Invaants of Symilitude – Wikipedia

W algebrze liniowej a niezmienne podobieństwo jest ilością, która może być powiązana z dowolną kwadratową matrycą (ze współczynnikami w ustalonym ciele komulacyjnym K ), takie, że dla dwóch podobnych macierzy ta ilość jest zawsze taka sama. Przykładami niezmienników podobieństwa są wielkość matrycy, jej ślad, jej determinant, jej charakterystyczny wielomian (którego możemy wydedukować trzy poprzednie niezmienniki) lub jej minimalny wielomian. Z powodu tej niezmienności taka ilość może być również powiązana z dowolnym endomorfizmem przestrzeni wektorowej gotowego wymiaru, przy użyciu jej matrycy w dowolnej podstawie przestrzeni.

Zestaw niezmienników podobieństwa nazywa się kompletnym systemem, jeśli dla dwóch macierzy nie -symbolicznych, przynajmniej jeden z niezmienników przyjmuje wyraźne wartości na dwóch macierzach. Wspomniane powyżej niezmienniki nie tworzą pełnego systemu. Ale znany jest kompletny system: te niezmienniki są konwencjonalnie nazywane Niezmienności podobieństwa macierzy. Te niezmienniki składają się z gotowego zestawu jednolitych wielomianów, z których każdy dzieli ich następcę, którego ostatnim elementem jest minimalny wielomian i którego produkt nadaje charakterystyczny wielomian.

Możemy to pokazać, jeśli A to duża kwadratowa matryca N do współczynników w ciele K , więc jest macierz B podobny do A , przekątne przez bloki i których przekątne bloki są towarzyszącymi matrycami tych niezmienników podobieństwa. Istnienie takiej matrycy B Na podstawie rozkładu Frobeniusa (w cyklicznych podmodelach) przestrzeni wektorowej K ^N , Widziany jako K [[[ X ] -Moduł (typ gotowy) gdzie X działa jak liniowa aplikacja zdefiniowana przez A . Ten rozkład jest przedmiotem, w bardziej ogólnych ramach twierdzenia o czynnikach niezmiennych. Niezmienności podobieństwa mogą być niezmiennymi czynnikami tego K [[[ X ]-moduł.

Obliczanie tych niezmienności podobieństwa jest skuteczne (nie wymaga faktoryzacji wielomianu, jak ma to miejsce w przypadku poszukiwania własnych wartości) i opiera się na algorytmach typu obrotowego Gaussa.

Być I Niezerowa zakończona przestrzeń wektorowa wymiaru na ciele przemiennym K , albo W Endomorfizm I . Mówimy, że podprzedaż F z I Wschód W -Monogen, jeśli istnieje wektor X z F Jak na przykład F albo podprzedaż I wygenerowane przez W ^S ( X ), Lub S Podróżuje pozytywne naturalne. Możemy oczywiście ograniczyć się do liczb naturalnych S ściśle niższy niż stopień minimalnego wielomianu W . I F Wschód W -Monogen, mamy w szczególności W ( F ) ⊆ F , aby był jeden (i tylko jeden) endomorfizm F pokrywa się z W jakimkolwiek sposobem F . Na notatkę W _{|. F} Ten endomorfizm F („Ograniczenie” lub „biresrykcja”, z W ma F ). Powiedz to F Wschód W -Monogen to mówienie W ( F ) ⊆ F I F Wschód W _{|. F} -Monogen. Pokazujemy to I Wschód W -Monogen tylko wtedy, gdy minimalny wielomian i charakterystyczny wielomian W są równe ^{[[[ Pierwszy ]} .

Możemy zdefiniować niezmienności podobieństwa kwadratowej matrycy M ∈ M _N ( K ) do współczynników w ciele przemiennego K jako niezmienności podobieństwa endomorfizmu K -przestrzeń K ^N kto ma M Dla matrycy w bazie kanonicznej. Poprzednie twierdzenie ma konsekwencje, że dwie matryce M _N ( K ) Mają te same niezmienności podobieństwa, jeśli i tylko wtedy, gdy są podobne.