Matrice of Pertation – Wikipedia

A Matryca permutacji to kwadratowa matryca, która sprawdza następujące właściwości:

• Współczynniki wynoszą 0 lub 1;
• Jest jeden i tylko jeden 1 na linię;
• Jest jeden i tylko jeden 1 na kolumnę.

Więc :

${DisplayStyle {początek {pmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ 0 i 0 i 1 i 0 \ 0 i 0 i 0 i 1 \ 0 i 1 i 0 i 0end {pmatrix}}}$

jest matrycą permutacji.

Link z grupą symetryczną [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Matryce permutacji kwadratowej N są w biurze z permutacjami całego {1,2, … N }. Jeśli σ jest taką permutacją, odpowiednia macierz to

${DisplayStyle P_ {sigma}}$

ogólnie ^{[[[ Pierwszy ]}

${displayStyle lewy [p_ {sigma} right] _ {ij} = delta _ {i, sigma (j)} = {start {cases} 1 & {hbox {si}} i = sigma (j) \ 0 & {hbox {sinon {sinon .}} end {case}}}$

Ta biuru to morfizm grupowy:

${DisplayStyle p_ {sigma} p_ {tau} = p_ {sigma circ tau}}$

^{[[[ Pierwszy ]} .

Używając tej tożsamości z dwoma odwróconymi permutacjami od siebie, uzyskujemy fakt, że macierz permutacji jest odwracalna, a jej odwrotność jest macierzą odwrotnej permutacji ^{[[[ Pierwszy ]} . Wszystkie macierze permutacji tworzą podgrupę liniowej ogólnej grupy indeksu N , izomorficzny do grupy symetrycznej

${DisplayStyle {Mathfrak {s}} _ {n}}$

.

Zauważ, że użycie anglosaskie prowadzi do definiowania macierzy permutacji inaczej (przeciwieństwo permutacji): patrz wersja angielska.

Ortogonalność [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Kolumny macierzy

${DisplayStyle P_ {sigma}}$

to wektory kanonicznej bazy

${DisplayStyle Mathbb {r} ^{n}}$

, którego porządek został zmieniony. Rzeczywiście, jeśli zauważymy

${DisplayStyle e_ {1}, …, e_ {n}}$

Te wektory,

${DisplayStyle P_ {sigma} (e_ {j}) = e_ {sigma (j)},}$

Więc

${DisplayStyle P_ {sigma}}$

Wysyła podstawę ortonormalną na podstawie ortonormalnej: jest to matryca ortogonalna.

Transposowana matryca

${DisplayStyle P_ {sigma}}$

jest również odwrotnie i jest wart

${DisplayStyle P_ {sigma ^{-1}}}$

.

Wyznacznik macierzy wynosi +1, jeśli i tylko wtedy, gdy wektory obrazu kanonicznej podstawy tworzą bezpośrednią podstawę, to znaczy tylko wtedy, gdy σ jest permutacją pary. W przeciwnym razie wyznacznik wynosi -1. Determinant macierzy jest zatem podpisem σ.

Ślad

${DisplayStyle P_ {sigma}}$

jest równe liczbie całości I Jak na przykład S (i) = i to znaczy liczba stałych punktów

${DisplayStyle Sigma}$

.

Zastosowanie do operacji podstawowych [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Podobnie jak każda permutacja jest wytwarzana z transpozycji, każda macierz permutacji jest produktem macierzy permutacji podstawowy to znaczy związany z transpozycjami. Łatwo jest zobaczyć, że mnożenie po lewej (odpowiednio po prawej) macierz A przez taką podstawową matrycę permutacji wynosi wymiana dwóch linii (odpowiednio dwie kolumny) A .

Bardziej ogólnie, pomnóż matrycę A Tuż przy matrycy permutacji P wylicza zamianę kolumn macierzy A , zgodnie z permutacją odpowiadającą P . Pomnóż matrycę A po lewej przez matrycę permutacji P Wylicza zamianę linii matrycy A , po przeciwnej permutacji.

Zastosowanie do matryc bistochastycznych [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Matryce permutacji to szczególne przypadki matrycy bistochastycznej. Mówiąc dokładniej, możemy wykazać, że wszystkie matryce bistochastyczne są częścią wypukłą, której macierze permutacji tworzą końce.

W szczególności każda podwójnie matryca stochastyczna jest barę z dodatnimi współczynnikami matryc permutacji.