[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/algebraiczna-calosc-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/algebraiczna-calosc-wikipedia\/","headline":"Algebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107 – Wikipedia","name":"Algebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107 – Wikipedia","description":"before-content-x4 W matematyce, a Algebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107 jest elementem cia\u0142a liczb, kt\u00f3ry odgrywa rol\u0119 analogiczn\u0105 do roli wzgl\u0119dnej liczby ca\u0142kowitej w","datePublished":"2022-03-07","dateModified":"2022-03-07","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/67f051a3542fa0c6797f7a4179a21effd5c607d1","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/67f051a3542fa0c6797f7a4179a21effd5c607d1","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/algebraiczna-calosc-wikipedia\/","wordCount":3509,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4W matematyce, a Algebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107 jest elementem cia\u0142a liczb, kt\u00f3ry odgrywa rol\u0119 analogiczn\u0105 do roli wzgl\u0119dnej liczby ca\u0142kowitej w ciele racjonalnych liczb. Badanie liczb ca\u0142kowitych algebraicznych jest podstaw\u0105 arytmetyki liczby liczb i uog\u00f3lnienia w tych organach poj\u0119\u0107, takich jak liczba pierwotna lub podzia\u0142 euklidesowy. Z definicji liczba ca\u0142kowita algebraiczna jest \u017ar\u00f3d\u0142em jednolitego wielomianu o wsp\u00f3\u0142czynnikach w \u2124. Na przyk\u0142ad numer 1 + \u221a 3 jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 algebraiczn\u0105, poniewa\u017c jest \u017ar\u00f3d\u0142em jednolitego wielomianu z ca\u0142ymi wsp\u00f3\u0142czynnikami X 2 – 2 X – 2. Liczba formularza A + B I Lub A I B s\u0105 wzgl\u0119dne w ca\u0142o\u015bci i gdzie I wyznacza korze\u0144 wielomianowy X 2 + 1 s\u0105 r\u00f3wnie\u017c szczeg\u00f3lnymi liczbami ca\u0142kowitych algebraicznych; Nazywane s\u0105 ca\u0142\u0105 Gauss.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Ta definicja pojawi\u0142a si\u0119 podczas Xix To jest Century, w szczeg\u00f3lno\u015bci w pracy Richarda Dedekind, poniewa\u017c daje odpowiednie poj\u0119cie do rozwoju arytmetyki w cia\u0142ach liczb.Kolejnym zastosowaniem tych liczb jest rozdzielczo\u015b\u0107 r\u00f3wna\u0144 diofantyjskich, to znaczy od r\u00f3wna\u0144 wielomianowych do wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w w liczbach ca\u0142kowitych i kt\u00f3rych poszukiwanych jest ca\u0142e rozwi\u0105zania. Przyk\u0142adami s\u0105 twierdzenie dw\u00f3ch kwadrat\u00f3w Fermat, najnowsze twierdzenie Fermata lub r\u00f3wnanie Pell-Fermat. Ponadto zrozumienie struktury pier\u015bcienia ca\u0142o\u015bci umo\u017cliwia lepsze zrozumienie oryginalnego cia\u0142a. Techniki opracowane w celu opisania w\u0142a\u015bciwo\u015bci takich pier\u015bcieni s\u0105 wykorzystywane do wykazania podstawowych twierdze\u0144 na liczbach takich jak Kronecker-Weber.   Algebraiczna liczba ca\u0142kowita jest korzeniem jednolitego wielomianu o wsp\u00f3\u0142czynnikach w \u2124.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Liczba ca\u0142kowita algebraiczna tworz\u0105 pier\u015bcie\u0144: suma, r\u00f3\u017cnica lub iloczyn dw\u00f3ch algebraicznych ca\u0142o\u015bci jest nadal liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 algebraiczn\u0105. Przeci\u0119cie tego pier\u015bcienia (do pracy, unif\u00e8re) integruje si\u0119 z pod-cia\u0142a K \u2102 nazywa si\u0119 dzy\u0144 dzy\u0144 z K , cz\u0119sto zauwa\u017cane O K . Algebraiczna liczba ca\u0142kowita jest w szczeg\u00f3lno\u015bci liczb\u0105 algebraiczn\u0105. Jako taki, generuje cia\u0142o liczb, to znaczy sko\u0144czone rozszerzenie cia\u0142a \u211a racjonalne. Ale nie wszystkie liczby algebraiczne s\u0105 algebraiczne (na przyk\u0142ad 1\/2 jest algebraiczne, ale nie ca\u0142e). Dla dowolnej liczby algebraicznej \u03b1, minimalny wielomian P : \u03b1 jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 algebraiczn\u0105 i tylko wtedy P jest przy wsp\u00f3\u0142czynniku w \u2124; Jest liczba ca\u0142kowita N > 0 takie N \u03b1 jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 algebraiczn\u0105 (po prostu we\u017a to N produkt mianownik\u00f3w wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w P ). Poj\u0119cie ca\u0142ego algebraika jest szczeg\u00f3lnym przypadkiem ca\u0142ych element\u00f3w w rozszerzeniu pier\u015bcieni:        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Zatem pier\u015bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych algebraicznych jest pe\u0142nym zamkni\u0119ciem \u2124 w \u2102 i pier\u015bcieniem ca\u0142ego sub-cia\u0142a K \u2102 jest pe\u0142nym zamkni\u0119ciem \u2124 w K.  Table of ContentsWzgl\u0119dny ca\u0142o\u015b\u0107 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Gauss Liczba ca\u0142kowita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Kwadratowa ca\u0142o\u015b\u0107 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ca\u0142kowicie zamkni\u0119ty pier\u015bcie\u0144 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Noetherian Properties [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Aneau de Dedekind [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Grupa jednostek [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Powi\u0105zane artyku\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Linki zewn\u0119trzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Wzgl\u0119dny ca\u0142o\u015b\u0107 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Cia\u0142o frakcji pier\u015bcienia \u2124 jest cia\u0142o \u211a, a pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego \u211a to \u2124, innymi s\u0142owy: Jedynymi racjonalnymi lud\u017ami, kt\u00f3rzy s\u0105 ca\u0142o\u015bci\u0105 algebraiczn\u0105, s\u0105 wzgl\u0119dne ca\u0142o\u015b\u0107. Lub ponownie: pier\u015bcie\u0144 \u2124 jest w pe\u0142ni zamkni\u0119ty. (Bardziej og\u00f3lnie, ka\u017cdy pier\u015bcie\u0144 wsp\u00f3\u0142czynnika jest w pe\u0142ni zamkni\u0119ty.) Gauss Liczba ca\u0142kowita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pier\u015bcie\u0144 \u2124 [ I ] Liczby ca\u0142kowite Gaussa to podnary \u2102 z\u0142o\u017cone z liczby formy A + B I z A I B wzgl\u0119dny ca\u0142o\u015b\u0107. Jego cia\u0142o frakcji to cia\u0142o \u211a ( I ) Gauss racjonalny, z\u0142o\u017cony z kompleks\u00f3w postaci \u03b1 + \u03b2 I gdzie \u03b1 i \u03b2 s\u0105 liczbami wymiernymi. Pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego \u211a ( I ) jest \u2124 [ I ]. Znowu ten pier\u015bcie\u0144 jest w pe\u0142ni zamkni\u0119ty. W rzeczywisto\u015bci, podobnie jak \u2124, czynnik, poniewa\u017c g\u0142\u00f3wny, a nawet euklidesowy. Ca\u0142y Gauss jest u\u017cywany do rozwi\u0105zywania niekt\u00f3rych r\u00f3wna\u0144 diofantyjskich, takich jak zast\u0105pienie twierdzenia dw\u00f3ch kwadrat\u00f3w Fermat. Kwadratowa ca\u0142o\u015b\u0107 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego Gaussa jest prototypowym pier\u015bcieniem liczb ca\u0142kowitych korpusu kwadratowego, to znaczy o korpusie formy \u211a ( \u221a D ) dla pewnej wzgl\u0119dnej liczby ca\u0142kowitej D Bez wsp\u00f3\u0142czynnika kwadratowego. W przypadku gdzie D jest negatywny, notacja \u221a D , specyficzne dla tego kontekstu i skomentowane w dw\u00f3ch szczeg\u00f3\u0142owych artyku\u0142ach, okre\u015bla czyst\u0105 wyobra\u017ani\u0119 I \u221a |. D |. ; Zatem liczby ca\u0142kowite Gaussa odpowiadaj\u0105 sprawie D = \u20131. Ale dla innych warto\u015bci D , Jak D = 5, pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego \u211a ( \u221a D ) nie jest redukowane do \u2124 [ \u221a D ]. Dok\u0142adniej : Pier\u015bcie\u0144 O \u211a ( \u221a D ) liczby ca\u0142kowite korpus kwadratowego \u211a ( \u221a D ) jest \u2124 [\u03c9], gdzie liczba z\u0142o\u017cona \u03c9 jest zdefiniowana przez: Oh = 1+d2I D \u2261 Pierwszy przeciwko 4 I Oh = dW przeciwnym razie. {displayStyle omega = {frac {1+ {sqrt {d}}} {2}} {text {si}} dequiv 1 {Mod}} 4quad {et}} quad omega = {sqrt {d}}}}}}}}}}}}}}}} {Text {sinon.}}} Cia\u0142o u\u0142amk\u00f3w tego pier\u015bcienia, a tak\u017ce ka\u017cdy A \u015bci\u015ble zawieraj\u0105ce \u2124, jest r\u00f3wne \u211a ( \u221a D ) i pe\u0142ne zamkni\u0119cie A W \u211a ( \u221a D ) Wsch\u00f3d O \u211a ( \u221a D ) ( por. \u00a7 \u201eCa\u0142kowicie zamkni\u0119ty pier\u015bcie\u0144\u201d poni\u017cej). Dlatego O \u211a ( \u221a D ) jest, jak \u2124, w pe\u0142ni zamkni\u0119ty, ale nie ma pier\u015bcienia po\u015bredniego. Te pier\u015bcienie po\u015brednie nie s\u0105 czynnikiem Fortiori (a zatem nie maen): we wszystkich tych pier\u015bcieniach (poniewa\u017c s\u0105 one noetherian, jak \u2124 [\u03c9]), ka\u017cdy niepodlegany element ma rozk\u0142ad na produkt element\u00f3w nieredukowalnych, ale nie zawsze unikalne unikalne unikalne , Lub, kt\u00f3ry dochodzi do tego samego, nie zawsze w produkcie element\u00f3w podstawowych. Na przyk\u0142ad, poniewa\u017c \u20133 jest zgodne z 1 modulo 4, pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego \u211a ( I \u221a 3 ) to pier\u015bcie\u0144 \u2124 [(1 + I \u221a 3 )\/2] f autorstwa Eisensteina (euklidesa i r\u00f3wne \u2124 [ J ] I J wyznacza prymitywny korze\u0144 sze\u015bcienny urz\u0105dzenia). Subanary \u2124 [ I \u221a 3 ] nie jest czynnikiem: w tym podnaryjnym ca\u0142a 4 przyznaje dwa rozk\u0142ady na czynniki nieredukowalne:  4 = 2 \u00d7 2 = ( Pierwszy + I 3 ) ( Pierwszy – I 3 ) . {DisplayStyle 4 = 2Times 2 = (1+Mathrm {i} {sqrt {3}}) (1-Mathrm {i} {sqrt {3}}).}  Nawet pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego \u211a ( \u221a D ), cho\u0107 intensywne zamkni\u0119te, nie zawsze jest czynnikowe, o czym \u015bwiadczy przyk\u0142ad D = \u20135 i twierdzenie Stark-heegnera. Zainteresowanie pier\u015bcienia liczb ca\u0142kowitych algebraicznych korpusu kwadratowego lub cyklotomicznego lub bardziej og\u00f3lnie cia\u0142a liczb, le\u017cy w jego dodatkowych w\u0142a\u015bciwo\u015bciach. S\u0105 one pochodz\u0105ce z niekt\u00f3rych demonstracji kwadratowej prawa wzajemno\u015bci lub innych praw wzajemno\u015bci (W) i wiele innych twierdze\u0144 [Wymagana precyzja] . Umo\u017cliwiaj\u0105 rozwi\u0105zanie r\u00f3wna\u0144 takich jak Pell-Fermat lub niekt\u00f3re przypadki ostatniego twierdzenia Fermat. Ca\u0142kowicie zamkni\u0119ty pier\u015bcie\u0144 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Cia\u0142o dowolne K to cia\u0142o frakcji pier\u015bcieniowych O K jego ca\u0142o\u015bci i O K jest w pe\u0142ni zamkni\u0119ty. Pierwsza nieruchomo\u015b\u0107 wynika z faktu, \u017ce dowolna liczba algebraiczna jest wytwarzana przez liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 algebraiczn\u0105 przez racjonalne ( por. \u00a7 \u201eDefinicje\u201d powy\u017cej), tak \u017ce to K = \u211a O K . Drugi wynika z tego, poniewa\u017c ka\u017cdy ca\u0142y element na pier\u015bcieniu z algebraicznej ca\u0142o\u015bci jest samodzieln\u0105 liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 ( por. Nast\u0119pstwo 2 artyku\u0142u \u201eCa\u0142y element\u201d). Noetherian Properties [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pier\u015bcie\u0144 ca\u0142ego korpusu liczbowego jest modu\u0142em gotowego typu \u2124, poprzez zastosowanie do A = \u2124 Poni\u017cszej og\u00f3lnej w\u0142a\u015bciwo\u015bci, wykazane w szczeg\u00f3\u0142owym artykule w konkretnym przypadku, wystarczaj\u0105ce tutaj, gdzie A jest noetherian i w pe\u0142ni zamkni\u0119ty: By\u0107 A Uczciwy pier\u015bcionek, K jego cia\u0142o u\u0142amk\u00f3w, L oddzielne sko\u0144czone rozszerzenie K I B pe\u0142ne zamkni\u0119cie A W L. WI\u0118C B jest A -Modu\u0142 typu Ofined.  Wydukamy dwie podstawowe w\u0142a\u015bciwo\u015bci: Pier\u015bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych zbioru liczby stopni D jest \u2124 \u2124 \u2124 \u2124 \u2124 \u2124 \u2124 D . Rzeczywi\u015bcie, ten sko\u0144czony modu\u0142 typu \u2124 jest bez skr\u0119tny, a zatem wolny i (jak zauwa\u017cono w poprzedniej sekcji) jego produkt przez \u211a jest r\u00f3wny korpusowi liczb. (Mo\u017cna u\u017cy\u0107 innych argument\u00f3w: – w szczeg\u00f3\u0142owym artykule, aby wykaza\u0107, \u017ce A -Modula jest typu gotowego, faktycznie pokazujemy, \u017ce zawiera one isomorficzny submodule do A D i \u017ce on sam jest izomorficzny dla podmodelu A D ; – Lemat na po\u0142\u0105czonych elementach umo\u017cliwia potwierdzenie, \u017ce pier\u015bcie\u0144 liczb ca\u0142kowitych zbioru stopnia D jest dodatkowo izomorficzny do sieci w \u2102 D .)  Ka\u017cdy pier\u015bcie\u0144 ca\u0142o\u015bci liczby jest noetheran. Rzeczywi\u015bcie, wszelkie submodle gotowego modu\u0142u typu \u2124 jest typu gotowego lub wynika z twierdzenia bazy Hilberta, \u017ce \u200b\u200bka\u017cda gotowa algebra typu na pier\u015bcieniu noetherian jest samym pier\u015bcieniem noetherian.  Aneau de Dedekind [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pier\u015bcie\u0144 algebraiczna ca\u0142ej liczby, opr\u00f3cz tego, \u017ce jest w pe\u0142ni zamkni\u0119ty i noetheran, weryfikuje, \u017ce wszystkie jego niezerowe pierwsze idea\u0142y s\u0105 maksymalne, co czyni go pier\u015bcieniem dedeekind. Niniejsza w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 zosta\u0142a wykazana (\u00a7 \u201eAlgebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107\u201d) i uog\u00f3lniona (\u00a7 \u201ezako\u0144czone rozszerzenie\u201d) w szczeg\u00f3\u0142owym artykule. Grupa jednostek [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Powi\u0105zane artyku\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Bourbaki, Elementy matematyki, algebra przemienna G. H. Wytrzyma\u0142y i E. M. Wright ( Trad. angielskiego autorstwa Fran\u00e7ois Sauvageot, Pref. Catherine Goldstein), Wprowadzenie do teorii liczb , Paris\/Heidelberg, Vuibert-Springer, 2007 , 568 P.  (ISBN 978-2-7117-7168-4 ) (W) Kenneth Irlandia i Michael Rosen W Klasyczne wprowadzenie do wsp\u00f3\u0142czesnej teorii liczb , Springer, coll. \u00abGTM\u00bb ( N O 84), 1990 ( ROMPR. 1998), 2 To jest  wyd. , 389 P.  (ISBN 978-0-387-97329-6 W Czytaj online ) Pierre Samuel W Albate Teoria liczb  [Szczeg\u00f3\u0142y edycji] Jean-Pierre Serre, Kurs arytmetyczny W 1970 [Szczeg\u00f3\u0142y wyda\u0144] Linki zewn\u0119trzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/algebraiczna-calosc-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Algebraiczna ca\u0142o\u015b\u0107 – Wikipedia"}}]}]