[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/connexion-of-koszul-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/connexion-of-koszul-wikipedia\/","headline":"Connexion of Koszul – Wikipedia","name":"Connexion of Koszul – Wikipedia","description":"before-content-x4 W geometrii r\u00f3\u017cnicowej a connexion (de Koszul) jest operatorem w sekcjach w\u0142\u00f3kna wektorowego. Poj\u0119cie to zosta\u0142o wprowadzone przez Jean-Louis","datePublished":"2019-05-25","dateModified":"2019-05-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/connexion-of-koszul-wikipedia\/","wordCount":15081,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4W geometrii r\u00f3\u017cnicowej a connexion (de Koszul) jest operatorem w sekcjach w\u0142\u00f3kna wektorowego. Poj\u0119cie to zosta\u0142o wprowadzone przez Jean-Louis Koszul w 1950 roku [Ref. niezb\u0119dny] I sformalizuj r\u00f3wnoleg\u0142y transport wektor\u00f3w wzd\u0142u\u017c krzywej pod wzgl\u0119dem zwyk\u0142ego r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego. Po\u0142\u0105czenia s\u0105 obiektami lokalnie zdefiniowanymi, z kt\u00f3rymi powi\u0105zane s\u0105 poj\u0119cia krzywizny i skr\u0119tu. Jednym z najprostszych przyk\u0142ad\u00f3w po\u0142\u0105cze\u0144 Koszul bez skr\u0119tki jest po\u0142\u0105czenie Levi-Civita naturalnie zdefiniowanego na w\u0142\u00f3kno stycznej ka\u017cdej odmiany Riemannian.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Wszystkie po\u0142\u0105czenia Koszul tworz\u0105 prawdziw\u0105 przestrze\u0144 do udoskonalenia, kt\u00f3rej przestrzeni\u0105 przewodni\u0105 jest przestrze\u0144 bazy danych B b\u0142onnik I z warto\u015bciami na ko\u0144cu ( I ), w\u0142\u00f3kno wektorowe endomorfizm\u00f3w I . Po\u0142\u0105czenie I indukuje po\u0142\u0105czenia na w\u0142\u00f3knach zbudowanych z I przez podstawowe operacje algebraiczne (produkt zewn\u0119trzny, produkt tyskowy, …). Korzystanie z po\u0142\u0105cze\u0144 pozwala w szczeg\u00f3lno\u015bci przeprowadzi\u0107 rozs\u0105dne zewn\u0119trzne obliczenia zewn\u0119trzne w sekcjach I . S\u0105 one silnie wykorzystywane w analizie.   Albo I Ca\u0142kowita przestrze\u0144 prawdziwego w\u0142\u00f3kna wektorowego gotowego rz\u0119du o prawdziwej r\u00f3\u017cnorodnej r\u00f3\u017cnorodno\u015bci B . Po\u0142\u0105czenie        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u2207 {displayStyle nabla} jest operatorem, kt\u00f3ry w sekcji globalnej S z I i pole wektorowe X z B , \u0142\u0105czy sekcj\u0119 I odnotowany \u2207 X S {DisplayStyle Nabla _ {x} s} Sprawdzanie nast\u0119puj\u0105cych warunk\u00f3w: Liniowo\u015b\u0107 w X : Dla dowolnej funkcji r\u00f3\u017cnicowej F z B z rzeczywistymi warto\u015bciami i dla dowolnego pola wektora X z B , na : \u2207 F X S = F . \u2207 X S {DisplayStyle nabla _ {fx} s = f.nabla _ {x} s} .         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Regu\u0142a Leibniz : Dla dowolnej funkcji r\u00f3\u017cnicowej F z B z rzeczywistymi warto\u015bciami i dla dowolnego pola wektora X z B , na : \u2207 X ( F S ) = D F ( X ) S + F \u2207 X S {DisplayStyle nabla _ {x} (fs) = df (x) s+fnabla _ {x} s} .  Pierwsza w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 oznacza w szczeg\u00f3lno\u015bci, \u017ce warto\u015b\u0107 \u2207 X S {DisplayStyle Nabla _ {x} s} w danym momencie B z B jako funkcja pola wektorowego X W\u0142a\u015bciwie zale\u017cy tylko od X ( B ), warto\u015b\u0107 X w punkcie B . Jako funkcja S , druga w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 pokazuje zale\u017cno\u015b\u0107 od pierwotnych wariant\u00f3w w S W B . Zw\u0142aszcza je\u015bli S to lokalna sekcja I zdefiniowane W I W jest stycznym wektorem B w danym momencie X z W , WI\u0118C \u2207 W S {DisplayStyle nabla _ {v} s} jest dobrze zdefiniowany jako wektor I X . Gdy I jest w\u0142\u00f3knem stycznym B , po prostu rozmawiamy o Po\u0142\u0105czenie (od Koszul) do B Bez dalszych szczeg\u00f3\u0142\u00f3w. Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, po\u0142\u0105czenie jest oznaczone przez list \u2207 {displayStyle nabla} W D Lub D . Table of ContentsPrzyk\u0142ad [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] R\u00f3wnowa\u017cne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Afekty struktury [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Krzywizna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Skr\u0119cenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Transport po\u0142\u0105czenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Suma i produkt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Po\u0142\u0105czenie Levi-Civita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Transport r\u00f3wnoleg\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Zewn\u0119trzne obliczenia r\u00f3\u017cnicowe [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przyk\u0142ad [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Sekcje trywialnego b\u0142onnika B \u00d7 R N {DisplayStyle BTimes Mathbb {r} ^{n}} s\u0105 funkcjami r\u00f3\u017cnicowymi B W R N . B\u0142onnik B \u00d7 R N {DisplayStyle BTimes Mathbb {r} ^{n}} Zauwa\u017cono po\u0142\u0105czenie Koszul D 0 {DisplayStyle D_ {0}} zwany trywialne po\u0142\u0105czenie Okre\u015blony przez:  D 0 : ( X W S ) \u21a6 D S ( X ) {DisplayStyle d_ {0} \ud83d\ude41 x, s) mapsto ds (x)} .  Oczywi\u015bcie po\u0142\u0105czenia Koszul s\u0105 transportowane przez izomorfizm w\u0142\u00f3kien wektorowych (wr\u00f3cimy do tego punktu). W szczeg\u00f3lno\u015bci wszystkie trywialne b\u0142onnik przyznaje po\u0142\u0105czenia Koszul. Jednak po\u0142\u0105czenie to zale\u017cy od wybranej trywializacji. Grupa k\u0142amstw G jest r\u00f3wnolegle i dlatego przyznaje po\u0142\u0105czenia Koszul. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, wyb\u00f3r podstawy stycznej przestrzeni w neutralnym elemencie indukuje t\u0142umaczenie po lewej stronie TG ; Dlatego mamy po\u0142\u0105czenie Koszul D 0 {DisplayStyle D_ {0}} zdefiniowane jak powy\u017cej. To po\u0142\u0105czenie nie zale\u017cy od wyboru podstawy. Istnienie po\u0142\u0105cze\u0144 na dowolnym w\u0142\u00f3knie opiera si\u0119 na argumencie wynik\u00f3w jednostkowych. Je\u017celi B wymy\u015blne dla niesko\u0144czono\u015bci, B przyznaje lokalnie gotowe nak\u0142adanie si\u0119 { W I } {DisplayStyle {u_ {i}}}} do najbardziej policzania otwartych kompakt\u00f3w I jest trywialny. Istnieje partycja jedno\u015bci { F I } {DisplayStyle {f_ {i}}} , wsparcie F I {DisplayStyle f_ {i}} uwzgl\u0119dnienie w W I . W szczeg\u00f3lno\u015bci powy\u017cej W I , istnieje po\u0142\u0105czenie \u2207 I {DisplayStyle nabla ^{i}} . Notacja \u2207 = \u2211 I F I \u2207 I {DisplayStyle nabla = sum _ {i} f_ {i} nabla ^{i}}} Oznaczaj\u0105cy:  \u2207 X S ( B ) = \u2211 F I ( B ) . \u2207 X I S ( B ) {DisplayStyle nabla _ {x} s (b) = sum f_ {i} (b) .Nabla _ {x}^{i} s (b)} .  Jak suma F I Ale 1, \u2207 {displayStyle nabla} Sprawd\u017a regu\u0142\u0119 Leibniz i dlatego jest po\u0142\u0105czeniem z I . R\u00f3wnowa\u017cne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Wed\u0142ug autor\u00f3w definicja po\u0142\u0105czenia Koszula przyznaje niewielkie warianty. Je\u015bli C ( I ) {DisplayStyle Gamma (e)} wyznacza przestrze\u0144 wektorow\u0105 sekcji I , po\u0142\u0105czenie \u2207 {displayStyle nabla} mo\u017cna interpretowa\u0107 jako operator C \u221e ( M ) {DisplayStyle C^{infty} (m)} liniowy w pierwszej zmiennej i R -Lineaire w drugim (ponadto weryfikacja uprzednio cytowanej przez regu\u0142\u0119 Leibniza):  \u2207 : C ( T M ) \u2297 C ( I ) \u2192 C ( I ) {DisplayStyle nabla: gamma ™ otimes gamma (e) Rightarrow gamma (e)} .  Kolejna mo\u017cliwa interpretacja dla dowolnej sekcji S z I W \u2207 S {DisplayStyle nabla s} mo\u017ce by\u0107 postrzegane jako r\u00f3\u017cnicowa 1 forma M przy warto\u015bciach w I {DisplayStyle e} . Maj\u0105c to na uwadze, po\u0142\u0105czenie \u2207 {displayStyle nabla} jest uwa\u017cany za operatora R Liniowy:  \u2207 : C ( I ) \u2192 C ( L Pierwszy T \u2217 M \u2297 I ) {DisplayStyle nabla: gamma (e) Rightarrow gamma (Lambda ^{1} t ^{*} motimes e)} .  Regu\u0142a Leibniza nast\u0119pnie t\u0142umaczy: dla dowolnej funkcji innej mo\u017cliwej F i dla dowolnej sekcji S z I W  \u2207 ( F S ) = D F \u2297 S + F \u2207 S {displayStyle nabla (fs) = dfotimes s+fnabla s} .  Ponadto po\u0142\u0105czenia Koszulu mo\u017cna zdefiniowa\u0107 podobnie na z\u0142o\u017conych w\u0142\u00f3kien wektorowych, bior\u0105c pod uwag\u0119, \u017ce przestrze\u0144 sekcji jest modu\u0142em algebry r\u00f3\u017cnicowej, ale bardziej realnych funkcji r\u00f3\u017cnicowych. Jedyn\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105 jest zatem uwzgl\u0119dnienie z\u0142o\u017conych r\u00f3\u017cnych funkcji w regule Leibniza. Afekty struktury [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] I \u2207 Pierwszy {DisplayStyle nabla ^{1}} I \u2207 2 {DisplayStyle nabla ^{2}} Czy po\u0142\u0105czenia zdefiniowane na tym samym \u015bwiat\u0142owodzie wektorowym I Nast\u0119pnie dla dowolnej sekcji S i dla ka\u017cdej funkcji F , na:  \u2207 2 ( F S ) = D F \u2297 S + F \u2207 2 S = \u2207 Pierwszy ( F S ) + F [[[ \u22072– \u22071] S {displayStyle nabla ^{2} (fs) = dfotimes s+fnabla ^{2} s = nabla ^{1} (fs)+fleft [nabla ^{2} -Nabla ^{1} right] s} .  Ich r\u00f3\u017cnica A = \u2207 2 – \u2207 Pierwszy {DisplayStyle alpha = nabla ^{2} -Nabla ^{1}} jest zatem operatorem C \u221e ( M ) {DisplayStyle C^{infty} (m)} -Linear na C ( T B ) {DisplayStyle Gamma (TB)} przy warto\u015bciach w C ( I N D ( I ) ) {DisplayStyle gamma (end (e))} , a nawet r\u00f3\u017cnicowa 1-forma A {DisplayStyle Alpha} z warto\u015bciami na ko\u0144cu ( I ). Piszemy symbolicznie:  \u2207 2 = \u2207 Pierwszy + A {DisplayStyle nabla ^{2} = nabla ^{1}+alpha} .  Wszystkie po\u0142\u0105czenia Koszul w\u0142\u0105czone I jest zatem oczywi\u015bcie udoskonalenie przestrzeni Espace Master przestrze\u0144 r\u00f3\u017cnicowych form 1 z ko\u0144cami na ko\u0144cu ( I ). Dzia\u0142anie grupowe Gl ( I ) jest rafina. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, dla ka\u017cdego samoorfizmu G z I , na :  G \u22c5 \u2207 2 = G \u22c5 \u2207 Pierwszy + G \u2218 A \u2218 G – Pierwszy {DisplayStyle gcdot nabla ^{2} = gcdot nabla ^{1}}}+GCIRC Alpha Circ G ^{-1}}}. .  W szczeg\u00f3lno\u015bci w lokalnej trywializacji I podane przez izomorfizm Phi {DisplayStyle Phi} W\u0142\u00f3kno powy\u017cej W z W \u00d7 R N {DisplayStyle Utimes Mathbb {r} ^{n}} NA Liczba Pi – Pierwszy ( W ) {DisplayStyle pi ^{-1} (u)} , po\u0142\u0105czenie \u2207 {displayStyle nabla} definiowa\u0107 I jest napisane:  Phi \u2217 \u2207 = D 0 + A {DisplayStyle phi ^{*} nabla = d_ {0}+alpha} W  Lub A {DisplayStyle Alpha} jest r\u00f3\u017cnicowymi warto\u015bciami 1-matrix. Krzywizna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] . krzywizna z \u2207 {displayStyle nabla} jest form\u0105 r\u00f3\u017cnicow\u0105 z w\u0142\u00f3knem I N D ( I ) {DisplayStyle end (e)} liniowe endomorfizmy I . Dla wszystkich p\u00f3l wektorowych X I I z B i dla dowolnej sekcji S z I , na pozie:  R ( X W I ) S = \u2207 X \u2207 I S – \u2207 I \u2207 X S – \u2207 [[[ X W I ] S {DisplayStyle r (x, y) s = nabla _ {x} nabla _ {y} s-nabla _ {y} nabla _ {x} s-Nabla _ {[x, y]} s} .  W lokalnej trywializacji, przyjmuj\u0105c powy\u017csze oceny, je\u015bli Phi \u2217 \u2207 = D 0 + A {DisplayStyle phi ^{*} nabla = d_ {0}+alpha} , w\u00f3wczas szybkie obliczenia daj\u0105:  Phi \u2217 R = D A + [[[ A W A ] W {DisplayStyle phi ^{*} r = Dalpha +[Alpha, Alpha],}  gdzie konwencja:  [[[ A W A ] ( X W I ) = A ( X ) A ( I ) – A ( I ) A ( X ) {DisplayStyle [Alpha, Alpha] (x, y) = alpha (x) alpha (y) -alpha (y) alpha (x)} .  Istniej\u0105 inne poj\u0119cia krzywizny dla po\u0142\u0105cze\u0144 Koszul, ale zale\u017c\u0105 one od dodatkowych struktur. Skr\u0119cenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Dla po\u0142\u0105czenia Koszula \u2207 {displayStyle nabla} Zdefiniowane na r\u00f3\u017cnorodnej r\u00f3\u017cnorodno\u015bci M , nazywamy skr\u0119cenie tensor T zdefiniowane M o :  T ( X W I ) = \u2207 X I – \u2207 I X – [[[ X W I ] {DisplayStyle t (x, y) = nabla _ {x} y-nabla _ {y} x- [x, y]}  Fakt, \u017ce T Lub faktycznie weryfikacja \u017c\u0105dania tensora. Po\u0142\u0105czenie jest powiedziane bez skr\u0119tu, gdy jego skr\u0119cenie wynosi zero. Je\u015bli A {DisplayStyle Alpha} jest r\u00f3\u017cnicowymi warto\u015bciami na ko\u0144cu ™ i tak \u2207 {displayStyle nabla} jest zatem po\u0142\u0105czenie bez skr\u0119t \u2207 + A {DisplayStyle NABLA +Alpha} nie ma skr\u0119tu, je\u015bli A {DisplayStyle Alpha} definiuje symetryczny kszta\u0142t. Transport po\u0142\u0105czenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Do dowolnej aplikacji r\u00f3\u017cnicowej F : B \u2032 \u2192 B {DisplayStyle f: b’rightarrow b} Podstawowe w\u0142\u00f3kno wektorowe jest powi\u0105zane B \u2032 {DisplayStyle B ‘} , notatka F \u2217 I {DisplayStyle f^{*} e} , kt\u00f3rego b\u0142onnik w B \u2032 {DisplayStyle B ‘} jest w\u0142\u00f3knem I W F ( B \u2032 ) {DisplayStyle f (b ‘)} . Wszelkie po\u0142\u0105czenie Koszul \u2207 {displayStyle nabla} NA I indukuje jedno po\u0142\u0105czenie F \u2217 \u2207 {DisplayStyle f^{*} nabla} NA F \u2217 I {DisplayStyle f^{*} e} tak, \u017ce dla ka\u017cdej globalnej sekcji S z I I dla dowolnego pola wektor\u00f3w X z B \u2032 {DisplayStyle B ‘} , na :  [[[ f\u2217\u2207] X [[[ S \u2218 F ] = [[[ \u2207XS ] \u2218 F {displayStyle lewy [f^{*} nabla w prawo] _ {x} lewy [scirc fright] = lewy [nabla _ {x} sright] Circ F} .  Zw\u0142aszcza je\u015bli C : I \u2192 B {DisplayStyle Irightarrow B} jest krzyw\u0105 B , WI\u0118C \u2207 {displayStyle nabla} indukuje po\u0142\u0105czenie C \u2217 \u2207 {DisplayStyle C^{*} nabla} NA C \u2217 I {DisplayStyle C^{*} e} kt\u00f3ry jest \u015bwiat\u0142owodem wektorowym I . To indukowane po\u0142\u0105czenie jest zdefiniowane tylko przez dane C \u2217 \u2207 \u2202 \/\u2202 T {DisplayStyle C^{*} NABLA _ {Partial \/Partial T}} Zauwa\u017camy \u2207 c\u2032( T ) {DisplayStyle nabla _ {c ‘(t)}} przez nadu\u017cycie j\u0119zyka. Sekcja S z I przed siebie C to sekcja I z C \u2217 I {DisplayStyle C^{*} e} .  S \u2208 C ( C \u2217 I ) \u2192 \u2207 c\u2032( T ) S \u2208 C ( C \u2217 I ) {DisplayStyle sin gamma (c^{*} e) rightarrow nabla _ {c ‘(t)} sin gamma (c^{*} e)}  Ten operator sprawdza zasad\u0119 Leibniza:  [[[ \u2207c\u2032(t)[fs]] ( T ) = F \u2032 ( T ) S ( T ) + F ( T ) [[[ \u2207c\u2032(t)S ] ( T ) {displayStyle lewy [nabla _ {c ‘(t)} lewy [fsright] prawy] (t) = f’ (t) s (t)+f (t) lewy [nabla {c ‘(t)} sright] (T)} .  Suma i produkt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] By\u0107 \u2207 = \u2207 Pierwszy {DisplayStyle nabla = nabla ^{1}} I \u2207 2 {DisplayStyle nabla ^{2}} Dwa po\u0142\u0105czenia odpowiednio zdefiniowane na w\u0142\u00f3knach wektorowych I = I Pierwszy I I 2 na nawet baza B . S\u0105 nast\u0119pnie zdefiniowane: Po\u0142\u0105czenie z Bezpo\u015brednia suma  I 1\u2295 I 2{DisplayStyle e_ {1} Oplus e_ {2}} , odnotowany \u2207 1\u2295 \u2207 2{DisplayStyle nabla ^{1} oplus nabla ^{2}} : ( \u2207 Pierwszy \u2295 \u2207 2 ) X ( S Pierwszy \u2295 S 2 ) = \u2207 X Pierwszy S Pierwszy \u2295 \u2207 X 2 S 2 {DisplayStyle (nabla ^{1} oplus nabla ^{2}) _ {x} (s_ {1} oplus s_ {2}) = nabla _ {x} ^{1} s_ {1} oplus nabla {x} }}} ^{2} S_ {2}} ;  Po\u0142\u0105czenie z Produkt Tensoriel  I 1\u2297 I 2{DisplayStyle e_ {1} otimes e_ {2}} , odnotowany \u2207 1\u2297 \u2207 2{DisplayStyle nabla ^{1} otimes nabla ^{2}} : ( \u2207 Pierwszy \u2297 \u2207 2 ) X ( S Pierwszy \u2297 S 2 ) = \u2207 X Pierwszy S Pierwszy \u2297 S 2 + S Pierwszy \u2297 \u2207 X 2 S 2 {displayStyle (nabla ^{1} otimes nabla ^{2}) _ {x} (s_ {1} otimes s_ {2}) = nabla _ {x} ^{1} s_ {1} otimes s_ {2}+++++++ s_ {1} otimes nabla _ {x}^{2} s_ {2}} ;  Po\u0142\u0105czenie z W\u0142\u00f3kno podw\u00f3jne  I * : X \u22c5 L ( S ) = ( \u2207 X L ) ( S ) + L ( \u2207 X S ) {DisplayStyle xcdot lambda (s) = (nabla _ {x} lambda) (s)+lambda (nabla _ {x} s)} ;  Po\u0142\u0105czenie z w\u0142\u00f3knem I N D ( I 1W I 2) {DisplayStyle end (e_ {1}, e_ {2})} : \u2207 X ( \u03d5 ( S ) ) = ( \u2207 X \u03d5 ) ( S ) + \u03d5 ( \u2207 X S ) {DisplayStyle nabla _ {x} (phi (s)) = (nabla _ {x}) (s)+phi (nabla _ {x} s)} .  Po\u0142\u0105czenie Levi-Civita [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Metryka Riemanniana G O r\u00f3\u017cnorodnej r\u00f3\u017cnorodno\u015bci M jest polem symetrycznych form bilinearnych zdefiniowanych pozytywnie. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, metryka G z klas\u0105 C k {DisplayStyle c^{k}} to dane pod ka\u017cdym wzgl\u0119dem X produktu skalarnego G X {DisplayStyle G_ {x}} Na stycznej przestrzeni T X M , wi\u0119c dla wszystkich pola wektor\u00f3w X I I NA M z klas\u0105 C k {DisplayStyle c^{k}} , funkcja G ( X W I ) mie\u0107 klas\u0119 C k {DisplayStyle c^{k}} . I k \u2265 2 {DisplayStyle Kgeq 2} , demonstrujemy podstawowe twierdzenie o geometrii Riemannian Istnieje unikalne po\u0142\u0105czenie bez skr\u0119cania M , zwany Po\u0142\u0105czenie Levi-Civita , sprawdzanie: dla wszystkich p\u00f3l wektor\u00f3w X W I I Z W X \u22c5 G ( I W Z ) = G ( \u2207 X I W Z ) + G ( I W \u2207 X Z ) {DisplayStyle xcdot g (y, z) = g (nabla _ {x} y, z)+g (y, nabla _ {x} z)}  Krzywizna odmiany Riemannian odnosi si\u0119 do krzywizny jej po\u0142\u0105czenia Levi-Civita. Po\u0142\u0105czenie Levi-Civita jest wa\u017cne, poniewa\u017c przechwytuje mocne informacje na temat geometrii lokalnej i globalnej. Zwykle rozr\u00f3\u017cniamy odmiany zerowej krzywizny, krzywizny dodatniej i ujemnej krzywizny. Odmiany Riemannian \u201esta\u0142a krzywizna\u201d s\u0142u\u017c\u0105 jako model por\u00f3wnawczy. Transport r\u00f3wnoleg\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] I C jest r\u00f3\u017cnicuj\u0105c\u0105 krzyw\u0105 B , Sekcja S z I przed siebie C m\u00f3wi si\u0119, \u017ce jest r\u00f3wnolegle, gdy sprawdza r\u00f3wnanie r\u00f3\u017cniczkowe:  \u2207 c\u2032( T ) S ( C ( T ) ) = 0 {DisplayStyle nabla _ {c ‘(t)} s (c (t)) = 0}  Zewn\u0119trzne obliczenia r\u00f3\u017cnicowe [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Po ustaleniu po\u0142\u0105czenia \u2207 {displayStyle nabla} na w\u0142\u00f3knie wektorowym I , mo\u017cliwe jest r\u00f3\u017cnicowanie w sp\u00f3jnym sposobie I . Definiujemy operatora R -liniowy D \u2207 {DisplayStyle d^{nabla}} kt\u00f3ry ma r\u00f3\u017cnicow\u0105 form\u0119 stopnia k przy warto\u015bciach w I Kojarzy r\u00f3\u017cnicow\u0105 form\u0119 stopnia k +1 z warto\u015bciami w I . Ten operator r\u00f3\u017cnicowania jest zdefiniowany tylko przez nast\u0119puj\u0105c\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107. Dla ka\u017cdej prawdziwej formy r\u00f3\u017cnicowej A {DisplayStyle Alpha} i dla dowolnej sekcji S z I , na :  D \u2207 [[[ A \u2297 S ] = D A \u2297 S + A \u2227 \u2207 S {DisplayStyle d^{nabla} lewy [alpha otimes sright] = Dalpha otimes s+alpha klin nabla s} W  Lub \u2207 S {DisplayStyle nabla s} czyta jako r\u00f3\u017cnicowe warto\u015bci 1 w warto\u015bciach w I .  D \u2207 \u2218 D \u2207 = 0 {DisplayStyle d^{nabla} cir d^{nabla} = 0}  D \u2207 Oh = R \u2227 Oh {DisplayStyle d^{nabla} omega = rwage Omega}  To\u017csamo\u015b\u0107 Bianchi :  D \u2207 R = 0 {DisplayStyle d^{nabla} r = 0}       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/connexion-of-koszul-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Connexion of Koszul – Wikipedia"}}]}]