Limite de Betz – Wikipedia

. Limit betz jest prawem fizycznym, które wskazuje, że maksymalna moc teoretyczna opracowana przez czujnik wiatru jest równy 16/27 (około 60%) mocy padającej wiatru, która przecina turbinę wiatrową.

Wynik ten został odkryty przez niemieckiego Alberta Betz w 1919 roku i został opublikowany w jego książce Energia wiatrowa W 1926 r. Prawo to dotyczy wszystkich rodzajów ostrzy z ostrzami, które są oznaczone ogólną nazwą czujnika wiatru.

Betz Oblicz to:

• Maksymalna moc teoretyczna możliwa do odzyskania przez czujnik wiatru jest równy 16/27 mocy padającej wiatru, która przecina turbinę wiatrową;
• Limit ten zostanie osiągnięty, gdy prędkość wiatru zostanie podzielona przez trzy między upstream i poniżej turbiny wiatrowej.

Upadkowa moc wiatru jest kinetyką i zależy od powierzchni, jaką oferuje czujnik wiatru na wietrze, prędkość wiatru i gęstość powietrza.
Możemy grupować te wyniki zgodnie z tymi formułami:

${DisplayStyle P_ {Extraite}^{max} = {frac {16} {27}}. P_ {incydis}}$

z

${DisplayStyle p_ {incid incid} = p_ {Cinetic} = {frac {1} {2}}. Rho.$

Kiedy

${DisplayStyle v_ {Downstream} = {frac {1} {3}} v_ {upstream}}$

${DisplayStyle Rho}$

: gęstość płynu ( 1.20 kg/m ³ Dla powietrza w 20 ° C)

S: Powierzchnia czujnika wiatru (zamiatana powierzchnia) w M ²

${DisplayStyle v_ {Amont}}$

: incydent (powyżej) prędkość płynu w m/s

Ta demonstracja opiera się na podstawowych równań mechaniki płynów (twierdzenie Bernoulli, równania Eulera).

Obliczanie mocy czujnika wiatru sformułowanego przez Alberta Betza ustalono na podstawie obliczeń energii kinetycznej.

W celu obliczenia mocy czujnika wiatru z uwzględnieniem energii kinetycznej i potencjalnej patrz: Obliczanie mocy wiatru lub pływowego typu turbiny.

Modelowanie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

– Monodimensional Flow według sekcji, stacjonarny dla idealnego jednorodnego płynu

– Umieszczamy się w rzekomo Galileńskim odniesieniu lądowym.

Notacja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

${DisplayStyle Rho}$

: gęstość płynu

S: Powierzchnia czujnika wiatru

Dla wszystkich następujących zmiennych indeks

${DisplayStyle _ {1}}$

after-content-x4

odpowiada wejściowi czujnika i indeksu

${DisplayStyle _ {2}}$

odpowiada wyjściu

${DisplayStyle s}$

: sekcja zajmowana przez przechwycone przepływ powietrza (zmienna, patrz poniżej)

${DisplayStyle P}$

: ciśnienie

${DisplayStyle v}$

: prędkość powietrza

DM: Masowy przepływ powietrza,

${DisplayStyle DM = rho sv}$

after-content-x4

${DisplayStyle f}$

: siła wywierana przez powietrze na czujnik

${DisplayStyle P}$

: moc opracowana przez siłę wywieraną.

Obliczenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W badanym przypadku przepływ masy jest stały:

${DisplayStyle d_ {m} = rho sv = cste}$

^{[[[ Pierwszy ]} .

Rozważmy cztery punkty na tej samej bieżącej linii: jeden punkt powyżej (włączony

${DisplayStyle S_ {1}}$

), punkt „tuż przed” właściwym czujnikiem, kolejnym „tuż po” i ostatnim w dół (

${DisplayStyle S_ {2}}$

):

W obu punktach z daleka od czujnika,

${DisplayStyle S_ {1}}$

I

${DisplayStyle S_ {2}}$

, ciśnienie jest równe ciśnieniu atmosferycznym

${DisplayStyle P_ {0}}$

W dwóch punktach blisko czujnika sekcja jest równa powierzchni S, a ponieważ przepływ masy jest stały, prędkość wiatru jest taka sama w tych dwóch punktach:

${DisplayStyle v}$

. Z drugiej strony istnieje nieciągłość ciśnienia między tymi dwoma punktami.

Przepływ ma być doskonały i stacjonarny, podobnie jak płyn ma być nieściśliwy (stała gęstość); Wpływ pola grawitacyjnego wynosi zero (zapakowane powietrze w powietrzu „wokół”, ponieważ archimedes popychają równowagę dokładnie na ciężar powietrza, którego możliwa praca – nawet przy założeniu, że wysokość zmienności jest zatem anulowana). Dwukrotnie stosujemy twierdzenie Bernoulli, z jednej strony między upstream a punktem tuż przed czujnikiem, z drugiej strony między punktem tuż po czujniku i w dół; Więc mamy :

(Pierwszy) :

${DisplayStyle {frac {p_ {0}}} {rho}}+{frac {i 1 {1}^{2}}}}}} = {frac {p_ {1}}} {rho}}+{frac {i^ {2}} {2}}}$

I

(2):

${DisplayStyle {frac {p_ {0}} {rho}}+{frac {and_ {2}^{2}}}}}} = {frac {p_ {2}}}} {rho}}+{frac {i ^^ {2}} {2}}}$

Odejmowanie (1) – (2) daje

(3):

${DisplayStyle P_ {1} -p_ {2} = {frac {rho} {2}} (v_ {1}^{2} -v_ {2}^{2})}$

Siła wywierana przez wiatr na czujniku jest

(4):

${displayStyle f = (p_ {1} -p_ {2}). s = {frac {rho} {2}} (v_ {1}^{2} -v_ {2}^{2}). S = Rho .$

Ale ta siła może również wyrazić się, stosując prawo Newtona:

(5):

${displayStyle {start {wyrównany} f & = mcdot a \ & = mcdot {tfrac {dv} {dt}} \ & = d_ {m} cdot delta v \ & = rho cdot scdot vcdot lewy (v_ {1} -v_ { 2} po prawej) \ end {wyrównany}}}$

Równość dwóch wyrażeń (4) i (5) wymaga tego

${DisplayStyle v = {frac {(v_ {1}+v_ {2}) {2}}}$

a moc opracowana przez tę siłę na ostrzach jest

(6):

${DisplayStyle p = f.v = {frac {rho} {2}} (v_ {1}^{2} -v_ {2}^{2}). S.V}$

;

Jeśli wyrażamy tę moc jako funkcję

${DisplayStyle x = {frac {i 2 {2}} {v_ {1}}}}$

, y wydajność i

${DisplayStyle P_ {0}}$

Siła incydentu nietysturowanego wiatru:

${DisplayStyle p_ {0} = {frac {1} {2}} rho sv_ {1}^{3}}$

otrzymujemy

${DisplayStyle v = v_ {1} {frac {1+x} {2}}}$

I

${DisplayStyle r = {frac {p} {p_ {0}}} = {frac {1} {2}} (1-x^{2}) (1+x)}$

Następnie możemy narysować wydajność Y turbiny wiatrowej w funkcji x:

Maksymalny ^{[[[ 2 ]} jest osiągany dla x = 1/3, a następnie r = 16/27. Stąd limit BETZ:

${DisplayStyle p_ {extraite}^{max} ,, = ,, {frac {16} {27}}, p_ {incydis}}$

Teoretyczna limit i praktyczne implikacje formuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

• Obliczenia zakładają, że energia cieplna zawarta w płynie jest zaniedbywana i że gęstość tego płynu pozostaje stała. Jednak ekstrakcja energii kinetycznej będzie miała wpływ termiczny na płyn, co z kolei może rozwinąć gęstość (na przykład kondensacja pary wodnej). Zjawisko to ma niskie znaczenie dla powietrza, może być znaczące w innych przypadkach. Limit Betza dotyczy dowolnego rodzaju turbiny wiatrowej, ale na przykład nie dotyczy turbiny parowej.

• Obliczenia powoduje pewną liczbę hipotez, które sprawiają, że ta ogranicza górna część, a nie maksymalna możliwa do osiągnięcia; Nowoczesne bardziej skomplikowane obliczenia ^{[[[ 3 ] W [[[ 4 ]} Pokaż, że prawdziwe maksimum jest niższe.

• Na granicy Betz wiatr widzi jego prędkość podzieloną przez trzy; Aby utrzymać ten sam przepływ, powierzchnię wyjściową należy zatem mnożyć przez trzy.

• Widzimy, że krzywa plonu jest dość płaska, co oznacza, że ​​wydajność pozostaje całkiem dobra, nawet gdy uciekamy od optymalnego.

Istnienie limitu BETZ tłumaczy konkurencję między dwoma przeciwnymi zjawiskami:

• Turbina wiatrowa odzyskuje cała energia, gdy bardziej spowalnia wiatr (co jest tłumaczone przez termin
  ${displayStyle (v_ {1}^{2} -v_ {2}^{2})}$

  Formuła mocy) …

• … ale odzyskuje to wszystko mniej, ponieważ przepływ jest niższy, ale spowolnienie zmniejsza przepływ (co jest tłumaczone przez termin
  ${displayStyle (v_ {1}+v_ {2})}$

  formuła mocy)

Nowoczesne turbiny wiatrowe osiągnęły limit Betza ^{[[[ 5 ]} Z wydajnością, która wynosi około 45% dla prędkości wiatrów pośrednich. Spowolnienie w powietrzu jest tak skuteczne, że turbiny wiatrowe muszą wystarczająco dużo miejsca w dół, aby atmosfera rekonstruowała jej potencjał wiatru i że turbulencje wytwarzane przez turbinę wiatrową nie przeszkadzają w turbinie wiatrowej. Moc wytwarzana przez turbinę wiatrową jest proporcjonalna do powierzchni wirnika, a zatem do kwadratu średnicy wirnika, podczas gdy niezbędne przestrzenie między turbinami wiatrowymi są wyrażane w wielu tej samej średnicy wirnika. W związku z tym energia, którą można wyodrębnić przez powierzchnię ziemi, jest mniej więcej niezależna od wielkości ustalonych turbin wiatrowych ^{[[[ 6 ]} .