Borel Zero-One LEW-Wikipedia

. Borowe prawo zero jednego został opublikowany w 1909 roku w artykule Policzalne prawdopodobieństwa i ich zastosowania arytmetyczne ^{[[[ Pierwszy ]}, przez Émile Borel, w celu wykazania twierdzenia o normalnych liczbach i z widokiem na zastosowania do właściwości frakcji ciągłych. Nieco później Cantelli zauważyłby i użył faktu, że dla jednego z dwóch zmysłów ^{[Co ?]}, Hipoteza niezależności jest zbędna, co prowadzi do lematu Borela-Cantelli, o wspólnym zastosowaniu prawdopodobieństw: flagowy przykład jest z pewnością demonstracją Kolmogorowa, silnego prawa dużej liczby.

W probabilizowanej przestrzeni

{DisplayStyle lewy (omega, {Mathcal {A}}, Mathbb {p} right),}

${displaystyle left(Omega ,{mathcal {A}},mathbb {P} right),}$ Rozważ kontynuację

after-content-x4

{DisplayStyle (a_ {n}) _ {ngeq 0}}}

${displaystyle (A_{n})_{ngeq 0}}$ elementy

{DisplayStyle {Mathcal {A}}}

${mathcal {A}}$ (lub „wydarzenia”). Prawo Borela o zero jeden stanowi, że:

Borowe prawo zero jednego – Jeśli zdarzenia

{DisplayStyle A_ {n}}

Demonstracja

Jeśli ogólna seria terminu ${DisplayStyle Mathbb {p} (a_ {n})}$

W tym sensie hipoteza niezależności jest zbędna.

Załóżmy, że ogólna seria terminu ${DisplayStyle Mathbb {p} (a_ {n})}$

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (limsup _ {n} a_ {n} right) = 1,}

lub, w równoważny sposób, pokażmy to

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej ({Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} right) = 0.}

Pamiętamy to

{DisplayStyle {Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} = liminf _ {n} {Overline {a_ {n}}}},},}

Zgodnie z prawem de Morgana. Dokładniej,

{displayStyle {begin {wyrównany} {Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} & = {Overline {bigcap _ {ngeq 0} bigCup _ {kgeq n} a_ {k}}} \ & = bigCup _ { ngeq 0} bigcap _ {kgeq n} {Overline {a_ {k}}} \ & = bigCup _ {ngeq 0} b_ {n}, end {wyrównany}}}

Lub

{DisplayStyle B_ {n} = bigcap _ {kgeq n} {Overline {a_ {k}}} = {Overline {a_ {n}}} cap b_ {n+1}}}}}}}}}}

jest kontynuacją rozwój z wydarzeń. Więc

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej ({Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} right) = lim _ {n} mathbb {p} po lewej (b_ {n} po prawej).}

Kończymy, pokazując to

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (B_ {n} right) = 0}

${displaystyle mathbb {P} left(B_{n}right)=0}$ . Zapytajmy

{DisplayStyle B_ {n, ell} = bigcap _ {nleq kleq n+ell} {Overline {a_ {k}}} = {Overline {a_ {n+ell}} cap b_ {n, ell -1}.}}

Pod niezależnością

{DisplayStyle A_ {i},}

${displaystyle A_{i},}$

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (b_ {n, ell} right) = srod _ {nleq kleq n+ell} mathbb {p} lewy ({Overline {a_ {k}}} right) = sod _ {nleq kleq n +ell} po lewej (1-MATHBB {p} lewy (a_ {k} w prawo).}

Zgodnie z spadkiem

{DisplayStyle ELL}

$ell$ z

{DisplayStyle B_ {n, ell},}

${displaystyle B_{n,ell },}$

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (b_ {n} right) = lim _ {ell} mathbb {p} lewy (b_ {n, ell} right).}

Lub na:

{displayStyle {begin {wyrównany} mathbb {p} lewy (b_ {n, ell} right) & = srod _ {k = n}^{n+ell} lewy (1-Mathbb {p} po lewej (a_ {k} po prawej) \ & leq srod _ {k = n}^{n+ell} exp lewy (-mathbb {p} lewy (a_ {k} prawy) prawy) \ & = exp lewy (-sum _ {k = n }^{n+ell} mathbb {p} lewy (a_ {k} right) right) {Underset {ell rightarrow infty} {longrightarrow}} 0end {wyrównany}}}

przez wypukłość wykładniczej, a następnie rozbieżności z ogólnej serii terminów

{DisplayStyle Mathbb {p} lewy (a_ {n} right),}

${displaystyle mathbb {P} left(A_{n}right),}$ Który kończy demonstrację.

Innymi słowy, możemy to powiedzieć

{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}}

${displaystyle textstyle omega in limsup _{n},A_{n}}$ Jeśli i tylko wtedy, gdy całość

{DisplayStyle {kgeq 0 vert omega in a_ {k}}}

${displaystyle {kgeq 0 vert omega in A_{k}}}$ Wschód nieskończoność , Lub niezniszczalne . Równoważne sformułowanie jest następujące: dla wszystkiego

{DisplayStyle ngeq 0}

$ngeq 0$ , możemy znaleźć

{DisplayStyle Kgeq n}

$kge n$ Jak na przykład

{DisplayStyle Omega w A_ {K}}

${displaystyle omega in A_{k}}$ . To ostatnie sformułowanie zapewnia wygodne zapisywanie górnej granicy zestawów za pomocą podstawowych operacji na zestawach:

{DisplayStyle limsup _ {n} a_ {n} = bigcap _ {ngeq 0} (bigCup _ {kgeq n} a_ {k}).}

Pod wpływem terminologii anglosaskiej, czasami będzie to również powiedziane

{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}}

${displaystyle textstyle omega in limsup _{n},A_{n}}$ wtedy i tylko wtedy gdy

{DisplayStyle {omega in a_ {k}}}

${displaystyle {omega in A_{k}}}$ ” często ” Lub ” nieskończenie często „Stąd ocena napotkana w niektórych pracach:

{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (limsup _ {n} a_ {n} right) = mathbb {p} lewy (a_ {n} quad {i.o.}} right).}

Definicja ”

{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}}

${displaystyle textstyle omega in limsup _{n},A_{n}}$ wtedy i tylko wtedy gdy

{DisplayStyle Omega}

$omega$ należy do nieskończoności

{DisplayStyle A_ {K}}

$A_k$ „Może wprowadzić w błąd: jeśli na przykład wszystkie strony

{DisplayStyle A_ {K}}

$A_k$ są równe, może być tak

{DisplayStyle Omega}

$omega$ należeć do

{DisplayStyle A_ {K}}

$A_k$ Dla nieskończoności wskazówek

{DisplayStyle K}

$k$ , i może to być tak

{DisplayStyle Omega}

$omega$ należeć do

{DisplayStyle Tekst Style Limsup _ {n}, A_ {n},}

${displaystyle textstyle limsup _{n},A_{n},}$ bez

{DisplayStyle Omega}

$omega$ należy do nieskończoności

{DisplayStyle A_ {K}}

$A_k$ (Ponieważ jest w zasadzie tylko jeden

{DisplayStyle A_ {K}}

$A_k$ ).

Borel Zero-One LEW-Wikipedia

Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Połączone strony [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta