Główne ograniczenie – Wikipedia

W naukach materiałowych, a zwłaszcza w mechanicznych środowiskach ciągłych i odporności materiałów, Główne ograniczenia (σ _I , S _Ii , S _Iii ) są ograniczeniami wyrażonymi w podstawie tak, że tensor ograniczeń jest matrycą przekątną. Ta baza jest ortonormalna (patrz Matryca symetryczna, § Rozkład spektralny ).

Stan ograniczenia elementu materii może być reprezentowany przez tensor, tensor ograniczeń. W danej przestrzeni przestrzeni

, ten tensor jest reprezentowany przez matrycę 3 × 3:

${DisplayStyle {Omółka {Mathrm {t}}} = {begin {pmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} \ sigma _ {21} i sigma _ {22} i sigma _ {23}} \ sigma sigma} sigma sigma _ {31} i sigma _ {32} i sigma _ {33} \ end {pmatrix}}}$

.

Jeśli tensor ograniczeń opisuje stan w równowadze, macierz jest symetryczna; Ma również prawdziwe współczynniki.

Zgodnie z twierdzeniem spektralnym w gotowym wymiaru, ta macierz jest przekątna; Istnieje podstawa ortonormalna

dla której ta macierz jest matrycą przekątną ^{[[[ Pierwszy ]} :

${DisplayStyle {Podpisanie {Mathrm {T}}} = {begin {pmatrix} sigma _ {mathrm {i}} & 0 & 0 \ 0 & sigma _ {mathrm {ii}} i 0 \ 0 & 0 & sigma _ {mathrm {iii}}} {PMATRIX}}}}} {PMATRIX}} }}$

.

Wskazówki

są nazywane Główne kierunki .

Według konwencji bierzemy σ _I ≥ p _Ii ≥ p _Iii .

Do kontrttyny σ _I odpowiada maksymalnym ograniczeniu trakcji. Jeśli σ _Iii <0, alrs σ _Iii odpowiada maksymalnym ograniczeniu kompresji. Maksymalne naprężenie ścinające, które wybrano dla kryterium Tresca, odpowiada

${DisplayStyle tau _ {max} = {frac {1} {2}} (sigma _ {mathrm {i}} -sigma _ {mathrm {iii}})}}$

.

Jeśli nie narzucimy kolejności zmniejszających się ograniczeń, to

${DisplayStyle tau _ {max} = {frac {1} {2}} max lewy {| sigma _ {mathrm {i}} -sigma _ {mathrm {ii} | {Mathrm {iii}} |; | sigma _ {Mathrm {iii} -sigma _ {Mathrm {i}} | right}$

.

Obecne linie głównych ograniczeń, to znaczy krzywe, które są styczne do głównych wektorów ograniczonych pod każdym względem, są nazywane linie isostatyczne . Umożliwiają wizualizację, w jaki sposób wysiłki wewnętrzne są rozpowszechniane w materii.

Jest to ważne, gdy chcesz przestudiować ryzyko pęknięcia. Rzeczywiście, zastosowanie skalarnego równoważnego ograniczenia, takiego jak ograniczenie betów von lub ograniczenie TRESCA, nie wskazuje, czy obszar podlega trakcji, kompresji i/lub ścinaniu. Jednak ograniczenie typu kompresji jest mniej niebezpieczne, ponieważ ma tendencję do zamykania pęknięć.

Możemy określić główne kierunki i ograniczenia:

Własne wartości λ weryfikują równanie

daj (t – λi) = 0

gdzie t jest tensor ograniczeń i macierzą tożsamości. Możemy przepisać to równanie za pomocą niezmienników tensora ograniczenia:

L ³ – I _Pierwszy L ² + I ₂ λ – i ₃ = 0.

Na narzucenie σ _I > m _Ii > m _Iii .

Zauważ, że z definicji korzenia wielomianu mamy

(L – s _I ) (λ – σ _Ii ) (λ – σ _Iii ) = 0

Rozważ sześcian, którego twarze są normalne do głównych kierunków. Naprężenia σ _I , S _Ii i σ _Iii są normalnymi ograniczeniami na twarzach tej kostki; Ograniczenia styczne wynoszą zero.

Rozważmy teraz Octahedron, którego szczyty są centra twarzy kostki. Dla każdej twarzy mamy:

• Normalne ograniczenie σ _OCT ;
• Ograniczenie styczne τ _OCT .

Te ograniczenia są wywoływane Ograniczenia okaédrical .

Normalne i styczne ograniczenia na ośmiu ośmiedronowych twarzach są identyczne i są warte ^{[[[ 3 ]} :

${DisplayStyle Sigma _ {mathrm {październik}} = {frac {1} {3}} (sigma _ {mathrm {i}}+sigma _ {mathrm {ii}}+sigma _ {mathrm {iii}})}}}}$

;

${DisplayStyle tau _ {Mathrm {październik}} = {frac {1} {3}} lewy (sigma _ {mathrm {i}} -sigma _ {mathrm {ii}^{2}+(sigma _ {mathrm {ii II }} -Sigma _ {Mathrm {iii}}) (sigma _ {mathrm {iii} -sigma _ {mathrm {ii})^{2} right)^{1/2}}$

.

Zauważ, że w odniesieniu do ciśnienia izostatycznego P i równoważnego ograniczenia zestawów von σ _{To jest} , na :

${DisplayStyle Sigma _ {Mathrm {październik}} = Mathrm {p}}$

;

${DisplayStyle tau _ {mathrm {październik}} = {frac {sqrt {2}} {3}} sigma _ {Mathrm {e}}}}$

.

Termin „oktaedryczne naprężenie normalne” jest czasami używane jako synonim „ciśnienia izostatycznego”.

Otacznicy normalne ograniczenie σ _OCT ma tendencję do zmieniającej objętość ośmiościanu bez pozostawiania go (bez zmiany kąta). I odwrotnie, ośmiadralny Cission ma tendencję do zniekształcania oktaedronów bez zmiany jego objętości; Dlatego logicznie znajdujemy relację z ograniczeniem BETS VON.

Stan stresu jednoosiowego [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W przypadku nagabywania jednoosiowe dwa główne ograniczenia wynoszą zero. Wybieramy według konwencji σ _I ≠ 0; X _I est l’Ax de traction, na | _I | 0. = F / s (nominalny wykonawca), σ _Ii = m _Iii = 0. Dlatego tensor głównych ograniczeń

${displayStyle {begin {pmatrix} sigma _ {Mathrm {i}} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}}$

W przypadku kompresji jednoxialnej mamy σ _I <0, Donc s _I Ii i σ _I Iii W przeciwieństwie do początkowej konwencji. W każdym razie mamy τ _Max = ½ | p _I |..

Ograniczenia samolotowe stanowi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Przykład stanu naprężenia płaszczyzny (dwuosiowy): ściana zbiornika pod ciśnieniem.

W przypadku płaskich ograniczeń jednym z głównych ograniczeń wynosi zero. Wybieramy arbitralnie σ _Iii = 0; Możemy wtedy mieć σ _Ii <0 donc s _Ii Iii , w przeciwieństwie do poprzedniej konwencji. W każdym razie mamy τ _Max = ½ | p _I – M _Ii |..

Dlatego tensor głównych ograniczeń

${displayStyle {begin {pmatrix} sigma _ {mathrm {i}} & 0 & 0 \ 0 & sigma _ {mathrm {ii}} i 0 \ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}}$

Czysty presja izostatyczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W przypadku ciśnienia izostatycznego P mamy σ _I = m _Ii = m _Iii = P. Tensor głównych ograniczeń jest zapisywany

${DisplayStyle {pmatrix} Mathrm {p} & 0 & 0 & Mathrm {p} i mathrm {p} i mathrm {p} \ end {p$

i τ _Max = 0.

W tej bazie prawa wyrażają się w prostszy sposób. W szczególności główne ograniczenia umożliwiają ustalenie kryterium plastyczności lub ruiny, na przykład poprzez uwzględnienie maksymalnego wycięcia (kryterium tresca).
Znajomość głównych kierunków pozwala

• wiedzieć, jak prowadzić wskaźnik naprężeń;
• przewidzieć postęp pęknięć; W szczególności w zmęczeniu: w metalach mikrofisy pojawiają się w maksymalnej płaszczyźnie Cission (stadium I), następnie powstaje pęknięcie i rozprzestrzenia się w maksymalnej płaszczyźnie napięcia (stadium II).

• [Fanchon 2001] Jean Louis Fanchon W Przewodnik mechaniczny: Nauki i technologie przemysłowe , Nathan, 2001 , 543 P. (ISBN 978-2-09-178965-1 )

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]