Mission Di Lebesgue – Wikipedia
W matematyce, Pomiar Lebesgue Jest to rozmiar zwykle stosowany do podzbiorów przestrzeni wielkości euklidesowej N . Jest to pełna pozytywna miara, która stanowi uogólnienie podstawowych pojęć obszaru i objętości podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Zestawy, które można przypisać do pomiaru lebesgue, są wywoływane Mierzalne według Lebesgue O Lebesgue-Misuratable .
Jest to powszechnie stosowana miara w analizie matematycznej i ma szczególne znaczenie w definiowaniu całki Lebesgue. Jeśli weźmiesz wybrany aksjomat, nie wszystkie zestawy
Są one-lebesgue-misuratable, a klasycznym przykładem niechcianej całości jest zestaw Vitali. Zachowanie niezmienionych zestawów powoduje takie wyniki, jak paradoks Banach-Tarskiego, co jest również konsekwencją wybranego aksjomatu.
Henri Lebesgue opisał swoją miarę w 1901 r., Po następnym roku opisem zintegrowanego Lebesgue. Oba zostały opublikowane w ramach jego rozprawy w 1902 roku.
Aby zdefiniować miarę Lebesgue, konieczne jest wprowadzenie określonej klasy zestawów podstawowych. Czy:
dwóch przewoźników w
dziecko
dla każdego
.
Zestaw typu:
i powiedział
-komórka . [Pierwszy]
Liczba komórki jest definiowana jako liczba:
Pokazano, że istnieje pełny pozytywny pomiar
definiuje swoją sigma-algebrę
W
tak, że: [2]
- dla każdego -komórka .
- To też to następuje To jest regularne. Mówi się również, bardziej syntetycznie, że zawiera wszystkie zestawy Borela .
- Pomiar jest niezmienny do tłumaczenia lub:
- dla każdej całości Z i dla każdego Z .
- Z Jest to miara niezmiennego boru do tłumaczenia na I takie, że:
- Dla każdej kompaktowej całości (W tym przypadku mówi się o tym I W radonie O Radon ), to jest stała tak, że:
- Dla każdego zestawu bola .
Elementy
nazywają się Zestawy Lebesgue , pomiar
Nazywa się Lebsegue w
. [2]
W konkretnym przypadku, w którym
W
To jest
Jest ciągły, a następnie całka pełnej długości Riemanna:
i lebesgue pełna długość:
Zbieżą. [3]
Środek Lebesgue ma następujące właściwości:
- Z Jest to kartezjański produkt interwałów form , W tym czasie Jest to Lebesgue-Misuratable i , Gdzie Wskazuje długość interwału I-TH.
- Z Jest to nieprzekroczony związek skończonej lub liczbowej liczby rozłączonych zestawów Lebesgue-Misuratable Jest to Lebesgue-Misuratable i Jest to równe sumie (lub serii) miar wymiernych zestawów.
- Z Jest lebesgue-misuratable, a następnie jego uzupełnienie jest również.
- Dla każdego całego Lebesgue-Misuratable .
- Z To jest Są lebesgue-misuratable i jest podzbiorem , W tym czasie , w wyniku drugiego, trzeciego i czwartego punktu.
- Liczbowane związki i przecięcia zestawów Lebesgue-Misurat, które są w wyniku drugiego i trzeciego punktu.
- Z jest to otwarty lub zamknięty podzbiór (Patrz przestrzeń metryczna), wtedy Jest to-mistelny.
- Z To jest misralny zestaw Lebesgue lub zbiór nic nie Nic nie jest zbiorem miary.
- Z Jest to Lebesgue-Misuratable i a później tłumaczenie Poprzez , określony przez jest mistetyczny Lebesgue i ma ten sam rozmiar jak .
Wszystkie wyżej wymienione stwierdzenia można podsumować, mówiąc, że pomiary mierzalne według Lebesgue tworzą σ-algebrę zawierającą wszystkie produkty przedziałów, E
Jest to jedyna niezmienna miara tłumaczeń i kompletna na tej sigma-algebrze z
. Środek według Lebesgue ma również własność Sigma-Finita, tj. Możliwe jest pokrycie całej przestrzeni za pomocą liczebnego połączenia pomiaru pomiaru zakończonych Lebesgue.
Podzbiór
Jest to zestaw miary, jeśli dla każdego
odstępy, których całkowita objętość jest co najwyżej
. Wszystkie liczby są rozstrzygnięciem niczego, a także zestawów
którego rozmiar jest mniejszy niż
, na przykład opłaty lub obwody w
.
Pokazać to razem
Według Lebesgue można go mierzyć, ogólnie staramy się znaleźć zestaw „przyjemniejszy”
co różni się od
tylko dla zestawu miary niczego (w tym sensie, że różnica symetryczna
jest to zbiór miary niczego) i dlatego pokazuj to
Można go generować przy użyciu związków i liczby zestawów otwartych lub zamkniętych.
Nowoczesna konstrukcja miary lebnesgijskiej, oparta na środkach zewnętrznych, wynika z Carathéodory. Dla każdego podzbioru
Z
Można go zdefiniować:
Gdzie
Jest to zdrętowny związek produktów interwałowych e
Jest to suma produktów długości zaangażowanych przedziałów. Można to wykazać
Jest to miara zewnętrzna. Dlatego całość jest zdefiniowana
Mierzalne według Lebesgue, jeśli:
Dla wszystkich zestawów
. W przypadku twierdzenia karatodorycznego te misralne zestawy Lebesgue tworzą σ-algebra, a miara lebesgue jest zdefiniowana przez
Dla każdego całego Lebesgue-Misuratable
.
Zgodnie z twierdzeniem Vitali, jeśli aksjomat wyboru zostanie przyjęty, istnieje podzbiór liczb rzeczywistych
Który nie jest-mistetyczny. Jeśli nie, nie ma przykładów podzbiorów
Nie Lebesgue-Misisteral.
Miara Borela pokrywa się z miarą Lebesgue na zestawach, dla których jest zdefiniowany; Istnieje jednak o wiele więcej zestawów wielkości lebesgijskiej wielkości, które ustanawiają Bor-Mi-Sigable. Środek Bego jest niezmienny dla tłumaczeń, ale nie jest kompletna.
Miara Haara można zdefiniować w każdej lokalnie kompaktowej grupie i jest uogólnieniem miary Lebesgue (w rzeczywistości
Z dodatkiem jest to grupa lokalnie kompaktowa).
Pomiar Hausdorffa (patrz także rozmiar Hausdorff) jest uogólnieniem miary Lebesgue przydatnej do pomiaru zestawów
mniejszy
, takie jak bielizna, na przykład powierzchnie lub krzywe
i zestawy fraktalne.
- ( W ) Walter Rudin, Prawdziwa i złożona analiza , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- ( W ) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Analiza prawdziwej i abstrakcyjnej , Springer (1965.)
- ( W ) Pomiar Lebesgue . Czy Brytyjska encyklopedia Encyclopaedia Britannica, Inc.
- ( W ) Eric W. Failses, Pomiar Lebesgue . Czy Mathworld , Wolfram Research.
- ( W ) V.V. Sazonov, Miara Lebesgue , W Encyklopedia matematyki , Springer e European Mathematical Society, 2002.
- Paolo kupił, Lebnesgian teoria pomiaru ( PDF ), Czy DM.Unipi.it , 29 listopada 2011 r. URL skonsultowano się z 25 stycznia 2012 r. .
Recent Comments