Fonction of Möbius – Wikipedia

Z tą drugą definicją, M jest automatycznie, jak Pierwszy , multiplikatywny, to znaczy:

${DisplayStyle Mu (1) = 1}$

I dla wszystkich

${DisplayStyle M, nin mathbb {n} ^{*}}}$

Najpierw między nimi,

${DisplayStyle Mu (nm) = mu (n) mu (m)}$

.

Formuła inwersji Möbiusa [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Druga definicja umożliwia szybkie wykazanie, że dla każdej funkcji arytmetycznej F :

Funkcja arytmetyczna G określony przez

${DisplayStyle forall nin mathbb {n} ^{*} quad g (n) = sum _ {dmid n} f (d)}$

sprawdzony

${DisplayStyle forall nin mathbb {n} ^{*} quad f (n) = sum _ {dmid n} MU lewy ({tfrac {n} {d}} right) g (d)}$

.

Podstawowe definicje i właściwości [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Podejście kombinatoryczne umożliwia uogólnienie powyższego badania ^{[[[ 4 ]} . Technika polega na badaniu zestawu A Zakończone i częściowo uporządkowane razem, których relacja porządku jest odnotowana ≤. Używamy następującej definicji:

Zauważamy, że w pozostałej części akapitu C _P ( A W B ) liczba łańcuchów długości P ufny A ma B . Kilka nieruchomości jest natychmiast dostępnych. Na przykład, jeśli A jest elementem A W C _P ( A W A ) jest wart 1 P = 0 i jest 0 dla P > 0, jeśli jesteś B jest elementem A ściśle większe niż A WIĘC C ₀ ( A W B ) = 0 i C _Pierwszy ( A W B ) = 1. Bardziej ogólnie, ustalono następujący lemat:

Rzeczywiście, każdy łańcuch długości P +1 dołączenie A ma B składa się z łańcucha długości P ufny A ma C i łączenie łańcucha o długości 1 C ma B , który pokazuje pierwszą równość. Drugi jest w ten sam sposób.

Gian-Carlo Rota definiuje nowy Funkcja Möbiusa , że zauważa μ _A i które zobaczymy, że uogólnia μ:

Innymi słowy, łączą się pozytywnie wszystkie pary A ma B i negatywnie te o nieczystej długości. Zauważamy więcej, że te definicje pozostają ważne, jeśli A jest nieskończony, pod warunkiem, że istnieje tylko skończona liczba elementów A I B (Mówimy wtedy, że zamówienie jest zakończone lokalnie (W) ). Lemat umożliwia wykazanie następującego analogu charakterystyki μ:

Produkt DiAdrichlet Condolution jest uogólniony, co pozwala na powiązanie z dowolnym lokalnym zamówieniem A jego algebra występowania (W) , a powyższy wynik jest następnie przeformułowany przez interpretację μ _A jako odwrotność tego jednolitego pierścienia.

Ten wynik umożliwia również pokazanie wzoru inwersji dla μ _A .

Związek między definicją Möbiusa a definicją Rota [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Tutaj całość A określa te ściśle pozytywne liczby całkowite z relacją zamówienia: A ≤ B Kiedy A jest dzielnikiem B .

To kolejność jest lokalnie wykończona, a po zastosowaniu do niego charakterystyka μ _A Z 1 jako pierwsza zmienna znajdujemy charakterystykę μ.

Zauważamy również, że jeśli A mundur B , aplikacja ma łańcuch ( X _Pierwszy W X _Pierwszy , …, X _P ) skojarz łańcuch (1, X ₂ / X _Pierwszy , …, X _P / X _Pierwszy ) stanowi bitkę między wszystkimi łańcuchami długości P ufny A ma B i osoby łączące 1 z B / A .

Dlatego wywnioskowamy:

Za pośrednictwem tego łącza klasyczny wzór inwersji dla μ może być postrzegany jako szczególny przypadek tego dla μ _A .

Dla dowolnej liczby złożonych S prawdziwa część ściśle większa niż 1,

${DisplayStyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {mu (n)} {n^{s}}} = {frac {1} {Zeta (s)}} quad {et}} quad quad quad quad Quad sum _ {n = 1}^{infty} {frac {| mu (n) |} {n^{s}}} = sum _ {n = 1}^{infty} {frac {(mu (n) ) ^{2}} {n ^{s}}} = {frac {zeta (s)} {zeeta (2s)}}}}$

W

Lub

jest funkcją Zêta Riemanna.

Funkcja Mertens

jest zdefiniowany przez

.

Twierdzenie o liczbie głównej jest równoważne ^{[[[ 8 ]} ma

i w

. Bardziej skomplikowana wersja twierdzenia o liczbie pierwszej (z wyraźną oceną terminu) została użyta w 1899 r. Przez Edmund Landau ^{[[[ 9 ]} zademonstrować:

.

(W) Eric W. Pointerstein, ‘ Funkcja Möbiusa » , NA Mathworld