Nazwa Bernoulli – Wikipedia

W matematyce, Nazwy Bernoulli , odnotowany B _N (lub czasami B _N Aby nie mylić ich z wielomianami Bernoulli lub z liczbą Bell), stanowić serię racjonalnych liczb.

Liczby te zostały po raz pierwszy zbadane przez Jacquesa Bernoulli (który doprowadził Abrahama de Moivre’a, aby nadać im nazwę, którą znamy dzisiaj), szukając formuł, które wyrażają sumy tego typu

${DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = 0^{m}+1^{m}+2^{m}+cdots+{(n-1)}^{ M}.}$

Dla całych wartości M , ta suma jest zapisywana jako wielomian zmiennej N którego pierwsze terminy są:

${DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = {frac {1} {m+1}} lewy (n^{m+1}-{frac {1} {2} } {m+1 wybierz 1} {n^{m}}+{frac {1} {6}} {m+1 Wybierz 2} {n^{m-1}}-{frac {1} {30}} } {M+1 Wybierz 4} {n^{m-3}}+{frac {1} {42}} {m+1 wybierz 6} {n^{m-5}}+ldots right).}}}$

Pierwsze liczby Bernoulliego są podane w poniższej tabeli:

N	0	Pierwszy	2	3	4	5	6	7	8	9	dziesięć	11	dwunasty	13	14
B N	Pierwszy	– Pierwszy / 2	Pierwszy / 6	0	– Pierwszy / 30	0	Pierwszy / 42	0	– Pierwszy / 30	0	5 / 66	0	– 691 / 2730	0	7 / 6

Można je zdefiniować poprzez rozwój całej serii (zbież się, jeśli |. X |. <2p ):

${DisplayStyle {frac {x} {{rm {e}}^{x} -1}} = sum _ {k = 0}^{infty} b_ {k}, {frac {x^{k}} {k !}} = 1- {frac {1} {2}}, x+{frac {1} {6}}, {frac {x^{2}} {2!}}-{frac {1} {30} }, {frac {x^{4}} {4!}}+{frac {1} {42}}, {frac {x^{6}} {6!}}-{frac {1} {30}} }, {frac {x^{8}} {8!}}+{frac {5} {66}}, {frac {x^{10}} {10!}}-{frac {691} {2; 730}}, {frac {x^{12}} {12!}}+{Frac {7} {6}}, {frac {x^{14}} {14!}}+Ldots}+ldots}+ldots}+ldots}}$

Liczby Bernoulliego pojawiają się w wielu aplikacjach, ponieważ formuła Eulera-Maclaurina:

${DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} f (k) ok. Int _ {0}^{n} f (x), {rm {d}} x- {frac {1} {2} } (f (n) -f (0))+{frac {1} {6}} {frac {f ‘(n) -f’ (0)} {2!}}-{frac {1} {30 30 }} {frac {f^{(3)} (n) -f^{(3)} (0)} {4!}}+{frac {1} {42}} {frac {f^{(5 )} (n) -f^{(5)} (0)} {6!}}+ldots}$

W

Lub sumy definiujące funkcję Zêta Riemanna, z powodu Leonharda Eulera:

${DisplayStyle Zeta (2p) = 1+{frac {1} {2^{2p}}}+{frac {1} {3^{2p}}}+{frac {1} {4^{2p}}}}}} +cdots +{frac {1} {n^{2p}}} +cdots = | b_ {2p} | {frac {2^{2p-1}} {(2p)!}} pi^{2p},}}$

Aż do podejścia Kummera do najnowszego twierdzenia Fermat.

Nazwy A = Pierwszy / 6 W B = – Pierwszy / 30 W C = Pierwszy / 42 W D = – Pierwszy / 30 , … pojawić się w Informacje techniczne Bernoulli, 1713, Strona 97 .

Liczby Bernoulliego z

${DisplayStyle B_ {1} = 1/2}$

zamiast

${DisplayStyle -1/2}$

są dwumianową transformacją tego pierwszego i są uzyskiwane z liczby światowych lub, co jest równoważne, poprzez zastosowanie algorytmu Akiyama-Tanigawa ^{[[[ Pierwszy ]} ma Pierwszy/( N +1) .
Po artykule «Manifest Bernoulli» Od Petera Luschny’ego Donald Knuth przyjął wartość

${DisplayStyle B_ {1} = 1/2}$

, także w ostatnich przedrukach książki Betonowa matematyka ^{[[[ 2 ] W [[[ 3 ]} ; Knuth przedstawia nowe wersje w oddzielnym tekście ^{[[[ 4 ]} .

Liczba Bernoulli została odkryta prawie w tym samym czasie i niezależnie przez szwajcarskiego matematyka Jacquesa Bernoulli, którego imię noszą, oraz przez japońskiego matematyka Seki Takakazu. Odkrycie Seki zostało opublikowane pośmiertnie w 1712 roku ^{[[[ 5 ]} w jego pracy Katsuyō Sanpō ; Bernoulli, również pośmiertnie, w swoim Informacje techniczne Opublikowane w 1713 r. Ada Lovelace, w 1842 r., Tłumaczenie i adnotowanie opisu maszyny analitycznej Babbage opublikowanej przez włoskiego matematyka Louis-Frédérica Ménabréa w języku francuskim w szwajcarskiej gazecie ^{[[[ 6 ]} , opisuje w nucie g algorytmu umożliwiającym generowanie liczb Bernoulli za pomocą tego urządzenia ^{[[[ 7 ]} . W konsekwencji liczba Bernoulli ma szczególną szczególność bycia przedmiotem pierwszego opublikowanego złożonego programu komputerowego ^{[[[ 8 ]} .

Jacques Bernoulli znał jakieś formuły ^{[[[ 9 ] W [[[ dziesięć ] W [[[ 11 ]} :

${displayStyle {start {wyrównany} 1+2+3+cdots+(n-1) & = {frac {1} {2}} n^{2}-{frac {n} {2}} && = {frac {n (n-1)} {2}},; \ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+cdots+{(n-1)}^{2} & = {frac {1} {3}} n^{3}-{frac {1} {2}} n^{2}+{frac {n} {6}} && = {frac {n (n-1) (2n) -1)} {6}},; \ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+cdots+{(n-1)}^{3} & = {frac {1} { 4}} n^{4}-{frac {1} {2}} n^{3}+{frac {1} {4}} n^{2} && = {frac {n^{2} (n -1)^{2}} {4}},; \ 1^{4}+2^{4}+3^{4}+cdots+{(n-1)}^{4} & = {frac {1} {5}} n^{5}-{frac {1} {2}} n^{4}+{frac {1} {3}} n^{3}-{frac {n} {30 30 }} && = {frac {n (n-1) (2n-1) (3n^{2} -3n-1)} {30}},; \ 1^{5}+2^{5} +3 ^{5}+cdots+{(n-1)}^{5} & = {frac {1} {6}} n^{6}-{frac {1} {2}} n^{5}++++ {frac {5} {12}} n^{4}-{frac {1} {12}} n^{2} && = {n^{2} (n-1)^{2} (2n^{2n^{2n^{ 2} -2n-1) ponad 12} .end {wyrównany}}}$

Bernoulli zauważa, że ​​L’Emion

${DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = 0^{m}+1^{m}+2^{m}+cdots+{ (n-1)}^{m}}$

jest zawsze wielomianem w N , stopnia M + 1 , o stałym zerowym terminu, którego dominująca monom N ^{M +1} / M +1 i monom stopnia M Wschód ^{[[[ dwunasty ]} (I M > 0 ) – N ^M / 2 . Pokazujemy (patrz poniżej akapit „Formuły nawrotów”) niż ogólnie, dla 0 ≤ k ≤ M , współczynnik N ^{M +1– k} jest produktem M !/( M + 1 – k )! przez liczbę racjonalną B _k To zależy od k i nie M . Możemy zatem zdefiniować liczbę Bernoulli B _k o :

${DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{m} {frac {m!} {(m+1-k)!}} {b_ {k}} {k!} }, n^{m+1-k} = {1 over {m+1}} sum {k = 0}^{m} {m+1 wybierz k} b_ {k}, n^{m+1 -k} = sum _ {k = 0}^{m} {m wybierz k} b_ {k}, {frac {n^{m+1-k}} {m+1-k}}.}$

W szczególności współczynnik N w wielomianowym S _M ( N ) to liczba B _M .

Dając M Wartość 0, otrzymujemy (z 0 ⁰ = 1): dla każdej liczby całkowitej N > 0 W

${DisplayStyle B_ {0} n = s_ {0} (n) = 0^{0}+1^{0}+cdots+(n-1)^{0} = n,}$

co to pokazuje B ₀ = 1 .

Dając M Wartość 1, otrzymujemy:

${displayStyle {frac {1} {2}} (b_ {0} n^{2}+2b_ {1} n) = s_ {1} (n) = 0+1+2+ldots+(n-1) = {frac {1} {2}} (n^{2} -n),}$

co to potwierdza B ₀ = 1 i pokazuje to B _Pierwszy = –1/2 .

Dając M Wartość 2, otrzymujemy:

${DisplayStyle {frac {1} {3}} (b_ {0} n^{3}+3b_ {1} n^{2}+3b_ {2} n) = S_ {2} (n) = 0^{ 2}+1^{2}+2^{2}+ldots+(n-1)^{2} = {frac {1} {3}} lewy (n^{3}-{frac {3} { 2}} n^{2}+{frac {n} {2}} right),}$

który pokazuje więcej niż B ₂ = 1/6 .

Dając M Wartość 3, otrzymujemy:

${displayStyle {frac {1} {4}} (b_ {0} n^{4}+4b_ {1} n^{3}+6b_ {2} n^{2}+4b_ {3} n) = s_ {3} (n) = 0^{3}+1^{3}+2^{3}+ldots+(n-1)^{3} = {frac {1} {4}} (n^{ 4} -2n^{3}+n^{2}),}$

co również to pokazuje B ₃ = 0 .

Obliczanie liczb Bernoulli według nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Od warunków początkowego B ₀ = 1 , możemy obliczyć liczbę Bernoulli przez nawrót za pomocą faktu, że

${DisplayStyle forall Min Mathbb {n} ^{*} quad {frac {1} {m+1}} sum {k = 0} ^{m} {m+1 wybierz k} b_ {k} = s_ {m } (1) = sum _ {k = 0}^{0} k^{m} = 0^{m} = 0,}$

Co można postrzegać jako związek nawrotu ^{[[[ dwunasty ]} :

${displayStyle (m+1) b_ {m} =-sum _ {k = 0}^{m-1} {m+1 wybierz k} b_ {k}.}$

Ta seria równań liniowych ^{[[[ 13 ]}

${DisplayStyle 1+2B_ {1} = 0,}$

${DisplayStyle 1+3B_ {1}+3B_ {2} = 0,}$

${DisplayStyle 1+4b_ {1}+6b_ {2}+4b_ {3} = 0,}$

${DisplayStyle 1+5B_ {1}+10b_ {2}+10b_ {3}+5b_ {4} = 0,}$

itp.

Dawać sukcesywnie B _Pierwszy = –1/2, B ₂ = 1/6, B ₃ = 0, B ₄ = –1/30 W itp. Na przykład szczegóły obliczenia B ₄ Wschód :

${DisplayStyle 5b_ {4} =-(1+5B_ {1}+10b_ {2}+10b_ {3}) =-lewy (1- {frac {5} {2}}+{frac {10} {6} } right) =-{frac {1} {6}}.}$

Wielomiany Bernoulli B _M ( X ) są połączone z liczbą Bernoulli przez

${DisplayStyle B_ {m} (x) = sum _ {k = 0}^{m} {m wybierz k} b_ {k}, x^{m-k}.}$

Sprawdzają relacje:

• 
  ${DisplayStyle B_ {0} (x) = 1}$

  ;

• 
  ${DisplayStyle Forall Nin Mathbb {N} Quad B ‘_ {n+1} (x) = (n+1) b_ {n} (x)}$

  ;

• 
  ${DisplayStyle forall nin mathbb {n} ^{*} quad int _ {0} ^{1} b_ {n} (x) {rm {d}} x = 0}$

  ;

• B _M (0) = B _M I M ≥ 0 (Stały termin wielomianu Bernoulli jest równy liczbie Bernoulli tego samego wskaźnika);
• B _M (1) = B _M I M ≠ 1 .

Wielomiany S _M ( N ) są również powiązane z wielomianami Bernoulli:

${DisplayStyle forall M, nin Mathbb {n} quad s_ {m} (n) = {frac {b_ {m+1} (n) -B_ {m+1} (0)} {m+1}}.}$

Z

${DisplayStyle B ‘_ {n+1} = (n+1) B_ {n},}$

Duukujemy to

${DisplayStyle s ‘_ {m} (x) = {frac {b’ _ {m+1} (x)} {m+1}} = b_ {m} (x).}$

Dlatego wielomiany S _M są prymitywami wielomianów Bernoulli, które są anulowane w zero:

${DisplayStyle S_ {m} (x) = int _ {0}^{x} b_ {m} (t) {rm {d}} t = sum _ {k = 0}^{m} {m Wybierz k} B_ {k}, {frac {x^{m+1-k}} {m+1-k}}.}$

Inne konwencje i notacje używane do zdefiniowania liczby Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Czasami używamy notacji B _N Aby odróżnić liczby od Bernoulli od liczb dzwonów.

Definicja zastosowana w tym artykule sprawdza B _M = B _M (0) Lub B _M ( X ) wyznacza wielomian Bernoulli.

Spełniamy również umowę B _M = B _M (Pierwszy) , Lub B _M ( X ) wyznacza wielomian Bernoulli.

Dwie konwencje różnią się tylko dla znaku B _Pierwszy ; na :

${DisplayStyle B_ {1} (0) =-{frac {1} {2}}}}} qquad,; qquad b_ {1} (1) =+{frac {1}}}}}.}$

Kolejna ocena, używana w topologii ^{[[[ 14 ]} , oznacza rozważenie rówieśników bez ich znaku (mamy B _{2 k} = (–1) ^{k -Pierwszy} |. B _{2 k} |. ):

${DisplayStyle B_ {M} = B_ {M} (0) Qquad,;, Qquad B_ {M} = | B_ {2M} |.}$

Liczby Bernoulliego można również zdefiniować za pomocą funkcji generującej. Seria generatora wykładniczego powiązana z apartamentem jest X / (To jest ^X – Pierwszy) , w taki sposób, że

${DisplayStyle {frac {x} {{rm {e}}^{x} -1}} = sum _ {n = 0}^{infty} b_ {n} {frac {x^{n}}} {n n. !}}}$

za wszystko X o wartości bezwzględnej niższej niż 2p (Promień konwergencji tej całej serii).

Ta definicja może być pokazana równoważna z poprzednim za pomocą rozumowania nawrotu: Pierwszy termin serii jest wyraźnie B ₀ (przez rozszerzenie przez ciągłość).

Aby uzyskać związek nawrotu, pomnożamy dwie strony równania przez To jest ^X – Pierwszy . Tak więc za pomocą serii Taylor dla funkcji wykładniczych,

${displayStyle x = lewy (sum _ {j = 1}^{infty} {frac {x^{j}} {j!}} prawy) lewy (sum _ {k = 0}^{infty} {frac {b_ {k} x^{k}} {k!}} right).}$

Opracowując to w produkcie Cauchy i nieznacznie rearanging, otrzymujemy

${displayStyle x = sum _ {m = 0}^{infty} lewy (sum _ {j = 0}^{m} {m+1 wybierz j} b_ {j} right) {frac {x^{m+1 }} {(M+1)!}}.}$

Z tej ostatniej równości jasne jest, że współczynniki w całej serii spełniają ten sam związek nawrotów, co liczba Bernoulli (patrz akapit: „Obliczenie liczb Bernoulli przez nawrót”).

Pierwsze liczby Bernoulliego to:

Nazwy Bernoulli

N B N Wartość dziesiętna 0 Pierwszy Pierwszy −1 / 2 = −0,5 2 1/6 ≈ 0,166 7 3 0 4 −1 / 30 ≈ -0,033 3 5 0 6 1/42 ≈ 0,023 81 7 0 8 −1 / 30 ≈ -0,033 3 9 0 dziesięć 5/66 ≈ 0,075 76 11 0 dwunasty −691 / 2 730 ≈ −0,253 1 13 0 14 7/6 ≈ 1166 7 15 0 16 −3 617 /510 ≈ −7,092 2

N B N Wartość dziesiętna 17 0 18 43 867/798 ≈ 54 971 2 19 0 20 −174 611 /330 ≈ -529,124 21 0 22 854 513 /138 ≈ 6 192,12 23 0 24 −236 364 091/2 730 ≈ −86 580,3 25 0 26 8 553 103/6 ≈ 1 425 517 27 0 28 −23 749 461 029/870 ≈ −27 298 231 29 0 30 8 615 841 276 005 /14 322 ≈ 601 580 874 trzydziesty pierwszy 0 32 −7 709 321 041 217/510 ≈ -15 116 315 767 33 0

Korzystając z funkcji generującej, możemy to wykazać B _N = 0 Kiedy N jest dziwne i różni się od 1 i że oznaki B _N alternatywne dla N rówieśnik. Więc mamy :

${DisplayStyle B_ {2K} = (-1)^{K-1} | B_ {2K} |.}$

Uzasadniamy tutaj definicję liczb Bernoulli ogłoszonych we wstępie. Zostawmy sumę

${DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m}}$

Dla wszystkich naturalnych całości M I N (zwłaszcza, S _M (0) = 0 ).

Zauważamy, że (zgodnie z formułą dwumianową po ponownej indeksacji):

${DisplayStyle S_ {m+1} (n+1) = sum _ {k = 1 ^^ {n} k^{m+1})^{m+1} = sum _ _ _ _ = sum _ {j {j j = 0} ^{M+1 {binom {m+1} {j} s_ {j} (n) = s_ {m+1} ()+sum {j = 0} ^{m} {m binom {m {m {m {m {m +1} {j}} s_ {j} (n),}$

${DisplayStyle n^{m+1} = s_ {m+1} (n+1) -s_ {m+1} (n) = sum _ {j = 0}^{m} {binom {m+1} {j}} s_ {j} (n) = (m+1) s_ {m} (n)+sum _ {j = 0}^{m-1} {binom {m+1}}}} s_ { J} (n)}$

I w końcu dostajemy:

${DisplayStyle forall M, nin Mathbb {n} quad s_ {m} (n) = {frac {n^{m+1}} {m+1}}-m! sum _ {j = 0}^{m- 1} {frac {s_ {j} (n)} {j! (M+1-j)!}},}$

Co możemy postrzegać jako definicję S _M ( N ) przez nawrót M (W tym inicjalizacja S ₀ ( N ) = N ). Właśnie to podejście umożliwia wykazanie się nawrotem, że współczynniki S _M ( N ) są rzeczywiście formą podaną we wstępie:

${DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {i = 0}^{m} {frac {m!} {(m+1-i)!}} {b_ {i}} {i!} }, n^{m+1-i}}$

.

Za wszystko J ≥ 0 , notatka B _J Współczynnik N W S _J ( N ) W

${DisplayStyle S_ {j} (n) = b_ {j} n+sum _ {k$

i wywnioskować z formuły nawrotów S _M ( N ) powyżej, przez nawrót J , że współczynnik C _{k W J} z N ^{J +1– k} W S _J ( N ) jest produktem J !/( J + 1 – k )! o B _k / k ! nie tylko dla k = J , ale także dla każdej naturalnej całości k < J (co jest natychmiastowe k = 0 ). Zakładając nieruchomość dla wszystkiego J < M , uważamy za współczynnik C _{M W I} z N ^{M +1– I} W S _M ( N ) , Dla 0 < I < M :

${DisplayStyle C_ {m, i} =-m! sum _ {{j$

Pierwsza równość wynikająca z hipotezy nawrotu i
Ostatnia równość wynikająca z § obliczania liczb Bernoulli według nawrotu:

${displaystyle B_{i}=-{frac {1}{i+1}}sum _{k=0}^{i-1}{i+1 choose k}B_{k}=-sum _{k= 0}^{i-1} {frac {i!} {(I+1-k)! K!}} B_ {k}.}$

Liczby Bernoulli i funkcja Riemanna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Pierwszy związek uzyskał Leonhard Euler ^{[[[ 15 ] W [[[ 16 ]} W następującym formie

${DisplayStyle B_ {2n} = (-1)^{n+1} {frac {2 (2n)!} {(2pi)^{2n}}} lewy [1+ {frac {1} {2^{2n }}}+{frac {1} {3^{2n}}}+{frac {1} {4^{2n}}}+cdots; right].}}$

(Można go uzyskać jako następstwo z obliczania serii wielomianów Fouriera Bernoulli.)

Związek jest napisany przy użyciu funkcji Zêta Riemann:

${DisplayStyle B_ {2n} = (-1)^{n-1} {frac {2, (2n)!} {(2pi)^{2n}}}; zeta (2n),}$

związek, który trenuje (dla N > 0 ):

${DisplayStyle 2, Zeta (2n) = {frak {(2pi)^{2n} {(2n)!}}} | B_ {2n} |.}$

Wygląd B _dwunasty = – 691 / 2730 wydaje się pokazywać, że wartości liczb Bernoulli nie można po prostu opisać; W rzeczywistości są to zasadniczo wartości funkcji Z Riemann dla całej wartości ujemnej zmiennej, ponieważ

${DisplayStyle zeeta (-n) = (-1)^{n} {frac {b_ {n+1}}} {n+1}}}}}$

I wiemy, że ten ostatni jest trudny do zbadania (patrz hipoteza Riemanna).

Możliwe jest wyrażenie liczby Bernoulli dzięki funkcji Zêta Riemann w następujący sposób:

${DisplayStyle B_ {n} = -nzeta (1-n) quad n> 1}$

${DisplayStyle B_ {1} = zeeta (0).}$

Zwłaszcza :

${DisplayStyle zeeta (0) = b_ {1} =-{frac {1} {2}} ,, qquad zeta (-1) =-{frac {1}}}}}, qquad zeeta (-3) = {{ Frac {1} {120}}, !! qquad zeeta (-5) =-{frac {1} {252}}}} ,! qquad zeeta (-7) = {frac {1} {240}}.}}.$

Mamy następującą równość liczby Bernoulli indeksu rówieśniczego:

${DisplayStyle | b_ {2n} | = {frac {(2n)!$

Definicji funkcji Zêta Riemanna, wywnioskowamy to Z (2 N )> 1 (I N > 0,5 ).
Dlatego mamy nadzór:

${displayStyle {frac {2; (2n)!} {(2pi)^{2n}} <| b_ {2n} | leqlant {frac {2zeta (2); (2n)!} {(2pi)^{2n} }.}$

Nierówność

${displayStyle {rm {e}}^{2n}> {frak {(2n)^{2n} {(2n)!}}}}$

N > 0 ), wywnioskowamy to:

${DisplayStyle (2n)!> Left ({frac {2n} {rm {e}}} right)^{2n}}$

N > 0 ) , WIĘC :

${displayStyle | b_ {2n} |> 2LEft ({frac {n} {pi {rm {e}}}} right)^{2n}.}$

${DisplayStyle lim _ {nto infty} | b_ {2n} | =+infty.}$

Mamy odpowiednik:

${DisplayStyle B_ {2n} sim (-1)^{n-1} {frac {2; (2n)!} {(2pi)^{2n}}}}$

.

Używając formuły Stirling do napisania odpowiednika (2 N )! , demonstrujemy odpowiednik, kiedy N ma tendencję do nieskończoności:

${displayStyle lewy | b_ {2n} prawy | sim 4 {sqrt {pi n}} lewy ({frac {n} {pi {rm {e}}}} right)^{2n}}}}}$

.

Liczby Bernoulliego pojawiają się w szeregowym rozwoju funkcji stycznych Taylora (okrągły i hiperboliczny), w wzorze Euler-Maklaurin, a także w wyrażeniach pewnych wartości funkcji Zêta Riemanna.

Formula d’Euler-Maclaurin [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo A Prawdziwa liczba i N Naturalna liczba całkowita. Jeśli F to aplikacja klasowa

${DisplayStyle {Mathcal {C}}^{k}}$

(z k ≥ 1 ) NA [[[ A W A + N ] .

${DisplayStyle f (a)+f (a+1)+f (a+2)+cdots+f (a+n-1) = int _ {a}^{a+n} f (x), {rm {d}} x+sum _ {j = 1}^{k} b_ {j} {frac {f^{(j-1)} (a+n) -f^{(j-1)} (a )} {j!}}+r_ {k, a, n}}$

z

${DisplayStyle r_ {k, a, n} = {frac {(-1)^{k-1}}} {k!}} Int _ {a}^{a+n} f^{(k)} ( x)) {tilde {b_ {k}}} (x-a), {rm {d}} x}$

Lub

${displayStyle {tilde {b_ {k}}} (x)}$

to okresowa funkcja okresu 1 równa B _k ( X ) , wielomian Bernoulli indeksu k , wewnątrz [0; Pierwszy[ .

${displayStyle {tilde {b_ {k}}} (t) = b_ {k} (t-lfloor trfloor)}$

Lub ⌊ T ⌋ wyznacza całą część T .

Rozwój serii Taylor [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Z funkcji generujących,

${displayStyle {frac {x} {{rm {e}}^{x} -1}} = sum _ {k = 0}^{infty} b_ {k} {frac {x^{k}} {k! }} = 1- {dfrac {x} {2}}+sum _ {n = 1}^{infty} b_ {2n} {frac {x^{2n}} {(2n)!}}, | X | <2pi}$

W

Pokazujemy następujące formuły ^{[[[ 17 ]} :

${displaystyle 1-{frac {x}{2}};operatorname {cotan} {frac {x}{2}}=sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2pi ,}$ ${displaystyle x;operatorname {cotan} x=1-sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|$ ${displaystyle operatorname {cotan} x={dfrac {1}{x}}-sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|$ ${displaystyle {dfrac {1}{sin x}}={dfrac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|$ ${displaystyle tan x=sum _{n=1}^{infty }|B_{2n}|{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|$

${displaystyle {dfrac {2}{{rm {e}}^{x}+1}}=1-sum _{n=1}^{infty }B_{2n}{frac {2(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|$ ${displaystyle {dfrac {1}{2}};{dfrac {{rm {e}}^{x}+1}{{rm {e}}^{x}-1}}={dfrac {1}{2}},operatorname {coth} ({frac {x}{2}})={dfrac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }B_{2n}{frac {x^{2n-1}}{(2n)!}},0<|x|<2pi ,}$ ${displaystyle operatorname {coth} x={frac {{rm {e}}^{x}+{rm {e}}^{-x}}{{rm {e}}^{x}-{rm {e}}^{-x}}}={dfrac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }B_{2n}{frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|$ ${displaystyle {dfrac {1}{operatorname {sh} x}}={dfrac {1}{x}}-sum _{n=1}^{infty }B_{2n}{frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|$ ${displaystyle operatorname {th} x=sum _{n=1}^{infty }B_{2n}{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|$

Nazwy

${DisplayStyle t_ {n} = | b_ {2n} | {frak {2^{2n} (2^{2n} -1)} {2n}}}$

Czy liczby całkowite zwane liczbą styczną lub liczbą drugiego gatunku ^{[[[ 18 ]} .

Mamy następujący rozwój:

${DisplayStyle operatorname {tan} x = sum _ {n = 1}^{infty} t_ {n} {frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!}}, | x |$

Liczby Bernoulli w szeregu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

${displayStyle {początek {wyrównany} | b_ {2n} | & = {frac {(2n)!} {2^{2n-1} p^} {2n}} sum _ {k = 1}^{infty} { Fra {1} {k^{2n}}} \ = {frak {2 (2n)!} {(2 {2n} -1) pi^{2n}} sum _ {k = 0}^{infty} {{infty} { Frak {1} {(2K+1)^{2n}} \ & = {frak {(2n)!} {(2^{2n -1} -1) pi^{2n}} sum _ {k = 1 }^{Infty} {frac {(-1)^{k-1}} {k^{2n}}. End {wyrównany}}}$

Liczby i grupy klasowe Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Właściwości dzielności liczników liczby Bernoulli są powiązane z grupami ideałów ciał cyklotomowych przez twierdzenie Kummera. W 1847 r. Kummer wykazał, że najnowsze twierdzenie Fermat było prawdziwe w przypadku określonego zestawu liczb pierwszych o nazwie zwykłych liczb pierwszych. Mówi się, że dziwna pierwsza liczba to „Regularne” Jeśli nie dzieli liczby klas ℚ (z _P ) , w przeciwnym razie tak mówimy P jest nieregularne. Kummer odkrył związek z właściwościami podziału liczników z liczb Bernoulli: liczba podstawowa P Dziwne jest regularne i tylko wtedy, gdy, P nie dzieli licznika od żadnej z liczb B ₂ W B ₄ , …, B _{P –3} . Pierwsza liczba 3 jest regularna. Pierwsze nieregularne pierwsze liczby to: 37, 59, 67, 101, 103, 149 i 157. Jeśli P jest regularne, a następnie równanie X ^P + I ^P = z ^P nie ma kompletnego rozwiązania (oprócz 1, 0 i 1).
To jest powód, dla którego liczby Bernoulli mają głębokie właściwości arytmetyczne.

Twierdzenie Kummera zostało wzmocnione przez twierdzenie Herbrand-Libet. Liczba Bernoulli jest również powiązana z liczbą klas kwadratowych ciał przez zgodność Chowlę Ankeny-Artin.

Linki z algebraic K-Théoria [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Istnieje również powiązanie z algebraiczną k-théoria: konsekwencja przypuszczenia Quillen-Lichtenbaum (W) to następujący wynik ^{[[[ 19 ]} :

• I N = 4 k – 2 I C _k jest licznikiem B _{2 k} / k , potem kolejność K _N (ℤ) Wschód |. C _k |. I k jest równorzędny ( N ≡ 6 vs 8 ), I 2 C _k I k to jest dziwne ( N ≡ 2 przeciwko 8 );
• I N = 4 k – Pierwszy I D _k jest mianownikiem B _{2 k} / k , potem kolejność K _N (ℤ) Wschód 4 D _k I k jest równorzędny ( N ≡ 7 przeciw 8 ), I 8 D _k I k to jest dziwne ( N ≡ 3 przeciwko 8 ).

Von Staud-Clausen Twierdzenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Twierdzenie von Staud-Clausen jest również powiązane z podzielnością. Stwierdza to:

Jeśli dodamy do B _N Rewers ^Pierwszy ⁄ _P Dla każdej pierwotnej liczby P Jak na przykład P – 1 mundur N , otrzymujemy, jeśli N = 1 Lub N jest niezerowym rówieśnikiem, liczbą całkowitą.

Fakt ten natychmiast umożliwia scharakteryzowanie mianowników liczby Bernoulli nie całości B _N Podobnie jak produkt wszystkich liczb pierwszych P Jak na przykład P – 1 mundur N . W konsekwencji, jeśli 2 N jest niezerową liczbą całkowitą, mianownikiem liczby Bernoulli B _{2 N} jest kwadratowe i podzielne dla 6 .

Przykłady

${DisplayStyle B_ {1}+{frac {1} {2}} = 0qquad; qquad b_ {2}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}} = 1qquad; qquad b_ { 4}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {5}} = 1}$

${DisplayStyle B_ {6}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {7}} = 1qquad; qquad b_ {10}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {11}} = 1}$

${DisplayStyle B_ {12}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {5}}+{frac {1} {7}}+{frac {{frac { 1} {13}} = 1qquad; qquad b_ {14}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}} = 2qquad; qquad b_ {16}+{frac {1} {2 }}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {5}}+{frac {1} {17}} =-6.}$

Nieruchomość znajduje odzwierciedlenie w: pb _{2 M} ≡ –1 mod P I P – Pierwszy mundur 2 M . (Notacja A ≡ B przeciwko P Oznacza to, że P dzieli licznik A – B Ale nie jego mianownik.)

AGOH-Giuga przypuszcza to postulujące P jest liczbą podstawową, jeśli i tylko wtedy pb _{P −1} ≡ –1 mod P .

Ciągłość P -Adique [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Nieruchomość zgodności, znana jako zgodność Kummera, szczególnie ważna w liczbie Bernoulli, można scharakteryzować jako własność ciągłości P -Adique. Samego siebie P W M I N są pozytywnymi liczbami całkowitymi, takimi jak M I N nie są podzielne przez P – 1 I

${DisplayStyle merquiv n, {b w sposób}} p^{b-1} (p-1),}$

WIĘC

${displayStyle (1-p^{m-1}) {b_ {m} over m} equiv (1-p^{n-1}) {b_ {n} over n}, {bmod {,}} p^ {B}.}$

(Notacja A ≡ B przeciwko P ^k Oznacza to, że P ^k dzieli licznik A – b Ale nie jego mianownik.)

Od B _N = – N Z (1- N ) Można to również napisać

${DisplayStyle (1-p^}) zeeta (u) equiv (1-p^{-v}) zeeta (v), {b w sposób {,}} p^{b}}$

Lub W = 1 – M I W = 1 – N , Chociaż W I W są ujemne i niekogoncyjne przy 1 modach P – Pierwszy .

To mówi nam, że funkcja Zêta Riemanna z 1 – P ^– pominięte w wzorze produktu euleryjskiego, jest ciągły dla liczb P -Aksy na liczbach ujemnych Congrus Mod P – Pierwszy do stałej liczby całkowitej

${DisplayStyle anot Equiv 1, {bmod {,}} p-1}$

i dlatego można je rozszerzyć w funkcji ciągłej Z _P ( S ) Na ringu topologicznym ℤ _P cały P -Aksy: funkcja Zêta P -Adique.

Formuła Kervaire-Milnor dla rzędu cyklicznej grupy różnych klas demorfizmu (4 N -1) -ektyczne wskaźniki, które stanowią równoległe odmiany dla N ≥ 2 obejmuje liczby Bernoulli: jeśli N _N jest licznikiem B _{4 N} / N , wówczas liczba tych różnych klas egzotycznych sfer jest

${DisplayStyle 2^{2n-2} (1-2^{2n-1}) n_ {n}.}$

Formuła podana w artykułach topologicznych różni się, ponieważ topolodzy używają innej konwencji, aby nazwać liczby Bernoulli (zauważają B _N Apartament 1, 1/6, 1/30…).

Możemy również zdefiniować B _N Bez nawrotu: przy użyciu liczb Stirling (drugie przypadki), mamy (dla N > 1) ^{[[[ 20 ]}

${DisplayStyle B_ {n} = sum _ {k = 0}^{n} (-1)^{k} {frac {k!} {k+1}} lewy {{start {matrix} n \ kend {matrix {matrix {matrix {matrix {matrix }}Prawidłowy}.}$

Stąd (przy użyciu wyraźnych formuł dla liczb Stirling i uproszczenia)

$MMS SLEPENT BRINTU i MUME EMBOOB EM 10) MPIE MYO M KROOR M HORK M MMMATES! Some Em Emm-1yyyyoyk 1) Saleee Kal Hyem Hym Hum Hor Horm 1 HIFM 1 10-1 51 myee myome myom hyom hyma hyma hyma hyma hy.$

W ^{[[[ 21 ]} ; Ostatnie dwa równania pokazują, że tak nie jest. W rzeczywistości w 1893 roku Louis Salschütz (z) zidentyfikował w sumie 38 wyraźnych formuł, ogólnie podając znacznie starsze odniesienia.

Relacje Ramanujan [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Poniższe trzy relacje, z powodu Ramanujana, zapewniają bardziej skuteczną metodę obliczania liczb Bernoulli:

• 
  ${displayStyle mequiv 0, {bmod {,}} 6qquad {{m+3} wybierz m} b_ {m} = {{m+3} ponad 3} -sum _ {j = 1}^{m/6} { M+3 Wybierz {M-6J}} B_ {M-6J},}$

  

• 
  ${DisplayStyle Mequiv 2, {bmod {,}} 6qquad {{m+3} wybierz m} b_ {m} = {{m+3} ponad 3} -sum _ {j = 1}^{(m-2) /6} {M+3 Wybierz {M-6J}} B_ {M-6J},}$

  

• 
  ${DisplayStyle Mequiv 4, {Bmod {,}} 6qquad {{m+3} Wybierz m} b_ {m} =-{m+3} ponad 6} -sum _ {j = 1}^{(m-4 )/6} {M+3 Wybierz {M-6J}} B_ {M-6J}.}$

  

Tożsamość Carlitz [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

I M I N są ściśle pozytywnymi liczbami całkowitych:

${displayStyle (-1)^{m} sum _ {r = 0}^{m} {m wybierz r} b_ {n+r} = (1)^{n} sum _ {s = 0}^{ n} {n wybierz s} b_ {m+s}}$

^{[[[ 22 ]} .

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

John H. Conway et Richard K. Guy, Księga Liczb , Eyrolles, 1998 (ISBN 2-212-03638-8 )

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Linki zewnętrzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]