[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/borel-zero-one-lew-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/borel-zero-one-lew-wikipedia\/","headline":"Borel Zero-One LEW-Wikipedia","name":"Borel Zero-One LEW-Wikipedia","description":"before-content-x4 Artyku\u0142 w Wikipedii, Free L’Encyclop\u00e9i. after-content-x4 W przypadku element\u00f3w homonimicznych patrz Borel. after-content-x4 . Borowe prawo zero jednego zosta\u0142","datePublished":"2023-03-23","dateModified":"2023-03-23","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/38\/Info_Simple.svg\/12px-Info_Simple.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/38\/Info_Simple.svg\/12px-Info_Simple.svg.png","height":"12","width":"12"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/borel-zero-one-lew-wikipedia\/","wordCount":7919,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Artyku\u0142 w Wikipedii, Free L’Encyclop\u00e9i.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4W przypadku element\u00f3w homonimicznych patrz Borel.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4. Borowe prawo zero jednego zosta\u0142 opublikowany w 1909 roku w artykule Policzalne prawdopodobie\u0144stwa i ich zastosowania arytmetyczne [[[ Pierwszy ] , przez \u00c9mile Borel, w celu wykazania twierdzenia o normalnych liczbach i z widokiem na zastosowania do w\u0142a\u015bciwo\u015bci frakcji ci\u0105g\u0142ych. Nieco p\u00f3\u017aniej Cantelli zauwa\u017cy\u0142by i u\u017cy\u0142 faktu, \u017ce dla jednego z dw\u00f3ch zmys\u0142\u00f3w [Co ?] , Hipoteza niezale\u017cno\u015bci jest zb\u0119dna, co prowadzi do lematu Borela-Cantelli, o wsp\u00f3lnym zastosowaniu prawdopodobie\u0144stw: flagowy przyk\u0142ad jest z pewno\u015bci\u0105 demonstracj\u0105 Kolmogorowa, silnego prawa du\u017cej liczby.   W probabilizowanej przestrzeni ( \u03a9,A,P) W {DisplayStyle lewy (omega, {Mathcal {A}}, Mathbb {p} right),} Rozwa\u017c kontynuacj\u0119        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4( A n) n\u22650{DisplayStyle (a_ {n}) _ {ngeq 0}}} elementy A{DisplayStyle {Mathcal {A}}} (lub \u201ewydarzenia\u201d). Prawo Borela o zero jeden stanowi, \u017ce:  Borowe prawo zero jednego – Je\u015bli zdarzenia A n{DisplayStyle A_ {n}} s\u0105 niezale\u017cne P(lim\u2006supnAn){DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (limsup _ {n} a_ {n} right)} jest wart 0 lub 1 w zale\u017cno\u015bci od og\u00f3lnej serii termin\u00f3w P ( A n) {DisplayStyle Mathbb {p} (a_ {n})} jest zbie\u017cne lub rozbie\u017cne. Demonstracja Je\u015bli og\u00f3lna seria terminu P(An){DisplayStyle Mathbb {p} (a_ {n})} jest zatem zbie\u017cne na mocy lemmy Borel-Cantelli, mamy P(lim\u2006supnAn)=0.{displaystyle mathbb {P} left(limsup _{n}A_{n}right)=0.}W tym sensie hipoteza niezale\u017cno\u015bci jest zb\u0119dna. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce og\u00f3lna seria terminu P(An){DisplayStyle Mathbb {p} (a_ {n})} jest rozbie\u017cne i poka\u017cmy to P(lim\u2006supnAn)=1,{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (limsup _ {n} a_ {n} right) = 1,}  lub, w r\u00f3wnowa\u017cny spos\u00f3b, poka\u017cmy to  P(lim\u2006supnAn\u00af)=0.{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej ({Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} right) = 0.}  Pami\u0119tamy to  lim\u2006supnAn\u00af=lim\u2006infn\u00a0An\u00af,{DisplayStyle {Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} = liminf _ {n} {Overline {a_ {n}}}},},}  Zgodnie z prawem de Morgana. Dok\u0142adniej,  lim\u2006supnAn\u00af=\u22c2n\u22650\u22c3k\u2265nAk\u00af=\u22c3n\u22650\u22c2k\u2265nAk\u00af=\u22c3n\u22650Bn,{displayStyle {begin {wyr\u00f3wnany} {Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} & = {Overline {bigcap _ {ngeq 0} bigCup _ {kgeq n} a_ {k}}} \\ & = bigCup _ { ngeq 0} bigcap _ {kgeq n} {Overline {a_ {k}}} \\ & = bigCup _ {ngeq 0} b_ {n}, end {wyr\u00f3wnany}}}  Lub  Bn=\u22c2k\u2265nAk\u00af=An\u00af\u2229Bn+1{DisplayStyle B_ {n} = bigcap _ {kgeq n} {Overline {a_ {k}}} = {Overline {a_ {n}}} cap b_ {n+1}}}}}}}}}}  jest kontynuacj\u0105 rozw\u00f3j z wydarze\u0144. Wi\u0119c  P(lim\u2006supnAn\u00af)=limn\u00a0P(Bn).{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej ({Overline {limsup _ {n} a_ {n}}} right) = lim _ {n} mathbb {p} po lewej (b_ {n} po prawej).}  Ko\u0144czymy, pokazuj\u0105c to P(Bn)=0{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (B_ {n} right) = 0} . Zapytajmy  Bn,\u2113=\u22c2n\u2264k\u2264n+\u2113Ak\u00af=An+\u2113\u00af\u2229Bn,\u2113\u22121.{DisplayStyle B_ {n, ell} = bigcap _ {nleq kleq n+ell} {Overline {a_ {k}}} = {Overline {a_ {n+ell}} cap b_ {n, ell -1}.}}  Pod niezale\u017cno\u015bci\u0105 Ai,{DisplayStyle A_ {i},}   P(Bn,\u2113)=\u220fn\u2264k\u2264n+\u2113P(Ak\u00af)=\u220fn\u2264k\u2264n+\u2113(1\u2212P(Ak)).{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (b_ {n, ell} right) = srod _ {nleq kleq n+ell} mathbb {p} lewy ({Overline {a_ {k}}} right) = sod _ {nleq kleq n +ell} po lewej (1-MATHBB {p} lewy (a_ {k} w prawo).}  Zgodnie z spadkiem \u2113{DisplayStyle ELL} z Bn,\u2113,{DisplayStyle B_ {n, ell},}   P(Bn)=lim\u2113P(Bn,\u2113).{DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (b_ {n} right) = lim _ {ell} mathbb {p} lewy (b_ {n, ell} right).}  Lub na:  P(Bn,\u2113)=\u220fk=nn+\u2113(1\u2212P(Ak))\u2264\u220fk=nn+\u2113exp\u2061(\u2212P(Ak))=exp\u2061(\u2212\u2211k=nn+\u2113P(Ak))\u27f6\u2113\u2192\u221e0{displayStyle {begin {wyr\u00f3wnany} mathbb {p} lewy (b_ {n, ell} right) & = srod _ {k = n}^{n+ell} lewy (1-Mathbb {p} po lewej (a_ {k} po prawej) \\ & leq srod _ {k = n}^{n+ell} exp lewy (-mathbb {p} lewy (a_ {k} prawy) prawy) \\ & = exp lewy (-sum _ {k = n }^{n+ell} mathbb {p} lewy (a_ {k} right) right) {Underset {ell rightarrow infty} {longrightarrow}} 0end {wyr\u00f3wnany}}}  przez wypuk\u0142o\u015b\u0107 wyk\u0142adniczej, a nast\u0119pnie rozbie\u017cno\u015bci z og\u00f3lnej serii termin\u00f3w P(An),{DisplayStyle Mathbb {p} lewy (a_ {n} right),} Kt\u00f3ry ko\u0144czy demonstracj\u0119. Innymi s\u0142owy, mo\u017cemy to powiedzie\u0107 Oh \u2208 lim\u2006supnAn{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}} Je\u015bli i tylko wtedy, gdy ca\u0142o\u015b\u0107 { k \u2265 0  |.  Oh \u2208 A k} {DisplayStyle {kgeq 0 vert omega in a_ {k}}} Wsch\u00f3d niesko\u0144czono\u015b\u0107 , Lub niezniszczalne . R\u00f3wnowa\u017cne sformu\u0142owanie jest nast\u0119puj\u0105ce: dla wszystkiego N \u2265 0 {DisplayStyle ngeq 0} , mo\u017cemy znale\u017a\u0107 k \u2265 N {DisplayStyle Kgeq n} Jak na przyk\u0142ad Oh \u2208 A k{DisplayStyle Omega w A_ {K}} . To ostatnie sformu\u0142owanie zapewnia wygodne zapisywanie g\u00f3rnej granicy zestaw\u00f3w za pomoc\u0105 podstawowych operacji na zestawach:  Lim sup nA n= \u22c2 n\u22650( \u22c3 k\u2265nA k) . {DisplayStyle limsup _ {n} a_ {n} = bigcap _ {ngeq 0} (bigCup _ {kgeq n} a_ {k}).}  Pod wp\u0142ywem terminologii anglosaskiej, czasami b\u0119dzie to r\u00f3wnie\u017c powiedziane Oh \u2208 lim\u2006supnAn{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}} wtedy i tylko wtedy gdy { Oh \u2208 A k} {DisplayStyle {omega in a_ {k}}} ” cz\u0119sto ” Lub ” niesko\u0144czenie cz\u0119sto \u201eSt\u0105d ocena napotkana w niekt\u00f3rych pracach:  P ( lim\u2006supnAn) = P ( Ani.o.) . {DisplayStyle Mathbb {p} po lewej (limsup _ {n} a_ {n} right) = mathbb {p} lewy (a_ {n} quad {i.o.}} right).}  Definicja ” Oh \u2208 lim\u2006supnAn{DisplayStyle Tekst Style Omega in limsup _ {n}, a_ {n}}  wtedy i tylko wtedy gdy Oh {DisplayStyle Omega}  nale\u017cy do niesko\u0144czono\u015bci A k{DisplayStyle A_ {K}} \u201eMo\u017ce wprowadzi\u0107 w b\u0142\u0105d: je\u015bli na przyk\u0142ad wszystkie strony A k{DisplayStyle A_ {K}} s\u0105 r\u00f3wne, mo\u017ce by\u0107 tak Oh {DisplayStyle Omega} nale\u017ce\u0107 do A k{DisplayStyle A_ {K}} Dla niesko\u0144czono\u015bci wskaz\u00f3wek k {DisplayStyle K} , i mo\u017ce to by\u0107 tak Oh {DisplayStyle Omega} nale\u017ce\u0107 do lim\u2006supnAnW {DisplayStyle Tekst Style Limsup _ {n}, A_ {n},} bez Oh {DisplayStyle Omega} nale\u017cy do niesko\u0144czono\u015bci A k{DisplayStyle A_ {K}} (Poniewa\u017c jest w zasadzie tylko jeden A k{DisplayStyle A_ {K}} ). Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Po\u0142\u0105czone strony [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/borel-zero-one-lew-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Borel Zero-One LEW-Wikipedia"}}]}]