Mała grupa – Wikipedia

Według względności nazywamy mała grupa Podgrupa transformacji Lorentza

${DisplayStyle {Lambda ^{alpha}} _ {beta}}$

którego elementy pozostawiają impulsyjne

${DisplayStyle p^{alpha}}$

dany. Jeśli

${DisplayStyle {w^{alpha}} _ {beta}}$

jest członkiem tej grupy, więc mamy:

${DisplayStyle p^{alpha} = {w^{alpha}} _ {beta} p^{beta}}$

(Adoptujemy tutaj jako metryka Morentziana

${DisplayStyle ETA _ {MU NO}}$

Podpisanie

${DisplayStyle (+,-, —)}$

, a także system „naturalnych” jednostek, gdzie

${DisplayStyle hbar = c = 1}$

)

Rozważmy na przykład materialną cząstkę czworokątną

${DisplayStyle p^{alpha} NEQ 0}$

. Istnieje zatem repozytorium Lorentzian, w którym ta cząstka jest w spoczynku; Dlatego możemy tam napisać:

${DisplayStyle p^{alpha} = {}^{t} (m, 0,0,0)}$

.

Każdy element odpowiedniej małej grupy musi zatem sprawdzić:

${DisplayStyle p^{alpha} = {w^{alpha}} _ {beta} p^{beta}}$

. W szczególności:

${DisplayStyle p^{0} = {w^{0}} _ {0} p^{0} (+0+0+0)}$

, to znaczy

${displaystyle {W^{0}}_{0}=1}$

.

Dla wszystkich innych komponentów

${DisplayStyle p^{i} = 0}$

, Mamy :

${DisplayStyle p^{i} = 0 = {w^{i}} _ {alpha} p^{alpha}}$

, WIĘC

${DisplayStyle {w^{i}} _ {0} = 0}$

.

Teraz rozważ, zgodnie z ogólną metodą w grupach LIE, transformację małej grupy

${DisplayStyle {w^{alpha}} _ {beta}}$

arbitralnie bliski tożsamości, aby można było pisać w pierwszym rzędu:

${DisplayStyle {w ^{alpha}} _ {beta} = {delta ^{alpha}} _ {beta}+{omega ^{alpha}} _ {beta}}}$

Lub

${DisplayStyle {omega ^{alpha}} _ {beta}}$

jest nieskończoną transformacją. Od

${DisplayStyle {w^{alpha}} _ {beta}}$

jest transformacją Lorentza, musi zweryfikować:

${displaystyle eta _{nu mu }={W^{alpha }}_{nu }{W^{beta }}_{mu }eta _{alpha beta }}$

Daje to, zastępując

${displaystyle {W^{alpha }}_{nu }}$

I

${displaystyle {W^{beta }}_{mu }}$

przez ich odpowiednie zmiany:

${DisplayStyle eta _ {nu} = ({delta ^ {alpha}} {omega} +} _ {nu})}} {delta})}} {{in} + {omega ^ {beta}}} {mu}}} ) eta _ {alpha beta} = ({delta {}} _ {nu} {delta {del}} _ {in} + {delta {alpha}} _ {nu} {omega ^ {beta}}} {delta}} + {delta {beta}} _ {mu} {omega {alpha}} _ {nu} + …) eta _ {alpha beta}}$

${DisplayStyle = {delta ^ {alpha}} _ {in}}} _ {mu} eta _ {alpha beta} + {delta {alpha}} _ {nu} {omega {beta}} _ {in} eta _ { alpha beta} + {delta ^} _ {in} {omega}} _ {nu}} = eta _ {nu} = {delta ^ {alpha}} _ {n {} omega _ {alpha in} + {delta}} omega} _ {} omega _ {beta nu} = omega _ {{{{} + omega _ {w nu}}$

Skąd :

${DisplayStyle Omega _ {nu} + omega _ {mu nu} = 0}$

.

Matryca 4×4

${DisplayStyle Omega _ {nu m}}$

jest zatem antysymetrycznym, a zatem ma 6 niezależnych elementów. Ze stanem nieważności trzech komponentów

${DisplayStyle {w^{i}} _ {0} = 0}$

, kończymy tylko z 3 niezależnymi komponentami.

Matryce nieskończoności

${DisplayStyle (omega _ {nu mu}) {i}}}$

są zatem generowane przez trzy podstawowe macierze typu

${displayStyle lewy ({start {array} {cc} 0 & 0 \ 0 & epsilon _ {ijk} end {array}} right)}$

. Rozpoznajemy tam trzy generatory grupy rotacji R³,

${DisplayStyle So (3)}$

.

Mała grupa to zatem grupa tutaj

${DisplayStyle So (3)}$

, oczekiwany wynik intuicyjny.

Impulsja czworokątna może przyjmować tylko dwie inne wartości fizyczne:

1. W przypadku „nie -masy cząstki w spoczynku”
   ${DisplayStyle p^{alpha} = 0}$

   , Mała grupa to oczywiście jednorodna grupa Lorentz

   ${DisplayStyle So (3,1)}$

   ;

2. W przypadku zerowej cząstki masy poruszającej się z prędkością światła
   ${displayStyle {frac {dx} {dt}} = 1, p^{alpha} = {}^{t} (1,1,0,0)}$

   , mała grupa to grupa

   ${DisplayStyle ISO (2)}$

   Rotacje i tłumaczenia planu euklidesowego.