Dowód dziewięciu – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

W arytmetyce, Dowód o dziewięć jest techniką sprawdzania obliczeń mentalnych lub wykonanych „ręcznie”. Pomimo nazwy ta technika nie jest dowodem matematycznym, ponieważ może wykazać, że wynik jest niewłaściwy, ale jeśli technika nie znajduje błędu, nie pozwala nam stwierdzić, że wynik jest prawidłowy. Ogólną zasadą jest znacznie lepsze powtórzenie obliczeń, poprzez wielokrotne zastępowanie każdej liczby większej lub równej 10 przez sumę jej liczb.

after-content-x4

Ta technika jest w rzeczywistości zastosowaniem właściwości modułowej arytmetyki, ponieważ oznacza obliczenie modulo 9.

Do mnożenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Załóżmy, że obliczyliśmy 17 × 35. Zastąpiliśmy 17 sumą naszych liczb: 1+7 ​​= 8, to samo dla 35, zastąpione przez 3+5 = 8. Wynik 17 × 35 powinien mieć dla suma z Jego liczby tak samo jak 8 × 8 = 64 lub 6+4 = 10, samo zastąpione 1+0 = 1.

Dowód według dziewięciu zastosowany do produktu 17 × 35 ma zastosowanie w następujący sposób: Obliczamy sumę liczb znalezionych wyniku. W tym przykładzie, jeśli suma ta różni się od 1, obliczenia jest fałszywe. Jeśli jest to równe 1, to Móc Aby być uczciwym.

Rzeczywiście 17 × 35 = 595, złoto 5+9+5 = 19 i 1+9 = 10, sama zastąpiona 1+0 = 1.

Do dodania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Dowód według nowego działa również na rzecz sprawdzenia wyniku dodatku, wówczas zaleca się dodanie dwóch sum figur.

after-content-x4

Załóżmy, że obliczyliśmy 36994+99363. Wymieniliśmy 36994 sumą jego liczb: 3+6+9+9+4 = 31, sam zastąpiony 3+1 = 4, taki sam dla 99363, zastąpiony 9+9+ 3+6+3 = 30, sam zastąpiony 3+0 = 3. Wynik 36994+99363 powinien mieć dla jego liczb tak samo jak suma 4+3 = 7.

Dowód o dziewięć zastosowany do suma 36994+99363 ma zastosowanie w następujący sposób: Obliczamy sumę liczb znalezionych wyniku. W tym przykładzie, jeśli suma ta różni się od 7, obliczenia jest fałszywe. Jeśli jest to równe 7, to Móc Aby być uczciwym.

Rzeczywiście 36994+99363 = 136357, złoto 1+3+6+3+5+7 = 25, sama zastąpiona 2+5 = 7.

Wskazówki dotyczące obliczeń [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ponieważ 9 jest zgodne z 0 modulo 9 (C.A.D.: 9 ≡ 0 [9]), te dwie liczby odgrywają tę samą rolę w dowodzie z nowym: możemy zatem zastąpić 9 0, co stanowi pominięcie 9 w obliczeniach dotyczących obliczeń z Suma liczb. Na przykład liczba 19999999992 po kilku iteracjach zastąpi sumą 1+2.

Po obliczeniu suma liczb, sprytnie jest pogrupować tych, których suma daje 9, a następnie zastąpić to 9 przez 0. Na przykład: 1+7+3+8+2 = (1+8)+(7 +2 ) +3 da 3.

Zasada dowodu przez dziewięć opiera się na kompatybilności zgodności z dodaniem i mnożeniem, a także na fakcie, że 10 jest zgodne z 1 Modulo 9. Prowadzi to, że każda naturalna liczba całkowita jest zgodna, moduł 9, suma jego liczb W pisaniu dziesiętnym.

Demonstracja

Rozważ naturalną liczbę całkowitą A którego dziesiętne jest pisanie dziesiętne

anaana−1. . . a1a0{DisplayStyle A_ {n_ {a}} a _ {{n_ {a}}-1} … a_ {1} a_ {0}}

. To znaczy, że

A = a0+ a1× dziesięć + . . . + ana× 10na{DisplayStyle A = A_ {0}+A_ {1} Times 10+…+A_ {n_ {A}} Times 10^{N_ {A}}}

, Lub

a0{DisplayStyle A_ {0}}

, …,

ana{DisplayStyle A_ {N_ {A}}}

są liczbami, to znaczy liczb całkowitych od 0 do 9.

Podobnie jak wszystkie moce 10 są zgodami na 1 modulo 9 (ponieważ

dziesięć ≡ Pierwszy (mod9){DisplayStyle 10Equiv 1 {pmod {9}}}

Więc dla każdej naturalnej całości N W

10n≡ 1n≡ Pierwszy (mod9){DisplayStyle 10^{n} Equiv 1^{n} Equiv 1 {pmod {9}}}

), każdy termin formy

ai× 10i{DisplayStyle A_ {i} Times 10^{i}}

jest zgodny z

ai{DisplayStyle A_ {i}}

Modulo 9, a zatem suma jego warunków jest zgodna z

∑k=0naak= ana+ ana−1+ . . . + a1+ a0{DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n_ {a}} a_ {k} = a_ {n_ {a}}+a_ {n_ {a} -1}+…+a_ {1}+a_ {{A_ { 0}}

Moduł 9.

Następnie rozważ naturalną liczbę całkowitą B którego dziesiętne jest pisanie dziesiętne

bnbbnb−1. . . b1b0{DisplayStyle B_ {n_ {B}} b _ {{n_ {b}}-1} … b_ {1} b_ {0}}

. Będzie wtedy Congru Modulo 9 o godz

∑k=0nbbk= bnb+ bnb−1+ . . . + b1+ b0{DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n_ {b}} b_ {k} = b_ {n_ {b}}+b_ {n_ {b} -1}+…+b_ {1}+b_ { 0}}

.

WIĘC,

A × B ≡ ∑k=0nbbk× ∑k=0naak(mod9). {DisplayStyle Atimes Bequiv sum _ {k = 0}^{n_ {b}} b_ {k} Times sum {k = 0}^{n_ {a}} a_ {k} {pmod {9}}.}}

Następnie rozważ naturalną liczbę całkowitą C którego dziesiętne jest pisanie dziesiętne

cnccnc−1. . . c1c0{DisplayStyle C_ {n_ {c}} c _ {{n_ {c}}-1} … c_ {1} c_ {0}}

. Będzie wtedy Congru Modulo 9 o godz

∑k=0ncck= cnc+ cnc−1+ . . . + c1+ c0. {DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n_ {c}} c_ {k} = c_ {n_ {c}}+c_ {n_ {c} -1}+…+c_ {1}+c_ {{ 0}.}

WIĘC,

C ≡ ∑k=0ncck(mod9). {DisplayStyle Cequiv sum _ {k = 0}^{n_ {c}} c_ {k} {pmod {9}}.}

I

A × B = C {DisplayStyle Atimes B = C}

, WIĘC

∑k=0ncck≡ ∑k=0nbbk× ∑k=0naak(mod9). {DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n_ {c}} c_ {k} equiv sum _ {k = 0}^{n_ {b}} b_ {k} Times sum _ {k = 0}^{n_ {A}} A_ {K} {pmod {9}}.}

Dowód według nowego jest domyślny

  • Jeśli liczby zostaną zamienione, ponieważ ich suma pozostaje niezmieniona;
  • Jeśli różnica między liczbą znalezioną po obliczeniach a wynikiem wynosi wielokrotność 9. Na przykład, jeśli wynik jest 1992 i że znajdziemy 1092, błąd nie zostanie wykryty: dla tych dwóch liczb algorytm na sumie Figur da: 3.

Tak więc dowód nowego podlega fałszywym pozytywom.

Będzie się powiedzieć, że dowód na 9 jest stanem niezbędny , ale nie wystarczający .

Dowód o 9 działa dzięki modułowej arytmetyce i faktowi, że nowy modulo jest równy reszcie suma liczb w nowym modulo podstawowym Module. Ale co z innymi bazami? Szybko rozumie się, że na podstawie n możesz użyć dowodu przez N-1. Zatem w bazie 16 możemy użyć dowodu przez piętnaście. Nawiasem mówiąc, daje to szybki test podziału przez 5 i 3.

Możemy również w przypadku liczb w bazie dziesięciu, używając bazy danych sto, z dowodem o dziewięćdziesiąt dziewięć, a zatem zmniejszyć ryzyko fałszywie dodatniego o 11% do 1%.

Dowód do jedenastej [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Podobną i mniej znaną techniką jest Dowód do jedenastej , w oparciu o fakt, że

dziesięć N ≡ ( – Pierwszy ) N ( przeciwko 11 ) {DisplayStyle 10^{n} equiv (-1)^{n} {pmod {11}}}

.

Każdy numer zastępujemy tutaj alternatywną sumą jego liczb, utworzoną z prawej: 43726 staje się 6-2+7-3+4 = 12, który staje się 2-1 = 1; W rzeczywistości 43726 = 11*3975 + 1.

Jeśli wynik surowy jest ujemny, dodajemy 11 tyle razy, ile to konieczne, aby przynieść się od 0 do 10. Dla liczby takiej jak 182, najpierw uzyskujemy 2-8+1 = -5, wreszcie zgodne na 11-5 = 6 modulo 11.

Dowód jedenastki zastosowany do produktu

17 × 35 {DisplayStyle 17Times 35}

ma miejsce w następujący sposób:

  • W wieku 17 lat kojarzymy 7-1 = 6
  • Przy 35 kojarzymy 5-3 = 2
  • do produktu
  • Ponadto do

Ze względu na zgodność zakłada się, że produkt 595 jest tylko (wielokrotność 11 w pobliżu).

. Dowód do jedenastej , Lub Dowód księgowych , pozwala tylko rzadkie permutacje między liczbami o szeregach tej samej parzystości: 43 726 jest mylone z 43 627, ale nie z 43 762.

Połączenie tych dowodów przez 9 i 11 daje dowód do 99.

  • Alexandre Sarrazin de Montferrier, Encyklopedia matematyczna lub pełna wystawa wszystkich gałęzi matematyki zgodnie z zasadami filozofii matematyki Hoëné Wronskiego. Pierwsza część, czysta matematyka. Pierwszy tom , Amyot, ( Czytaj online )

after-content-x4