Connexion of Koszul – Wikipedia

W geometrii różnicowej a connexion (de Koszul) jest operatorem w sekcjach włókna wektorowego. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Jean-Louis Koszul w 1950 roku ^{[Ref. niezbędny]} I sformalizuj równoległy transport wektorów wzdłuż krzywej pod względem zwykłego równania różniczkowego. Połączenia są obiektami lokalnie zdefiniowanymi, z którymi powiązane są pojęcia krzywizny i skrętu. Jednym z najprostszych przykładów połączeń Koszul bez skrętki jest połączenie Levi-Civita naturalnie zdefiniowanego na włókno stycznej każdej odmiany Riemannian.

Wszystkie połączenia Koszul tworzą prawdziwą przestrzeń do udoskonalenia, której przestrzenią przewodnią jest przestrzeń bazy danych B błonnik I z wartościami na końcu ( I ), włókno wektorowe endomorfizmów I . Połączenie I indukuje połączenia na włóknach zbudowanych z I przez podstawowe operacje algebraiczne (produkt zewnętrzny, produkt tyskowy, …). Korzystanie z połączeń pozwala w szczególności przeprowadzić rozsądne zewnętrzne obliczenia zewnętrzne w sekcjach I . Są one silnie wykorzystywane w analizie.

Albo I Całkowita przestrzeń prawdziwego włókna wektorowego gotowego rzędu o prawdziwej różnorodnej różnorodności B . Połączenie

${displayStyle nabla}$

jest operatorem, który w sekcji globalnej S z I i pole wektorowe X z B , łączy sekcję I odnotowany

${DisplayStyle Nabla _ {x} s}$

Sprawdzanie następujących warunków:

• Liniowość w X : Dla dowolnej funkcji różnicowej F z B z rzeczywistymi wartościami i dla dowolnego pola wektora X z B , na :

${DisplayStyle nabla _ {fx} s = f.nabla _ {x} s}$

.

• Reguła Leibniz : Dla dowolnej funkcji różnicowej F z B z rzeczywistymi wartościami i dla dowolnego pola wektora X z B , na :

${DisplayStyle nabla _ {x} (fs) = df (x) s+fnabla _ {x} s}$

.

Pierwsza właściwość oznacza w szczególności, że wartość

${DisplayStyle Nabla _ {x} s}$

w danym momencie B z B jako funkcja pola wektorowego X Właściwie zależy tylko od X ( B ), wartość X w punkcie B . Jako funkcja S , druga właściwość pokazuje zależność od pierwotnych wariantów w S W B . Zwłaszcza jeśli S to lokalna sekcja I zdefiniowane W I W jest stycznym wektorem B w danym momencie X z W , WIĘC

${DisplayStyle nabla _ {v} s}$

jest dobrze zdefiniowany jako wektor I _X . Gdy I jest włóknem stycznym B , po prostu rozmawiamy o Połączenie (od Koszul) do B Bez dalszych szczegółów. Ogólnie rzecz biorąc, połączenie jest oznaczone przez list

${displayStyle nabla}$

W D Lub D .

Przykład [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Sekcje trywialnego błonnika

${DisplayStyle BTimes Mathbb {r} ^{n}}$

są funkcjami różnicowymi B W R ^N . Błonnik

${DisplayStyle BTimes Mathbb {r} ^{n}}$

Zauważono połączenie Koszul

${DisplayStyle D_ {0}}$

zwany trywialne połączenie Określony przez:

${DisplayStyle d_ {0} 🙁 x, s) mapsto ds (x)}$

.

Oczywiście połączenia Koszul są transportowane przez izomorfizm włókien wektorowych (wrócimy do tego punktu). W szczególności wszystkie trywialne błonnik przyznaje połączenia Koszul. Jednak połączenie to zależy od wybranej trywializacji.

Grupa kłamstw G jest równolegle i dlatego przyznaje połączenia Koszul. Mówiąc dokładniej, wybór podstawy stycznej przestrzeni w neutralnym elemencie indukuje tłumaczenie po lewej stronie TG ; Dlatego mamy połączenie Koszul

${DisplayStyle D_ {0}}$

zdefiniowane jak powyżej. To połączenie nie zależy od wyboru podstawy.

Istnienie połączeń na dowolnym włóknie opiera się na argumencie wyników jednostkowych. Jeżeli B wymyślne dla nieskończoności, B przyznaje lokalnie gotowe nakładanie się

${DisplayStyle {u_ {i}}}}$

do najbardziej policzania otwartych kompaktów I jest trywialny. Istnieje partycja jedności

${DisplayStyle {f_ {i}}}$

, wsparcie

${DisplayStyle f_ {i}}$

uwzględnienie w W _I . W szczególności powyżej W _I , istnieje połączenie

${DisplayStyle nabla ^{i}}$

. Notacja

${DisplayStyle nabla = sum _ {i} f_ {i} nabla ^{i}}}$

Oznaczający:

${DisplayStyle nabla _ {x} s (b) = sum f_ {i} (b) .Nabla _ {x}^{i} s (b)}$

.

Jak suma F _I Ale 1,

${displayStyle nabla}$

Sprawdź regułę Leibniz i dlatego jest połączeniem z I .

Równoważne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Według autorów definicja połączenia Koszula przyznaje niewielkie warianty. Jeśli

${DisplayStyle Gamma (e)}$

wyznacza przestrzeń wektorową sekcji I , połączenie

${displayStyle nabla}$

można interpretować jako operator

${DisplayStyle C^{infty} (m)}$

liniowy w pierwszej zmiennej i R -Lineaire w drugim (ponadto weryfikacja uprzednio cytowanej przez regułę Leibniza):

${DisplayStyle nabla: gamma ™ otimes gamma (e) Rightarrow gamma (e)}$

.

Kolejna możliwa interpretacja dla dowolnej sekcji S z I W

${DisplayStyle nabla s}$

może być postrzegane jako różnicowa 1 forma M przy wartościach w

${DisplayStyle e}$

. Mając to na uwadze, połączenie

${displayStyle nabla}$

jest uważany za operatora R Liniowy:

${DisplayStyle nabla: gamma (e) Rightarrow gamma (Lambda ^{1} t ^{*} motimes e)}$

.

Reguła Leibniza następnie tłumaczy: dla dowolnej funkcji innej możliwej F i dla dowolnej sekcji S z I W

${displayStyle nabla (fs) = dfotimes s+fnabla s}$

.

Ponadto połączenia Koszulu można zdefiniować podobnie na złożonych włókien wektorowych, biorąc pod uwagę, że przestrzeń sekcji jest modułem algebry różnicowej, ale bardziej realnych funkcji różnicowych. Jedyną różnicą jest zatem uwzględnienie złożonych różnych funkcji w regule Leibniza.

Afekty struktury [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

I

${DisplayStyle nabla ^{1}}$

I

${DisplayStyle nabla ^{2}}$

Czy połączenia zdefiniowane na tym samym światłowodzie wektorowym I Następnie dla dowolnej sekcji S i dla każdej funkcji F , na:

${displayStyle nabla ^{2} (fs) = dfotimes s+fnabla ^{2} s = nabla ^{1} (fs)+fleft [nabla ^{2} -Nabla ^{1} right] s}$

.

Ich różnica

${DisplayStyle alpha = nabla ^{2} -Nabla ^{1}}$

jest zatem operatorem

${DisplayStyle C^{infty} (m)}$

-Linear na

${DisplayStyle Gamma (TB)}$

przy wartościach w

${DisplayStyle gamma (end (e))}$

, a nawet różnicowa 1-forma

${DisplayStyle Alpha}$

z wartościami na końcu ( I ). Piszemy symbolicznie:

${DisplayStyle nabla ^{2} = nabla ^{1}+alpha}$

.

Wszystkie połączenia Koszul włączone I jest zatem oczywiście udoskonalenie przestrzeni Espace Master przestrzeń różnicowych form 1 z końcami na końcu ( I ). Działanie grupowe Gl ( I ) jest rafina. Mówiąc dokładniej, dla każdego samoorfizmu G z I , na :

${DisplayStyle gcdot nabla ^{2} = gcdot nabla ^{1}}}+GCIRC Alpha Circ G ^{-1}}}.$

.

W szczególności w lokalnej trywializacji I podane przez izomorfizm

${DisplayStyle Phi}$

Włókno powyżej W z

${DisplayStyle Utimes Mathbb {r} ^{n}}$

NA

${DisplayStyle pi ^{-1} (u)}$

, połączenie

${displayStyle nabla}$

definiować I jest napisane:

${DisplayStyle phi ^{*} nabla = d_ {0}+alpha}$

W

Lub

${DisplayStyle Alpha}$

jest różnicowymi wartościami 1-matrix.

Krzywizna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

. krzywizna z

${displayStyle nabla}$

jest formą różnicową z włóknem

${DisplayStyle end (e)}$

liniowe endomorfizmy I . Dla wszystkich pól wektorowych X I I z B i dla dowolnej sekcji S z I , na pozie:

${DisplayStyle r (x, y) s = nabla _ {x} nabla _ {y} s-nabla _ {y} nabla _ {x} s-Nabla _ {[x, y]} s}$

.

W lokalnej trywializacji, przyjmując powyższe oceny, jeśli

${DisplayStyle phi ^{*} nabla = d_ {0}+alpha}$

, wówczas szybkie obliczenia dają:

${DisplayStyle phi ^{*} r = Dalpha +[Alpha, Alpha],}$

gdzie konwencja:

${DisplayStyle [Alpha, Alpha] (x, y) = alpha (x) alpha (y) -alpha (y) alpha (x)}$

.

Istnieją inne pojęcia krzywizny dla połączeń Koszul, ale zależą one od dodatkowych struktur.

Skręcenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Dla połączenia Koszula

${displayStyle nabla}$

Zdefiniowane na różnorodnej różnorodności M , nazywamy skręcenie tensor T zdefiniowane M o :

${DisplayStyle t (x, y) = nabla _ {x} y-nabla _ {y} x- [x, y]}$

Fakt, że T Lub faktycznie weryfikacja żądania tensora. Połączenie jest powiedziane bez skrętu, gdy jego skręcenie wynosi zero. Jeśli

${DisplayStyle Alpha}$

jest różnicowymi wartościami na końcu ™ i tak

${displayStyle nabla}$

jest zatem połączenie bez skręt

${DisplayStyle NABLA +Alpha}$

nie ma skrętu, jeśli

${DisplayStyle Alpha}$

definiuje symetryczny kształt.

Transport połączenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Do dowolnej aplikacji różnicowej

${DisplayStyle f: b’rightarrow b}$

Podstawowe włókno wektorowe jest powiązane

${DisplayStyle B ‘}$

, notatka

${DisplayStyle f^{*} e}$

, którego błonnik w

${DisplayStyle B ‘}$

jest włóknem I W

${DisplayStyle f (b ‘)}$

. Wszelkie połączenie Koszul

${displayStyle nabla}$

NA I indukuje jedno połączenie

${DisplayStyle f^{*} nabla}$

NA

${DisplayStyle f^{*} e}$

tak, że dla każdej globalnej sekcji S z I I dla dowolnego pola wektorów X z

${DisplayStyle B ‘}$

, na :

${displayStyle lewy [f^{*} nabla w prawo] _ {x} lewy [scirc fright] = lewy [nabla _ {x} sright] Circ F}$

.

Zwłaszcza jeśli C :

${DisplayStyle Irightarrow B}$

jest krzywą B , WIĘC

${displayStyle nabla}$

indukuje połączenie

${DisplayStyle C^{*} nabla}$

NA

${DisplayStyle C^{*} e}$

który jest światłowodem wektorowym I . To indukowane połączenie jest zdefiniowane tylko przez dane

${DisplayStyle C^{*} NABLA _ {Partial /Partial T}}$

Zauważamy

${DisplayStyle nabla _ {c ‘(t)}}$

przez nadużycie języka. Sekcja S z I przed siebie C to sekcja I z

${DisplayStyle C^{*} e}$

.

${DisplayStyle sin gamma (c^{*} e) rightarrow nabla _ {c ‘(t)} sin gamma (c^{*} e)}$

Ten operator sprawdza zasadę Leibniza:

${displayStyle lewy [nabla _ {c ‘(t)} lewy [fsright] prawy] (t) = f’ (t) s (t)+f (t) lewy [nabla {c ‘(t)} sright] (T)}$

.

Suma i produkt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Być

${DisplayStyle nabla = nabla ^{1}}$

I

${DisplayStyle nabla ^{2}}$

Dwa połączenia odpowiednio zdefiniowane na włóknach wektorowych I = I _Pierwszy I I ₂ na nawet baza B . Są następnie zdefiniowane:

• Połączenie z Bezpośrednia suma
  ${DisplayStyle e_ {1} Oplus e_ {2}}$

  , odnotowany

  ${DisplayStyle nabla ^{1} oplus nabla ^{2}}$

  :

${DisplayStyle (nabla ^{1} oplus nabla ^{2}) _ {x} (s_ {1} oplus s_ {2}) = nabla _ {x} ^{1} s_ {1} oplus nabla {x} }}} ^{2} S_ {2}}$

;

• Połączenie z Produkt Tensoriel
  ${DisplayStyle e_ {1} otimes e_ {2}}$

  , odnotowany

  ${DisplayStyle nabla ^{1} otimes nabla ^{2}}$

  :

${displayStyle (nabla ^{1} otimes nabla ^{2}) _ {x} (s_ {1} otimes s_ {2}) = nabla _ {x} ^{1} s_ {1} otimes s_ {2}+++++++ s_ {1} otimes nabla _ {x}^{2} s_ {2}}$

;

• Połączenie z Włókno podwójne I ^* :

${DisplayStyle xcdot lambda (s) = (nabla _ {x} lambda) (s)+lambda (nabla _ {x} s)}$

;

• Połączenie z włóknem
  ${DisplayStyle end (e_ {1}, e_ {2})}$

  :

${DisplayStyle nabla _ {x} (phi (s)) = (nabla _ {x}) (s)+phi (nabla _ {x} s)}$

.

Połączenie Levi-Civita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Metryka Riemanniana G O różnorodnej różnorodności M jest polem symetrycznych form bilinearnych zdefiniowanych pozytywnie. Mówiąc dokładniej, metryka G z klasą

${DisplayStyle c^{k}}$

to dane pod każdym względem X produktu skalarnego

${DisplayStyle G_ {x}}$

Na stycznej przestrzeni T _X M , więc dla wszystkich pola wektorów X I I NA M z klasą

${DisplayStyle c^{k}}$

, funkcja G ( X W I ) mieć klasę

${DisplayStyle c^{k}}$

.

I

${DisplayStyle Kgeq 2}$

, demonstrujemy podstawowe twierdzenie o geometrii Riemannian

Istnieje unikalne połączenie bez skręcania M , zwany Połączenie Levi-Civita , sprawdzanie: dla wszystkich pól wektorów X W I I Z W

${DisplayStyle xcdot g (y, z) = g (nabla _ {x} y, z)+g (y, nabla _ {x} z)}$

Krzywizna odmiany Riemannian odnosi się do krzywizny jej połączenia Levi-Civita. Połączenie Levi-Civita jest ważne, ponieważ przechwytuje mocne informacje na temat geometrii lokalnej i globalnej. Zwykle rozróżniamy odmiany zerowej krzywizny, krzywizny dodatniej i ujemnej krzywizny. Odmiany Riemannian „stała krzywizna” służą jako model porównawczy.

Transport równoległy [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

I C jest różnicującą krzywą B , Sekcja S z I przed siebie C mówi się, że jest równolegle, gdy sprawdza równanie różniczkowe:

${DisplayStyle nabla _ {c ‘(t)} s (c (t)) = 0}$

Zewnętrzne obliczenia różnicowe [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Po ustaleniu połączenia

${displayStyle nabla}$

na włóknie wektorowym I , możliwe jest różnicowanie w spójnym sposobie I . Definiujemy operatora R -liniowy

${DisplayStyle d^{nabla}}$

który ma różnicową formę stopnia k przy wartościach w I Kojarzy różnicową formę stopnia k +1 z wartościami w I . Ten operator różnicowania jest zdefiniowany tylko przez następującą właściwość. Dla każdej prawdziwej formy różnicowej

${DisplayStyle Alpha}$

i dla dowolnej sekcji S z I , na :

${DisplayStyle d^{nabla} lewy [alpha otimes sright] = Dalpha otimes s+alpha klin nabla s}$

W

Lub

${DisplayStyle nabla s}$

czyta jako różnicowe wartości 1 w wartościach w I .

${DisplayStyle d^{nabla} cir d^{nabla} = 0}$

${DisplayStyle d^{nabla} omega = rwage Omega}$

Tożsamość Bianchi :

${DisplayStyle d^{nabla} r = 0}$