Grupa zerowa – Wikipedia

W teorii grupy, Grupy zerowe tworzą pewną klasę grup zawartych w grupie rozdzielonych i zawierającej grupy Abélian. Grupy zerowe pojawiają się w teorii Galois i klasyfikacji liniowych grup LE lub grup algebraicznych.

Niech g będzie grupą multiplikatywnie notowaną, neutralnego elementu To jest . Jeśli A i B są dwiema podgrupami g, zauważamy [a, b] podgrupa generowana przez przełączniki formy [x, y] dla x w a i y w B.

Następnie definiujemy poprzez nawrót serię podgrup g, zauważono C ^N (G), przez: c ^Pierwszy (G) = g i c ^{N + 1} (G) = [g, c ^N (G)].

Ten apartament – który również zauważamy ^{[[[ Pierwszy ]} (C _N (G)) _N – nazywa się malejącym centralnym apartamentem g ^{[[[ 2 ]} . Mówi się, że g jest zerowe, jeśli istnieje liczba całkowita N takie jak c ^N (G) = { To jest }. Ponadto, jeśli G jest grupą nilpotent, jej Classe de Nilpotence jest najmniejszy N takie jak c ^{N + 1} (G) = { To jest }.

Możemy również zdefiniować zerowanie za pomocą Centralny apartament (W) wznoszący się (Z _N (G)) _N de g, zdefiniowane przez nawrót w następujący sposób: ζ ₀ (G) = { To jest } i ζ _{N +1} (G) to podgrupa g utworzona przez elementy X ga tak, że dla każdego elementu G de g, [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ G W X ] należą do ζ _N (G). Ta kontynuacja jest również kontynuacją n normalnych podgrup zdefiniowanych w następujący sposób: ζ ₀ (G) = { To jest } i dla wszystkiego N , Z _{N +1} (G) jest jedyną podgrupą g zawierającą ζ _N (G) i takie, że ζ _n+1 (G)/z _N (G) albo środek g/ζ _N (G). (PAR EXEMPLE, z _Pierwszy (G) jest centrum G.) ^{[[[ 3 ]} że g jest nowotworowe, jeśli i tylko wtedy, gdy jego rosnący apartament centralny osiągnie g i że w tym przypadku klasa G jest najmniejszą liczbą naturalną N Tel Que z _N (G) = G.

• Grupa to klasa 0, jeśli i tylko wtedy, gdy jest trywialna.
• Grupa jest zerowa klasa 1, jeśli i tylko wtedy, gdy jest Abélien i nie trywialna.
• Dla każdego jednolitego pierścienia R bezzero (niekoniecznie do pracy), grupa Heisenberg R jest klasa 2. Bardziej ogólnie, podgrupa ogólnej grupy liniowej GL _N ( R ) uformowane górne macierze trójkątne z 1 na głównej przekątnej to klasa klasy N – Pierwszy ^{[[[ 4 ]} . Zgodnie z pierwszymi poniżej właściwościami wszystkie koniugaty (w GL _N ( R )) jego podgrup to zatem nilpotents. Gdy R jest organem towarzyszącym, twierdzenie Kolchina je charakteryzuje: są to grupy macierzy jednoznacznych, to znaczy formularz I _N + N , Lub N jest macierzą zerową.
• Poprzedni przykład jest szczególnym przypadkiem następującej sytuacji: bądź A Pierścień (jednolity, niekoniecznie do pracy) i P Sub-pseudo-kaczek A (innymi słowy, P jest podgrupą grupy addytywnej A i jest stabilny do mnożenia). Albo N liczba całkowita ≥ 1, taka jak produkt N elementy P zawsze zero. (Pseudo-taniec, dla którego istnieje takie N mówi się, że jest zerowy.) Więc 1 + P jest podgrupą multiplikatywnej grupy odwróconych elementów A i jest klasą ≤ klasę N – Pierwszy ^{[[[ 5 ]} .
• I P -Booking jest zerowy ^{[[[ 6 ]} . Dokładniej (według nawrotu): Jeśli N ≥ 2, grupa zamówień P ^N jest najwyżej klasą klasy N – Pierwszy.
• Grupa dietetyczna jest niepotrzebna wtedy i tylko wtedy, gdy jej zamówienie jest siłą dwóch ^{[[[ 7 ]} .

• Podgrupa grupy zerowej jest zerowa. Obraz grupy zerowej przez morfizm grupowy jest grupą zerową.
• Albo Z (g) Centrum grupy zerowej G. Jeśli G nie jest trywialną grupą, wówczas Z (g) też nie jest trywialny. Bardziej ogólnie, jeśli n jest normalną nietrywialną podgrupą g, wówczas n ∩ z (g) też nie jest trywialny ^{[[[ 8 ]} . (Jeśli nie przypuszczamy, że n normalne w g, to stwierdzenie nie jest już prawdziwe. Weźmy na przykład dla G grupy Diédral D ₈ zamówienia 8 i dla n podgrupy zamówienia 2 D ₈ nie zawarte w cyklicznej podgrupie rzędu 4 ₈ .)
• Nietriwalna grupa G to klasa C (≥ 1) Jeśli i tylko wtedy, gdy g/z (g) to klasa C – Pierwszy ^{[[[ 9 ]} .
• Każda grupa zerowa jest rozwiązana. Mówiąc dokładniej, udowadniamy, że jeśli grupa to klasa ≤ 2 ^N – 1, jest to rozstrzygnięcie klasy ≤ n.
• Klasa Nilpotence grupy zerowej nie może być, odwrotnie, zwiększona w zależności od klasy rozdzielczości ^{[[[ dziesięć ]} . Na przykład Dieral Group of rzędu 2 ^R , z r> 1, to klasa r -klasa r – 1 ^{[[[ 11 ]} , podczas gdy klasa rozdzielczości grupy diédralu wynosi ≤ 2.
• Grupa zerowa to Noethérien (W) Jeśli i tylko wtedy, gdy jest to gotowy typ ^{[[[ dwunasty ]} . W takim przypadku jest to nie tylko rozwiązane, ale policykliczne (W) ^{[[[ 13 ]} A nawet super rozpuszczalne.
• Każda grupa zerowa jest wyraźnie engel (W) To znaczy, że sprawdza:
  ${DisplayStyle forall x, yin {text {g}}, istnieje min Mathbb {n}, [[[y, x], x] ldots, x] = equad mathrm {o {grób {u}}} ~ x ~ Mathrm {est ~ {ostre {e}} crit} ~ m ~ {text {fois}}.}$

  

  Istnieje częściowe wzajemne: każda grupa noetherian Engel (w szczególności każda grupa gotowych Engel) jest zerowa ^{[[[ 14 ] W [[[ 15 ]} . Istnieją grupy nieokotalącego typu zakończenia końcowego, ale nie wiemy, czy są one ” N -Egel »dla pewnej liczby całkowitej N to znaczy, dla którego M powyżej można naprawić równe N Dla wszystkich elementów X I I z grupy ^{[[[ 16 ]} .
• Zakończone elementy zerowej grupy G tworzą podgrupę G. Ta podgrupa nazywa się podgrupą Gor G. Jest to w pełni charakterystyczna podgrupa G. dla dowolnej liczby P , elementy g mają jako rozkaz mocy P Utworz również podgrupa G, podgrupa również w pełni charakterystyczna. Jeśli wyznaczymy tę podgrupę g przez t _P , podgrupa skrętna G jest ograniczoną sumą t _P (Lub P podróżuje wszystkie liczby pierwotne) ^{[[[ 17 ]} .
• Fakt, że gotowe elementy zerowej grupy G tworzą grupę G G, można określić w następujący sposób: Jeśli G jest grupą klasową zerową C , I X I I są dwa gotowe elementy g, jeśli N jest taką naturalną liczbą X ^N = y ^N = 1, więc ^{[[[ 18 ]} (Xy) ^{N C} = 1.
• Jeśli G jest grupą gotową, następujące warunki są równoważne ^{[[[ 19 ]} :

1. G jest zerowy;
2. Każda podgrupa G jest podnormalna w G, to znaczy, że jeśli H jest podgrupą G, istnieje rosnąca skończona sekwencja podgrup od H do G, tak że każda z tych podgrup jest normalna;
3. Każda grupa g jest odpowiednio podgrupą jej normalizatora w G;
4. Każda maksymalna podgrupa G jest normalna w G;
5. G jest bezpośrednio z podgrup Sylow;
6. G jest bezpośrednim produktem grup, których zamówienia są liczbami pierwszymi;
7. Dla dowolnego pierwszego numeru P , G jest P -Clos (angielski P-zamknięty ), to znaczy, że elementy g, których porządek jest siłą P uformuj podgrupę g lub że G przyznaje P -Sous-grupa normalnego Sylowa (co jest wówczas jedynym P -Sous-Grupa de Sylow de g);
8. G Sprawdza mocne „wzajemne” twierdzenie Lagrange: dla każdego dzielnika D z | g |, g ma podgrupę normalna uporządkowany D ^{[[[ 20 ]} .

1. G jest zerowy;
2. Każda podgrupa G jest podnormalna w G, to znaczy, że jeśli H jest podgrupą G, istnieje rosnąca skończona sekwencja podgrup od H do G, tak że każda z tych podgrup jest normalna;
3. Każda grupa g jest odpowiednio podgrupą jej normalizatora w G;
4. Każda maksymalna podgrupa G jest normalna w G.

Grupa G to klasa ≤ 2, jeśli i tylko wtedy, gdy pochodna G jest zawarta w centrum G, co oznacza to dla wszystkich elementów X W I de g, przełącznik [x, y] = x ^-Pierwszy I ^-Pierwszy xy należy do centrum G. z oceną ^z = z ^-Pierwszy Az dla A I z W g g jest klasa ≤ 2, jeśli i tylko wtedy, gdy [x, y] ^z = [x, y] dla wszystkich elementów X W I W z z G. lub G A grupa zerowa klasy ≤ 2. Tożsamości

${DisplayStyle [xy, z] = [x, z]^{y} [y, z]}$

I

${DisplayStyle [z, xy] = [z, y] [z, x]^{y},}$

Prawdą w każdej grupie, stać się w g

${DisplayStyle [xy, z] = [x, z] [y, z]}$

I

${DisplayStyle [z, xy] = [z, y] [z, x] = [z, x] [z, y].}$

Więc jeśli A jest elementem G, aplikacja F _A : x ↦ [a, x] et l’plication g _A : x ↦ [x, a] to endomorfizmy od G.

${DisplayStyle [x^{r}, y] = [x, y]^{r}}$

I

${displayStyle [x, y^{r}] = [x, y]^{r}}$

Dla wszystkich elementów X W I g i wszystkie racjonalne R .

Z tych relacji i faktu, że elementy elementów G należą do centrum G, wydedukujemy związek

(Pierwszy)

${DisplayStyle (xy)^{n} = x^{n} y {^{n}} [y, x]^{n (n-1)/2}}}}$

Dla wszystkich elementów X W I g i naturalna całość N . Ten formuła można wykazać bezpośrednio przez nawrót N , lub wywnioskowane z następującej tożsamości, prawdziwie w dowolnej grupie:

${DisplayStyle (xy)^{n} = x^{n} y [y, x^{n-1}] y [y, x^{n-2}] … [y, x^{2} ] y [y, x] y.}$

Wzór (1) służy na przykład w określeniu struktury grup hamiltonijskich ^{[[[ 22 ]} .

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]