.
Ta definicja pojawiła się podczas Xix To jest Century, w szczególności w pracy Richarda Dedekind, ponieważ daje odpowiednie pojęcie do rozwoju arytmetyki w ciałach liczb.
Kolejnym zastosowaniem tych liczb jest rozdzielczość równań diofantyjskich, to znaczy od równań wielomianowych do współczynników w liczbach całkowitych i których poszukiwanych jest całe rozwiązania. Przykładami są twierdzenie dwóch kwadratów Fermat, najnowsze twierdzenie Fermata lub równanie Pell-Fermat. Ponadto zrozumienie struktury pierścienia całości umożliwia lepsze zrozumienie oryginalnego ciała. Techniki opracowane w celu opisania właściwości takich pierścieni są wykorzystywane do wykazania podstawowych twierdzeń na liczbach takich jak Kronecker-Weber.
Algebraiczna liczba całkowita jest korzeniem jednolitego wielomianu o współczynnikach w ℤ.
Liczba całkowita algebraiczna tworzą pierścień: suma, różnica lub iloczyn dwóch algebraicznych całości jest nadal liczbą całkowitą algebraiczną.
Przecięcie tego pierścienia (do pracy, unifère) integruje się z pod-ciała K ℂ nazywa się dzyń dzyń z K , często zauważane O K .
Algebraiczna liczba całkowita jest w szczególności liczbą algebraiczną. Jako taki, generuje ciało liczb, to znaczy skończone rozszerzenie ciała ℚ racjonalne. Ale nie wszystkie liczby algebraiczne są algebraiczne (na przykład 1/2 jest algebraiczne, ale nie całe). Dla dowolnej liczby algebraicznej α, minimalny wielomian P :
- α jest liczbą całkowitą algebraiczną i tylko wtedy P jest przy współczynniku w ℤ;
- Jest liczba całkowita N > 0 takie N α jest liczbą całkowitą algebraiczną (po prostu weź to N produkt mianowników współczynników P ).
Pojęcie całego algebraika jest szczególnym przypadkiem całych elementów w rozszerzeniu pierścieni:
Zatem pierścień liczb całkowitych algebraicznych jest pełnym zamknięciem ℤ w ℂ i pierścieniem całego sub-ciała K ℂ jest pełnym zamknięciem ℤ w K.
Względny całość [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Ciało frakcji pierścienia ℤ jest ciało ℚ, a pierścień całego ℚ to ℤ, innymi słowy:
Jedynymi racjonalnymi ludźmi, którzy są całością algebraiczną, są względne całość.
Lub ponownie: pierścień ℤ jest w pełni zamknięty. (Bardziej ogólnie, każdy pierścień współczynnika jest w pełni zamknięty.)
Gauss Liczba całkowita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Pierścień ℤ [ I ] Liczby całkowite Gaussa to podnary ℂ złożone z liczby formy A + B I z A I B względny całość. Jego ciało frakcji to ciało ℚ ( I ) Gauss racjonalny, złożony z kompleksów postaci α + β I gdzie α i β są liczbami wymiernymi.
Pierścień całego ℚ ( I ) jest ℤ [ I ].
Znowu ten pierścień jest w pełni zamknięty. W rzeczywistości, podobnie jak ℤ, czynnik, ponieważ główny, a nawet euklidesowy.
Cały Gauss jest używany do rozwiązywania niektórych równań diofantyjskich, takich jak zastąpienie twierdzenia dwóch kwadratów Fermat.
Kwadratowa całość [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Pierścień całego Gaussa jest prototypowym pierścieniem liczb całkowitych korpusu kwadratowego, to znaczy o korpusie formy ℚ ( √ D ) dla pewnej względnej liczby całkowitej D Bez współczynnika kwadratowego. W przypadku gdzie D jest negatywny, notacja √ D , specyficzne dla tego kontekstu i skomentowane w dwóch szczegółowych artykułach, określa czystą wyobraźnię I √ |. D |. ; Zatem liczby całkowite Gaussa odpowiadają sprawie D = –1. Ale dla innych wartości D , Jak D = 5, pierścień całego ℚ ( √ D ) nie jest redukowane do ℤ [ √ D ]. Dokładniej :
Pierścień O ℚ ( √ D ) liczby całkowite korpus kwadratowego ℚ ( √ D ) jest ℤ [ω], gdzie liczba złożona ω jest zdefiniowana przez:
Ciało ułamków tego pierścienia, a także każdy A ściśle zawierające ℤ, jest równe ℚ ( √ D ) i pełne zamknięcie A W ℚ ( √ D ) Wschód O ℚ ( √ D ) ( por. § „Całkowicie zamknięty pierścień” poniżej). Dlatego O ℚ ( √ D ) jest, jak ℤ, w pełni zamknięty, ale nie ma pierścienia pośredniego. Te pierścienie pośrednie nie są czynnikiem Fortiori (a zatem nie maen): we wszystkich tych pierścieniach (ponieważ są one noetherian, jak ℤ [ω]), każdy niepodlegany element ma rozkład na produkt elementów nieredukowalnych, ale nie zawsze unikalne unikalne unikalne , Lub, który dochodzi do tego samego, nie zawsze w produkcie elementów podstawowych.
Na przykład, ponieważ –3 jest zgodne z 1 modulo 4, pierścień całego ℚ ( I √ 3 ) to pierścień ℤ [(1 + I √ 3 )/2] f autorstwa Eisensteina (euklidesa i równe ℤ [ J ] I J wyznacza prymitywny korzeń sześcienny urządzenia). Subanary ℤ [ I √ 3 ] nie jest czynnikiem: w tym podnaryjnym cała 4 przyznaje dwa rozkłady na czynniki nieredukowalne:
Nawet pierścień całego ℚ ( √ D ), choć intensywne zamknięte, nie zawsze jest czynnikowe, o czym świadczy przykład D = –5 i twierdzenie Stark-heegnera.
Zainteresowanie pierścienia liczb całkowitych algebraicznych korpusu kwadratowego lub cyklotomicznego lub bardziej ogólnie ciała liczb, leży w jego dodatkowych właściwościach. Są one pochodzące z niektórych demonstracji kwadratowej prawa wzajemności lub innych praw wzajemności (W) i wiele innych twierdzeń [Wymagana precyzja] . Umożliwiają rozwiązanie równań takich jak Pell-Fermat lub niektóre przypadki ostatniego twierdzenia Fermat.
Całkowicie zamknięty pierścień [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Ciało dowolne K to ciało frakcji pierścieniowych O K jego całości i O K jest w pełni zamknięty.
Pierwsza nieruchomość wynika z faktu, że dowolna liczba algebraiczna jest wytwarzana przez liczbę całkowitą algebraiczną przez racjonalne ( por. § „Definicje” powyżej), tak że to K = ℚ O K . Drugi wynika z tego, ponieważ każdy cały element na pierścieniu z algebraicznej całości jest samodzielną liczbą całkowitą ( por. Następstwo 2 artykułu „Cały element”).
Noetherian Properties [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Pierścień całego korpusu liczbowego jest modułem gotowego typu ℤ, poprzez zastosowanie do A = ℤ Poniższej ogólnej właściwości, wykazane w szczegółowym artykule w konkretnym przypadku, wystarczające tutaj, gdzie A jest noetherian i w pełni zamknięty:
Być A Uczciwy pierścionek, K jego ciało ułamków, L oddzielne skończone rozszerzenie K I B pełne zamknięcie A W L. WIĘC B jest A -Moduł typu Ofined.
Wydukamy dwie podstawowe właściwości:
Pierścień liczb całkowitych zbioru liczby stopni D jest ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ D .
Rzeczywiście, ten skończony moduł typu ℤ jest bez skrętny, a zatem wolny i (jak zauważono w poprzedniej sekcji) jego produkt przez ℚ jest równy korpusowi liczb.
(Można użyć innych argumentów:
– w szczegółowym artykule, aby wykazać, że A -Modula jest typu gotowego, faktycznie pokazujemy, że zawiera one isomorficzny submodule do A D i że on sam jest izomorficzny dla podmodelu A D ;
– Lemat na połączonych elementach umożliwia potwierdzenie, że pierścień liczb całkowitych zbioru stopnia D jest dodatkowo izomorficzny do sieci w ℂ D .)
Każdy pierścień całości liczby jest noetheran.
Rzeczywiście, wszelkie submodle gotowego modułu typu ℤ jest typu gotowego lub wynika z twierdzenia bazy Hilberta, że każda gotowa algebra typu na pierścieniu noetherian jest samym pierścieniem noetherian.
Aneau de Dedekind [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Pierścień algebraiczna całej liczby, oprócz tego, że jest w pełni zamknięty i noetheran, weryfikuje, że wszystkie jego niezerowe pierwsze ideały są maksymalne, co czyni go pierścieniem dedeekind.
Niniejsza właściwość została wykazana (§ „Algebraiczna całość”) i uogólniona (§ „zakończone rozszerzenie”) w szczegółowym artykule.
Grupa jednostek [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
- Bourbaki, Elementy matematyki, algebra przemienna
- G. H. Wytrzymały i E. M. Wright ( Trad. angielskiego autorstwa François Sauvageot, Pref. Catherine Goldstein), Wprowadzenie do teorii liczb , Paris/Heidelberg, Vuibert-Springer, , 568 P. (ISBN 978-2-7117-7168-4 )
- (W) Kenneth Irlandia i Michael Rosen W Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb , Springer, coll. «GTM» ( N O 84), ( ROMPR. 1998), 2 To jest wyd. , 389 P. (ISBN 978-0-387-97329-6 W Czytaj online )
- Pierre Samuel W Albate Teoria liczb [Szczegóły edycji]
- Jean-Pierre Serre, Kurs arytmetyczny W [Szczegóły wydań]
Linki zewnętrzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]
Recent Comments