Gauss o nazwie – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

Artykuł w Wikipedii, Free L’Encyclopéi.

Gauss Prime Liczby o „małym” standardzie.
Nombres premiers de Gauss de norme inférieure à un million

Gauss Prime Liczba standardu mniej niż milion.
after-content-x4

W matematyce i dokładniej w Algebrze, a Nazwa Gauss Premier jest odpowiednikiem liczby pierwotnej dla pierścienia ℤ [ I ] Liczby całkowite Gaussa. Pojęcie to jest używane w algebraicznej teorii liczb.

Liczby Prime Gaussa są używane do rozwiązywania równań diofantyjskich, takich jak twierdzenie dwóch kwadratów Fermat lub do ustalenia wyników teoretycznych, takich jak prawo kwadratowej wzajemności.

W 1801 roku w swojej książce Zapytanie arytmetyka , Carl Friedrich Gauss rozwija arytmetykę na innych pierścieniach niż w przypadku względnej całości. Szczególnie wykorzystuje pierścień wielomianów współczynnika w ciele komutatywnym i pierścień „liczb całkowitych”, które noszą swoją nazwę. Te pierścienie są – jak ℤ – euklidyjczycy Dlatego główne i Silniejszy silnia. Rozwija się modułowa arytmetyka, podobnie jak w przypadku pierścienia ℤ/ N ℤ. Dobra znajomość struktury wymaga zrozumienia podstawowych elementów pierścienia. Sprawia, że ​​operacyjne twierdzenie rozkładu na podstawowe czynniki.

after-content-x4

Liczba liczby Gaussa jest liczbą złożoną, której rzeczywiste i wyobrażone części są całe.

Elementy odwracalne (lub jednostki) ℤ [ I ] są 1, –1, I I – I (Liczby te odgrywają rolę podobną do 1 i –1 w ℤ).

I Liczba pierwsza [[[ Pierwszy ] Gaus jest nieredukowalnym elementem ℤ [ I ], to znaczy liczba całkowita Gaussa, która nie jest jednostką i której jedynymi dzielnikami są jednostki i produkty tej liczby przez jednostkę.

Niektóre liczby Prime w ℤ nie są zatem liczbami Gaussa:

Z drugiej strony 2 + I i 3 są nieredukowalne. Rolą następnego akapitu jest scharakteryzowanie pierwszej liczby Gaussa.

Przydatną koncepcją analizy liczb całkowitych Gaussa jest standard arytmetyczny. Jest zdefiniowany jako produkt liczby przez jego koniugat. Jest to zatem suma kwadratów jego rzeczywistej i wyobrażonej części, jest to wartości we wszystkich dodatnich liczbach całkowitych i jest multiplikatywna: N (Ab) = N (A) N (β). Cztery jednostki to elementy standardu 1.

Pierwsza uwaga uprości poszukiwanie pierwszych numerów Gaussa:

  • Każda pierwsza liczba Gaussa dzieli zwykłą liczbę podstawową.

Rzeczywiście, dzieli zatem swój standard (zgodnie z lematem euklidu w Z [[[ I ]) co najmniej jeden z podstawowych czynników (w Z ) tego.

Dlatego otrzymamy liczby Gaussa, rozkładając się na nieredukowalne czynniki w Z [[[ I ] Każdy zwykły numer podstawowy P :

  • I P jest zatem sumą dwóch kwadratów p = a 2 + B 2 = p Liczba Pi dla π = A + B I i (przez mnożność standardu) π i Liczba Pi są nieredukowalne w Z [[[ I ], od ich standardu P jest nieredukowalny w Z . Gauss, które dzielą się P są zatem π ​​i Liczba Pi i ich produkty przez jednostki I , –1 i – I (Te osiem liczb jest odrębne, chyba że P = 2).
  • I P nie jest dwa kwadraty, więc jest to podstawowa liczba Gaussa. Rzeczywiście, dla wszystkich liczb całkowitych Gaussa α i β, takich jak P = ab, na N (A) N (b) = P 2 I P ≠ N (A), P ≠ N (Wypełnij) Char to Prre i Somer Carres, kuszący Cammoré, idź. N (α) ty N (β) jest równe 1. Prime Liczba Gaussa, która dzielą P w ten sposób są P i jego produkty I , –1 i – I .

Jednak liczba pierwotna to suma dwóch kwadratów, jeśli i tylko wtedy, gdy jest równa 2 lub przystań przy 1 modulo 4 ( por. „Demonstracja twierdzenia dwóch kwadratów Fermat przez Dedekind”).

Podsumowując:

Twierdzenie [[[ 2 ] – Liczby główne Gaussa to:

  • ± (1 ± I );
  • Dla dowolnego pierwszego numeru P Zgoda z 1 modułem 4 [[[ 3 ] : Całe osiem standardów P ;
  • Dla dowolnego pierwszego numeru P Zgoda z 3 modułem 4 [[[ 4 ] : ± P i ± I P .
  1. ↑ Ta nazwa jest uzasadniona następującą równoważnością: w każdym zintegrowanym pierścieniu, jeśli pierwszy i nie odwracalny element jest pierwszy (to znaczy sprawdź lemat euklidu), to jest nieredukowalne, a gdy pierścień jest czynnikowy, wzajemność jest prawdziwa .
  2. ↑ G. H. Hardy i E. M. Wright ( Trad. angielskiego autorstwa François Sauvageot, Pref. Catherine Goldstein), Wprowadzenie do teorii liczb [« Wprowadzenie do teorii liczb »] [Szczegóły edycji] W P. 280 , th. 252.
  3. ↑ Zestaw OEIS A002144 de l’Eeis: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, itp.
  4. ↑ Zestaw OEIS A002145 de l’Eeis: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, itp.

Powiązany artykuł [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Linki zewnętrzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Pracuje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

after-content-x4